Etude du mod` ´ ele - Mod`ele structur´e : application ` a la transmission du chikungunya

Mod`ele structur´e : application ` a la transmission du chikungunya

3.2 Etude du mod` ´ ele

– b : est le taux de ponte intrins`eque des femelles ;

– KE, KL : la capacit´e d’accueil du gˆıte en œufs et en larves, respectivement ; – s, s_L : les taux de transfert du stade œuf au stade larve et du stade larve au

stade femelle adulte respectivement ;

– d, dL, dA: les taux de mortalit´e des œufs, larves et femelles adultes, respec-tivement.

Le syst`eme (3.1) est d´efini sur,

∆ =

3.2.1 Existence et unicit´e

Le modèle (3.1) est décrit par un système d’équations différentielles non linéaires autonomes du premier ordre. Il se réécrit sous la forme matricielle suivante :

X^′(t) =F(X(t)),

où surR³, on en déduit l’existence et l’unicité de la solution maximale au problème de Cauchy associé à l’équation différentielle (3.1) relatif à la condition initiale (t₀, X₀)∈ R×R³. De plus F, étant de classeC^∞, on en déduit que cette solution est aussi et seulement si de classeC^∞.

Dans la suite, on se restreint aux domaines de d´efinition suivants : R³₊={(x, y, z)∈R/x≥0, y ≥0, z≥0},

R^∗3

+={(x, y, z)∈R/x >0, y >0, z >0}. 3.2.2 Points d’´equilibres

Consid´erons le seuil d´efini par r=

Celui-ci est obtenu de manière évidente, lors du calcul des points d’équilibres. On montre alors le résultat suivant :

Proposition 3.2.1. Le système (3.1) possède toujours le point d’équilibre trivial X₀^∗ = (0,0,0).

– Si r≤1, le système (3.1) ne possède pas d’autres équilibres.

– Si r >1, il existe un unique ´equilibre end´emique

X^∗ =

o`u

γ_E = 1 +(s+d)d_mK_E bsLKL

et γ_L= 1 +(s_L+d_L)K_L sKE

Démonstration. La recherche des points d’équilibre du système (3.1) se traduit par la résolution du système suivant :



Il est clair que (0,0,0) vérifie les équations précédentes. Le second point d’équilibre est obtenu rapidement en résolvant le système avec, par exemple, la méthode de substitution.

3.2.3 Positivit´e et bornage des solutions

Proposition 3.2.2. Soient(t₀, X₀= (E₀, L₀, A₀))∈R₊×R³₊et([t₀, T[, X= (E, L, A))

Démonstration. PuisqueXest de classeC^∞, elle admet des développements limités d’ordre 1 ou d’ordre 2.

On proc`ede par l’absurde en supposant qu’ il existe ˜t₁ > t₀ tel que

∀t >˜t₁, X(t)∈/R³₊. (3.5)

Puisque X₀^∗ = (0,0,0) est un point d’´equilibre, alors, par unicit´e des solutions, on a X(t₁)6= (0,0,0). Pourt=t₁, il y a alors 6 cas possibles.

il existe ˜ε >0 tel que pour tout t1 < t≤t1+ ˜ε on a,E(t)>0. De plus, par continuit´e, il existe ˜ε˜tel que L(t) > 0 et A(t) >0 pour tout t ∈ [t₁, t₁+ ˜˜ε], donc pour toutt∈[t₁, t₁+ min{ε,˜ ε˜˜}],

X(t)∈R³

ce qui contredit la d´efinition det₁.

2. SoitX(t1) = (0,0, A(t1)) avecA(t1)>0. On peut montrer, comme pr´ec´edem-ment, qu’il existe ˜ε >0 tel que pour tout t₁ < t ≤t₁+ ˜εon a E(t) >0. De plus, on aL(t₁) = 0,L^′(t₁) = 0 etL^′′(t₁) =sE^′(t₁) =sbA(t₁)>0, alors

L(t) =L^′′(t₁)(t−t₁)²

2 + o

t→t1

(t−t₁)² On en d´eduit qu’il existe ˜ε >˜ 0 tel que∀t1 < t≤t1+ ˜˜εon a

L(t)>0

et par suite, commeA(t1)>0, il existeε1 >0 tel que∀t1 < t≤t1+ε1 on a X(t)∈(R₊)³

ce qui contredit (3.6).

3. On procède de la même manière pour les cas (E(t₁),0, A(t₁)), (E(t₁), L(t₁),0), (E(t₁),0,0) et (0, L(t₁),0).

Lemme 3.2.3. L’ensemble

∆ =







(E, L, A) |

0≤E≤K_E 0≤L≤KL

0≤A≤ sL

d_mK_L







est invariant par le syst`eme (3.1).

