Apparition des vortex dans le condensat

Apr`es cette introduction tr`es g´en´erale sur les vortex, nous revenons au condensat tel que l’avaient laiss´e les excitations non-lin´eaires par la cuill`ere (cf. chapitre 3). Nous allons montrer que les instabilit´es observ´ees alors correspondent `a l’entr´ee dans le condensat de plusieurs vortex. Ce ph´enom`ene de nucl´eation soul`eve de nombreuses questions auxquelles nous essayons de donner de modestes r´eponses, nous appuyant sur de r´ecents travaux th´eoriques.

5.2.1 Nucl´eation par augmentation lente de ǫ

Nous avons vu que deux types d’instabilit´es peuvent apparaˆıtre lorsque l’on tente de suivre les ´etats stationnaires donn´es par l’´equation 3.21 :

– Le repliement d’une courbe lorsqu’on tente de la suivre jusqu’`a son point de rebroussement : c’est ce qui se produit sur la figure 3.9 lorsqu’on suit les ´etats `a Ω fix´e en augmentant ǫ.

5La d´erive dans le champ de vitesse uniforme s’apparente `a la d´erive d’une particule charg´ee dans des champs Bet E statiques : au mouvement cyclotron haute fr´equence se superpose un mouvement basse fr´equence durant lequel la particule suit les ´equipotentielles de E.

5.2 Apparition des vortex dans le condensat 101

Arriv´e au point de rebroussement de la branche (II), le condensat ne peut plus suivre la courbe et se retrouve dans un ´etat non stationnaire. Une telle instabilit´e se produit aussi sur la figure 3.8 lorsque l’on part des grandes valeurs de Ω pour ensuite redescendre `a travers la r´esonance quadrupolaire.

– Une instabilit´e vis `a vis d’autres modes dans une r´egion bien d´efinie : c’est ce qui a ´et´e observ´e sur la figure 3.8. Lors de l’augmentation de Ω, il y a un point Ω/ω<sub>⊥</sub> ∼ 0.8 `a partir duquel le condensat quitte la courbe des ´etats stationnaires. Une telle instabilit´e a ´et´e discut´ee th´eoriquement dans [102].

Nous avons reproduit l’exp´erience de la figure 3.8 (augmentation de ǫ `a Ω fix´e) en ajoutant apr`es la phase d’excitation par la cuill`ere une phase d’´evolution libre dans le seul pi`ege magn´etique (figure 5.3). Le condensat a ainsi la possibilit´e d’´evoluer vers un nouvel ´etat d’´equilibre mˆeme s’il passe momentan´ement par des ´etats non stationnaires. Les images longitudinales (i.e. prises selon z) de la figure 5.3 montrent que tant que ǫ reste inf´erieur `a ∼ 0.029, le nuage relaxe vers un ´etat rond (δ = 0) avec la structure de parabole invers´ee. Par contre, pour des valeurs finales de ǫ d´epassant ∼ 0.029, le nuage relaxe vers un ´etat compl`etement diff´erent : la forme reste ronde, mais le profil de densit´e r´ev`ele des trous r´eguli`erement espac´es. Ces trous sont des vortex. Leur arrangement en r´eseaux r´eguliers est discut´e dans la quatri`eme partie. Une signature de la pr´esence de ces vortex est visible sur la courbe de la figure 5.3, o`u l’on a report´e l’aire moyenne des condensats apr`es toute la s´equence exp´erimentale. Les condensats contenant des vortex sont nettement plus grands que les autres, ce qui donne un moyen quantitatif des les rep´erer. Un autre moyen consiste `a mesurer le moment cin´etique du nuage [116] (nous d´etaillerons cette m´ethode au chapitre suivant) : on peut montrer que l’apparition de vortex correspond `a l’apparition de moment cin´etique dans le nuage [1].

