6.1 1 er mod` ele de dynamique de croissance du moustique
6.2 Mod` ele avec double auto-r´ egulation
Dans ce mod`ele on suppose, comme dans le syst`eme d´ecrit au chapitre 3, que les deux stades immatures, œufs et larves, sont r´egul´es par l’effet d’une capacit´e d’accueil. Le retard, quant `a lui, correspond toujours `a la dur´ee du stade œuf. Ces hypoth`eses se traduisent donc par le mod`ele suivant :
syst`eme (6.4) se r´e´ecrit comme suit :
et qui est d´efini sur
∆ =
6.2.1 Existence, positivit´e et bornage des solutions
Consid´erons le probl`eme de Cauchy associ´e `a (6.4) relatif a la condition initiale suivante : l’instant t = 0 le nombre d’œufs pr´esents doit au moins ˆetre sup´erieur ou ´egal au nombre d’œufs pondus sur l’intervalle [−r,0] et qui ont surv´ecu jusqu’`a l’instant t= 0.
Le syst`eme (6.4) peut se r´e´ecrire de la mani`ere suivant : dX
Le probl`eme de Cauchy relatif `a (6.4) s’´ecrit alors :
G est localement lipschitzienne puisque ses composantes le sont. On en d´eduit donc l’existence et l’unicit´e de solution maximale (voir sectionA.5.5) aux probl`emes de Cauchy relatif `a (6.4).
Th´eor`eme 6.2.1. L’ensemble
∆ =
est positivement invariant pour le syst`eme (6.5).
D´emonstration.
Z T
T−r
exp(−dE(T −s))˜sf(s)ds >0
et Z T−r
0
exp(−dE(T−u))(1−s)f˜ (u)du >0, puisque pour tout t∈[−r, T[, f(t)>0.
D’o`u E(T)>0, ce qui contredit l’hypoth`ese.
2. SiL(T) = 0, d’apr`es le syst`eme (6.5), on a d’une part : L′(T) = lim
t→Tt<T
L(t)−L(T) t−T ≤0, et d’autre part
L′(T) = ˜sbA(T−r)
1− E(T−r) KE
exp(−dEr)>0,
Il y a donc contradiction puisque pour tout t ∈ [−r, T[, 0 < E(t) < KE et 0< A(t).
3. SiA(T) = 0, d’apr`es le syst`eme (6.5), on a d’une part que A′(T) = lim
t→Tt<T
A(t)−A(T) t−T ≤0, et d’autre part,
A′(T) =sLL(T)≥0.
donc A′(T) = 0 et par suite L(T) = 0, ce qui est impossible comme on vient de le voir.
4. SiE(T) =KE, alors d’une part :
E′(T) = −sf(T˜ −r) exp(−dEr)−dEKE <0.
et d’autre part E′(T) = limt→T
t<T
E(t)−E(T)
t−T ≥0 ce qui est absurde.
5. SiL(T) =KL, alors d’une part,
L′(T) =−(sL+dL)KL<0 et d’autre part
t→Tlim
t<T
L(t)−L(T) t−T ≥0, ce qui est absurde.
6. SiA(T) = sL
6.2.2 Stabilit´e locale des ´equilibres
Les points stationnaires du mod`ele (6.5) sont d´etermin´es analytiquement en r´esolvant :
Consid´erons, comme pr´ec´edemment le seuil suivant : R0 = bsLs˜
Le syst`eme (6.5) poss`ede toujours le point d’´equilibre trivial X0 = (0,0,0).
Si R0 ≤ 1 ou r ≥ r∗, le syst`eme (6.5) n’admet pas d’autre solution d’´equilibre
o`u γE = 1 + dmdEKE
bsL(1−se˜ −dEr)KL et γL= 1 + (1−se˜ −dEr)(sL+dL)KL
˜
se−dErdEKE Proposition 6.2.3.