Une exp´erience analogue a ´et´e r´ealis´ee pour suivre l’´evolution du condensat apr`es son d´ecro-chage de la branche (I) quand on augmente Ω `a ǫ fix´e [1]. Bien que la branche suivie ne pr´esente pas de point de repliement, on a montr´e que les ´etats stationnaires n’´etaient plus suivis `a partir d’un certain Ω, et que les condensats relaxaient alors vers des r´eseaux de vortex.

Ainsi les situations o`u le condensat d´ecroche des branches (I) et (II) peuvent-elles conduire `

a de nouveaux ´etats contenant des objets particuliers, les vortex. Le principe g´en´eral de cette m´ethode de nucl´eation de vortex est d’amener adiabatiquement le condensat `a un point o`u deux ingr´edients sont r´eunis :

– Un moment cin´etique important : le condensat contient un grand moment cin´etique juste avant de quitter les ´etats stationnaires.

– Une instabilit´e de surface : la bordure du condensat devient le lieu de diverses excita-tions qui r´esultent dans la nucl´eation de vortex.

5.2.2 Nucl´eation par une augmentation brutale de ǫ

Une autre m´ethode de nucl´eation, plus simple et plus brutale, a ´et´e utilis´ee sur notre mon-tage : elle consiste en un allumage quasi-instantan´e d’une cuill`ere tournant `a une fr´equence fixe Ω. Le param`etre ǫ est amen´e en un temps court (20 ms) `a sa valeur finale et y est maintenu durant toute l’excitation. L’´evolution d’un condensat et de ˜α = Ωδ/ω_⊥ dans de telles conditions est montr´ee sur la figure 5.4 pour Ω/ω_⊥ = 0.7 ; ǫ est maintenu constant durant 300 millisecondes `

a la valeur ǫ = 0.032, puis ramen´e brutalement `a une valeur nulle afin de laisser au condensat une phase d’´evolution libre. Les images sont des images longitudinales du condensat prises toutes les 150 millisecondes. Le condensat devient elliptique aux temps courts, et le param`etre ˜α subit quelques oscillations de basse fr´equence. Au moment de la coupure de ǫ, le condensat a une forme qui ´evoque celle d’une “galaxie”, avec des traces de turbulence sur les bords. Lors de son ´evolution libre, cette galaxie relaxe doucement vers un condensat contenant 7 vortex arrang´es

0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 A ir e d u co n d e n sa t ( u .a .) Valeur finale de ε

|α|

ε

Figure 5.3 – Nucl´eation des vortex par une augmentation lente de ǫ `a Ω/2π = fix´e (ǫ est augment´e en 50 ms vers sa valeur maximale, puis maintenu `a cette valeur pendant 400 ms, avant d’ˆetre ramen´e `a la valeur nulle en 50 ms). L’aire du condensat est mesur´ee apr`es 400 ms d’´evolution libre, qui font suite `a l’excitation par la cuill`ere. Si la cuill`ere d´epasse (pendant sa phase d’application) une puissance critique ǫ_c ≃ 0.029, le condensat relaxe pendant la phase suivante vers un ´etat contenant des vortex, caract´eris´e par une aire significativement plus grande. Un insert rappelle la forme de la courbe |α(ǫ)|.

5.2 Apparition des vortex dans le condensat 103 0 150 300 450 600 0.0 0.1 0.2 0.3

|α|^~

Temps (ms)

Figure 5.4 – Nucl´eation de vortex par la m´ethode la plus courante : le condensat est soumis pendant 300 ms `a une cuill`ere dont les param`etres Ω/ω<sub>⊥</sub>= 0.7 et ǫ = 0.032 sont fixes, puis laiss´e libre de relaxer. La cuill`ere excite fortement et non adiabatiquement le mode quadrupolaire : le param`etre de d´eformation du nuage |˜α| oscille. Le condensat prend une forme allong´ee, puis de galaxie, avant de relaxer vers un r´eseaux de vortex.

selon un r´eseau hexagonal. On notera que contrairement `a ce qui se passe lorsqu’on augmente doucement ǫ, le condensat n’est `a aucun moment — except´e `a la fin de la s´equence — dans un ´etat stationnaire de l’´equation de Gross-Pitaevskii.

Ce protocole exp´erimental de nucl´eation de vortex est celui qui a permis la premi`ere obser-vation des vortex sur notre exp´erience [32, 63]. C’est aussi cette m´ethode qui est utilis´ee dans presque toutes les exp´eriences d´ecrites dans ce manuscrit, parce qu’elle est `a la fois simple `a mettre en œuvre et efficace. Elle permet en particulier d’atteindre les deux conditions ´evoqu´ees pr´ec´edemment : un grand moment cin´etique et une instabilit´e de surface. Elle fonctionne en outre pour des valeurs de Ω plus faibles que les autres m´ethodes. Le paragraphe suivant est consacr´e `a l’interpr´etation de cette m´ethode de nucl´eation.

5.2.3 Nucl´eation, turbulence et dissipation

Nous essayons ici de d´egager quelques ´el´ements pour la compr´ehension de la nucl´eation des vortex et la relaxation vers un arrangement ordonn´e de vortex. Un vortex ne pouvant apparaˆıtre ex-nihilo au milieu du condensat (cela contredirait le th´eor`eme de Kelvin-Helmholtz), nous supposerons qu’il est cr´e´e au bord et qu’il est amen´e vers le centre ensuite⁶.

Nucl´eation : il faut introduire une longueur de l’ordre de ξ

Le pi`ege dans lequel nous tentons de nucl´eer des vortex est — aux imperfections de construc-tion pr`es — purement harmonique, mˆeme en ce qui concerne sa partie tournante, la cuill`ere. Ainsi, d’apr`es les lois d’´echelle g´en´eralis´ees, l’´evolution de la densit´e spatiale dans le temps doit correspondre `a des polynˆomes de degr´e deux. Dans ces conditions, on voit difficilement comment peut se cr´eer une petite excitation de la taille d’un vortex (rappelons que ξ ≪ R⊥).

6On peut aussi imaginer la cr´eation de paires vortex anti-vortex en tout point du condensat, ou d’anneaux de vorticit´e de rayon initialement nul [117].

La solution provient de la turbulence aux bords du nuage, telle qu’on peut l’observer sur la troisi`eme image de la figure 5.4. Le condensat excit´e par la cuill`ere tourne rapidement et s’est d´ej`a largement d´eform´e ; `a sa surface, on devine une r´egion turbulente. Deux instabilit´es peuvent expliquer l’apparition de courtes longueurs d’ondes `a la surface du condensat : dynamique ou thermodynamique. Une instabilit´e thermodynamique se produit lorsque la fr´equence d’un mode devient n´egative. L’´etat fondamental n’est plus alors celui de basse ´energie. Une instabilit´e dynamique signifie que la fr´equence d’un mode devient imaginaire, conduisant `a une croissance exponentielle de son amplitude.

L’instabilit´e dynamique d’un condensat tournant a ´et´e ´etudi´ee par Castin et Sinha [102] : ils ont montr´e que le mode du condensat de moment cin´etique 3 devient instable au-del`a d’une fr´equence de rotation Ω/ω_⊥ ∼ 0.7 qui d´epend de ǫ et de la proc´edure exp´erimentale exacte. Sa fr´equence devenant imaginaire, il croˆıt rapidement et d´eforme la surface du condensat. D’autres modes d’ordre plus ´elev´e peuvent d’ailleurs devenir instables dynamiquement dans la r´egion Ω/ω_⊥∼ 0.7 [118].

L’instabilit´e thermodynamique quant `a elle se produit dans le r´ef´erentiel tournant `a Ω lorsque lΩ > ω_l, l d´esignant l’ordre du mode (l, m_l = l) consid´er´e. On peut interpr´eter cette condition comme un crit`ere de Landau appliqu´e `a la rotation [119] : pour qu’une excitation soit ´emise par un objet en mouvement, il faut que la vitesse de cet objet soit sup´erieure `a la vitesse du son (voir chapitre 1). On montre ainsi que l’´energie de nombreux modes devient n´egative autour de Ω/ω_⊥∼ 0.5 [120]. Cette valeur d´epend du rapport d’aspect ω⊥/ω_z du condensat.