Si R0 <1 ou r > r∗ (i.e. R0(r) <1), alors le point d’´equilibre trivial (0,0,0) est localement asymptotiquement stable.
Si R0 >1 et 0≤r < r∗ (i.e. R0(r)>1), X0 est instable.
D´emonstration. Le syst`eme lin´earis´e autour du point d’´equilibre trivialX0est donn´e par,
dE
dt (t) =−dEE(t) +bA(t)−˜sbexp(−dEr)A(t−r) dL
dt(t) =−(sL+dL)L(t) + ˜sbe−dErA(t−r) dA
dt(t) =sLL(t)−dmA(t)
(6.9)
Le polynˆome caract´eristique est donn´e par
∆(λ) = det(λI−J0−e−λrJ−r)
= det
λ+dE 0 −b+ ˜sbe−dEre−λr 0 λ+ (sL+dL) −sbe˜ −dEre−λr
0 −sL λ+dm
= (λ+dE)
(λ+sL+dL)(λ+dm)−e−λrR0(r)(sL+dL)dm
qui a d´ej`a ´et´e ´etudi´e dans le cas du mod`ele pr´ec´edent (voir proposition6.1.4) .
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0
Figure 6.3: Repr´esentation des racines de l’´equation caract´eristique du syst`eme (6.5) autour du point d’´equilibre trivial. (6.3(a)) : Les valeurs des param`etres sont : b= 6, KE = 1000, KL = 500, ˜s= 0.9,dE = 1/2, sL = 0.6,dL = 1/12, dm = 1/7, r= 2 etR0(r) = 12.2100. Il n’y a aucune racine de partie r´eelle strictement positive, donc le point d’´equilibre est localement asymptotiquement stable. (6.3(b)) : Les valeurs des param`etres sont : b = 1, KE = 500, KL = 500, ˜s = 0.9,dE = 1/2, sL = 0.6, dL = 1/12, dm = 1/7, r = 4 et R0(r) = 0.7486. Il y a une racine de partie r´eelle strictement positive, donc le point d’´equilibre trivial perd sa stabilit´e et devient localement instable.
Cas de l’´equilibre end´emique
Le syst`eme linearis´e autour d’un point d’´equilibre (E∗, L∗, A∗) est alors :
On pose
Le polynˆome caract´eristique est donn´e par
det(λI−J0−e−λrJ−r) =
et
Donc d’apr`es le crit`ere de Routh-Hurwitz, ∆(λ) poss`ede des racines de partie r´eelles strictement n´egatives. Le point d’´equilibre end´emique est localement asymp-totiquement stable en l’absence de retard (R0(r) =R0 >1).
Corollaire 6.2.1. Le point d’´equilibre end´emique est localement asymptotiquement stable pour tout r ∈[0,r[˜ avec r˜∈[0, r∗[.
D´emonstration. Cela d´ecoule de la continuit´e des racines du polynˆome caract´eris-tique (6.11) par rapport `a r et du fait qu’enr = 0, les racines sont `a parties r´eelles strictement n´egatives.
−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0
−80
−60
−40
−20 0 20 40 60 80
ℜ(λ)
ℑ(λ)
Figure 6.4: Repr´esentation des racines de l’´equation caract´eristique du syst`eme (6.5) autour du point d’´equilibre end´emique. Les valeurs des param`etres sont :b= 6, KE = 1000,KL= 500, ˜s= 0.9,dE = 1/2, sL= 0.6, dL= 1/12,dm= 1/7,r = 2 et R0(r) = 12.2100. Il n’y a aucune racine de partie r´eelle strictement positive, donc le point d’´equilibre est localement asymptotiquement stable.
Lorsque KE tend vers +∞ le syst`eme (6.5) devient alors le syst`eme (6.5). On en d´eduit le corollaire suivant :
Corollaire 6.2.2. Supposons R0 > 1. Pour tout r ∈ [0, r∗[, si KE est suffisam-ment grand alors le point d’´equilibre end´emique du syst`eme (6.5) est localement asymptotiquement stable.