Le rˆole de ces deux types d’instabilit´es dans notre exp´erience n’est pas compl`etement ´elucid´e. Des simulations num´eriques dans des conditions proches de celles de la figure 5.4 ont ´et´e r´ealis´ees par Kasamatsu, Tsubota et Ueda [118]. Elles semblent montrer que l’instabilit´e essentielle est celle de Landau. Toutefois, les auteurs remarquent que pour se d´evelopper, une instabilit´e ther-modynamique a besoin de la dissipation due au du nuage thermique environnant. Celui-ci est peu important au d´ebut de l’exp´erience, mais pourrait selon les auteurs devenir plus dense en bordure du condensat du fait de la turbulence g´en´er´ee par les modes instables dynamiquement. C’est donc un m´ecanisme en deux temps (instabilit´e dynamique qui peuple le nuage thermique, puis instabilit´e de Landau qui introduit des ´echelles de longueurs de l’ordre de ξ) qui serait `a l’origine de la nucl´eation des vortex en bordure de condensat. D’autres simulations num´eriques ont permis de confirmer le rˆole de la turbulence en bord de condensat [120, 121].

Energie : l’´etat `a un vortex doit ˆetre ´energ´etiquement favorable

Pour qu’il existe un espoir de voir rentrer un vortex, il faut imposer au condensat des condi-tions qui favorisent ´energ´etiquement un tel ´etat. L’´energie d’une ligne de vortex est donn´ee par (5.6) : Evortex N ⁼ n²~² mR2 ⊥ ln R⊥ ξ  .

Dans le r´ef´erentiel du laboratoire, une ligne de vortex a donc une ´energie strictement positive, puisque de nature cin´etique. Si l’on souhaite qu’un ´etat contenant un vortex soit favorable ´energ´etiquement par rapport `a un ´etat o`u le condensat est au repos, il faut imposer au condensat de s’´equilibrer dans un r´ef´erentiel tournant RΩ, en faisant en sorte que le potentiel de pi´egeage soit ind´ependant du temps seulement dans un tel r´ef´erentiel. En effet, l’´energie dans le r´ef´erentiel tournant se d´eduit de celle dans le r´ef´erentiel du laboratoire R0 par la transformation :

E → E − Ω · Lz. (5.12)

Un vortex est associ´e `a un moment cin´etique Lz non nul. On peut montrer qu’il existe des valeurs de Ω pour lesquelles cette ´energie est n´egative, de sorte que l’´etat avec un vortex devient favorable. Notons que la pr´esence d’un r´ef´erentiel explicitement tournant avec une fr´equence de

5.2 Apparition des vortex dans le condensat 105 Ω > Ω c Ω = Ω c Ω < Ω c 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 -0.2 -0.4 -0.6

distance d/R du vortex au centre

é n e r g ie d a n s l e r é fé r e n ti e l to u r n a n t ( u . a .)

Figure5.5 – Energie du vortex dans le r´ef´erentiel tournant en fonction de sa distance d/R au centre du condensat. L’´etat d/R = 0 devient favorable ´energ´etiquement lorsque Ω > Ω_c, mais un barri`ere ´energ´etique bloque le vortex au bord du nuage. Cette m´etastabilit´e peut disparaˆıtre dans un condensat elliptique [126].

rotation Ω n’est pas indispensable. Il est tout aussi efficace de fixer la variable conjugu´ee L_z et de travailler dans un pi`ege `a sym´etrie de r´evolution. Les deux situations sont ´equivalentes `a une transformation de Legendre pr`es.

Plusieurs auteurs ont ´evalu´e la fr´equence Ω_c au-del`a de laquelle l’´etat `a un vortex a une ´energie n´egative [108,122–125]. Cette fr´equence donne un crit`ere thermodynamique d’entr´ee d’un vortex dans le condensat. Ce crit`ere, qui ´etait le seul consid´er´e dans les premi`eres estimations de la fr´equence critique de nucl´eation, doit toutefois ˆetre nuanc´e du fait de ph´enom`enes de m´etastabilit´e.

M´etastabilit´e : il doit exister un chemin sans barri`ere de potentiel

Nous nous inspirons ici de l’article de Kr¨amer, Pitaevskii, Stringari et Zambelli [126]. Ces auteurs ´evaluent l’´energie et le moment cin´etique d’un vortex dans un condensat tel que le nˆotre et plac´e dans un pi`ege tournant `a Ω, lorsque ce vortex est `a une distance d quelconque du centre du nuage. Cela permet d’´evaluer l’´energie dans le r´ef´erentiel tournant :

E_Ω(d/R_⊥, µ) = E_Ω=0(d = 0, µ) " 1 −  d R_⊥ 2#3 2 − ΩN~ " 1 −  d R_⊥ 2#5 2 . (5.13)

Cette ´energie est trac´ee sur la figure 5.5 en fonction de la distance d : on constate que mˆeme quand l’´energie pr´esente un minimum en d = 0 (i.e. lorsque Ω > Ω_c), il y a une barri`ere `a surmonter.

Cette m´etastabilit´e d’un vortex en bord de condensat peut sembler r´edhibitoire. Elle peut n´eanmoins disparaˆıtre sous certaines conditions. En effet, lorsque le condensat devient elliptique sous l’action d’une cuill`ere, un second param`etre intervient dans l’expression de l’´energie : la

d´eformation du nuage δ. Les auteurs de [126] ont montr´e que pour des valeurs de Ω suffisamment grandes, il existe un chemin dans le plan (d, δ) partant d’un vortex au bord et aboutissant `a un vortex centr´e, et le long duquel l’´energie d´ecroˆıt de mani`ere monotone. Un vortex au bord n’est plus m´etastable dans ces conditions.

Dissipation : il faut des frottements pour amener le(s) vortex au centre

Imaginons qu’un condensat rond contienne un vortex droit `a une certaine distance de son centre. A tout instant, la distribution de vitesse dans le condensat peut ˆetre calcul´ee `a partir des conditions aux bords et des termes sources (ici le vortex). Un plan contenant l’axe de rotation et le vortex est plan d’antisym´etrie pour les sources de sorte que la vitesse dans ce plan doit ˆetre orthoradiale. Si seule la force de Magnus agit sur le vortex, celui-ci suit l’´ecoulement local. La vitesse ´etant orthoradiale, il d´ecrit des cercles `a ´egale distance du centre [127]. Ce ph´enom`ene de pr´ecession a ´et´e ´etudi´e exp´erimentalement au JILA [128].

Ainsi un vortex cr´e´e au bord du condensat ne sera pas entraˆın´e vers le centre par l’action de la force de Magnus7. C’est donc sur les forces de Iordanskii qu’il faut se reposer pour que le vortex explore r´eellement tout l’espace mis `a sa disposition [129]. Ces forces sont li´ees `a la pr´esence de phonons, ou plus g´en´eralement `a la temp´erature finie de l’´echantillon. Les simulations num´eriques montrent d’ailleurs que mˆeme dans un ´echantillon initialement `a temp´erature nulle, les vortex finissent par se diriger vers le centre du condensat [121]. Cela tient `a la dynamique turbulente de la surface du condensat : celle-ci introduit des excitations de courte longueur d’onde dans le condensat ; ces excitations sont susceptibles de diffuser sur les vortex et de leur prendre un peu d’impulsion.

Enfin, on notera que lorsque plusieurs vortex sont pr´esents, ils cristallisent en un r´eseau or-donn´e. C’est l`a encore la dissipation qui permet au syst`eme de trouver l’´etat d’´energie minimale. Ces r´eseaux font l’objet de la quatri`eme partie.