D´emonstration. LorsqueKEtend vers +∞alors les valeurs propres du syst`eme (6.5) tendent vers les valeurs propres du syst`eme (6.1), qui sont `a partie r´eelle strictement n´egative. Donc par continuit´e des valeurs propres par rapport `a KE, on en d´eduit le r´esultat.
E sans KE E avec KE
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
-20 0 20 40 60 80 100
L sans KE L avec KE
0 50 100 150 200 250 300 350
-20 0 20 40 60 80 100
A sans KE A avec KE
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
-20 0 20 40 60 80 100
Figure 6.5: S´erie temporelle du syst`eme (6.1) sans capacit´e d’accueil KE et du syst`eme (6.5) avec KE (pour les valeurs des param`etres : b = 3.0, ˜s = 0.8, KE = 300000.0, KL = 500.0, dE = 0.4, sL = 0.6, dL = 0.2, dm = 0.25 et r = 2.
Dans ce casR0 = 7.200000 et R0(r) = 3.235169. Lorsque KE tend vers +∞ alors les solutions d’´equilibres, le seuilR0(r)et les comportements asymptotiques des so-lutions du syst`eme (6.5) se comportent comme celles du syst`eme (6.1).
Regardons, `a pr´esent l’´evolution des stades œufs, larves et adultes pour diff´e-rentes valeurs du retardr.
r1
Figure 6.6: S´erie temporelle du syst`eme (6.5) pour diff´erentes valeurs de r : r1 = 2, r2 = 10, r3 = 15 et r4 = 15.8. Les valeurs des param`etres : b= 6.0, ˜s= 0.9, KE = 1000.0, KL= 500.0, dE = 0.2, sL= 0.4,dL= 0.2,dm = 0.1. Notons ici que quelque soit la valeur du retard r choisitr =r1, ..., r4, etr∗ = 15,890269.
On peux alors faire la conjecture suivante : Conjecture :
Le point d’´equilibre end´emique X∗ du syst`eme (6.5) est localement asymptotique-ment stable pour tout r ∈[0, r∗[ o`u r∗ = 1
dE ln(R0).
En posant s = d˜se−dr
(1−se˜ −dr) alors le seuil bssL
(s+d)(sL+dL)dm du mod`ele (6.5)
(donn´e au chapitre (3) page153) est alors donn´e par bssL
(s+d)(sL+dL)dm = sLb˜se−dr
(sL+dL)dm, (6.14)
qui n’est autre que le seuil R0(r) du mod`ele `a retard (6.5). De plus pour cette valeur, les points d’´equilibres end´emiques sont ´egaux. Apr`es une p´eriode transitoire, le comportement asymptotique des solutions est ´egalement le mˆeme (voir figure 6.7 et lorsque (6.14) est v´erifi´e alors le point d’´equilibre end´emique est localement asymptotiquement stable dans les deux cas.
Dans ce cas, cette ´etude nous permet de faire un lien avec le syst`eme (6.5), et de simplifier ainsi l’´etude, celle-ci se r´eduisant `a l’´etude d’un syst`eme d’´equations diff´erentielles ordinaires, dans lequel le taux de transfert sdes œufs vers les larves est plus r´ealiste, comme on peut le voir dans la figure6.7.
E edo E edr
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
L edo L edr
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A edo A edr
0 200 400 600 800 1000 1200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figure 6.7: S´erie temporelle du syst`eme (6.5) pour les valeurs des param`etres : b = 6.0, ˜s = 0.6, KE = 1000.0, KL = 500.0, dE = 0.2, sL = 0.4, dL = 0.2, dm = 0.1, r = 2. Dans ce cas, on choisit s = d˜se−dr
(1−˜se−dr) = 0.134556 et ainsi R0(r) = 16.087681. Les solutions tendent vers le mˆeme ´etat d’´equilibre end´emique.