Démonstration. Soit (t₀, X₀ = (E₀, L₀, A₀)) ∈ R₊×R³₊ et ([t₀, T[, X = (E, L, A)) une solution maximale du problème de Cauchy associé à (3.1) muni de la condition initiale (t₀, X₀) (T ∈ ]t₀,+∞]). Soitt₁ ∈[t₀, T[. Nous devons montrer que

1. siE(t₁)≤K_E alors pour toutt₁≤t < T,E(t)≤K_E; 2. siL(t1)≤KLalors pour tout t1≤t < T,L(t)≤KL; 3. siA(t₁)≤ s_L

K_L alors pour toutt₁≤t < T,A(t)≤ s_L dm

K_L.

1. Montrons tout d’abord que, pour tout t∈[t0, T[, E(t)≤KE.

On suppose qu’il existe ε₁ tel que t₁ ≤ t₁ +ε₁ < T etE(t₁+ε₁) > K_E. On pose

t^∗₁ = inf{t≥t1 | E(t)> KE}. Puisque E(t^∗₁) =KE, alors

E(t) =K_E+E^′(t^∗₁)(t−t^∗₁) + o

t→t^∗1

(t−t^∗₁) De plus d’après la première équation du système (3.1) on a

E^′(t^∗₁) =−(s+d)K_E <0,

donc il existe ˜ε >0 tel que pour tout t^∗₁ ≤t < t^∗₁+ ˜ε, E(t) < K_E, ce qui est absurde. On en d´eduit que pour tout t∈[t₀, T[,E(t)≤K_E.

2. Montrons ensuite que pour tout t∈[t₀, T[,L(t)≤K_L].

On suppose qu’il existeε₁ tel quet₁ ≤t₁+ε₁< T,L(t₁+ε₁)> K_L. On pose t^∗₁ = inf{t≥t₁ | , L(t)> K_L}

Puisque L(t^∗₁) =K_L, alors

L(t) =K_L+L^′(t^∗₁)(t−t^∗₁) + o

t→t^∗₁(t−t^∗₁).

De plus d’après la deuxième équation du système (3.1), L^′(t^∗₁) =−(s_L+d_L)K_L<0,

il existe ˜ε >0 tel que ∀t^∗₁ ≤t < t^∗₁+ ˜ε, L(t) < K_L. Ce qui contredit l’hypo-th`ese. Ainsi pour tout t∈[t₀, T[,L(t)≤K_L.

3. On suppose qu’il existe ε₁ tel que t₁ ≤t₁+ε₁ < T,A(t₁+ε₁)> s_L

d_mK_L. On pose

t^∗₁= inf

t≥t₁ | , A(t)> s_L dm

K_L

. Puisque A(t^∗₁) = s_L

d_mK_L, alors A(t) = s_L

K_L+A^′(t^∗₁)(t−t^∗₁) +A^′′(t^∗₁)(t−t^∗₁)²

2 + o

t→t^∗₁ (t−t^∗₁)² Or on a,

A^′(t^∗₁) =s_L L(t^∗₁)−K_L

A^′′(t^∗₁) =s_LL^′(t^∗₁)−d_mA^′(t^∗₁) SiL(t^∗₁)< KL, alorsA^′(t^∗₁)<0.

SiL(t^∗₁) =K_L, alorsA^′(t^∗₁) = 0 etA^′′(t^∗₁) = s_LL^′(t^∗₁) = −s_L(s_L+d_L)K_L<0.

Dans les deux cas, il existe ˜ε > 0 tel que pour tout t^∗₁ < t ≤t^∗₁+ ˜ε, A(t) <

s_L

d_mK_Lce qui contredit l’hypoth`ese. Donc pour toutt∈[t₀, T[,A(t)≤ s_L d_mK_L. D’o`u pour toutt∈[t₀, T[,A(t)≤A.¯

Proposition 3.2.4. L’ensemble∆ est un bassin d’attraction relatif `a (3.1).

D´emonstration. Soit (t₀, X₀ = (E₀, L₀, A₀))∈R₊×R³

+\∆ et ([t₀, T[, X = (E, L, A)) une solution du problème de Cauchy associé à (3.1) muni de la condition initiale (t₀, X₀) .

On sait d’après la proposition précédente que ∆ est invariant3.2.3. Il suffit de mon-trer qu’il existet≥t₀ tel queX(t)∈Ω.

– On suppose que pour tout t ∈ [t0,+∞[, E(t) > K_E. D’apr`es la premi`ere

´equation du syst`eme (3.1), pour toutt ∈[t₀,+∞[, E^′(t) <−(s+d)K_E. Par comparaison, on obtient ∀t∈[t₀,+∞[, on a,

E(t)≤E₀−(s+d)K_E(t−t₀) ∀t≥t₀ Pour t₁ = t₀ + E₀−K_E

(s+d)K_E, alors E(t₁) ≤ K_E, ce qui contredit l’hypoth`ese.

Donc, pour toutt > t₁,E(t)≤K_E.

– SiL(t1)≤KL, alors la solutionL(t) est définie dans ∆ qui est invariant. Sinon, supposons au contraire que pour tout t ∈ [t₁,+∞[, t₁ défini précédemment, L(t)> K_L. Alors ∀t∈[t₁,+∞[, et grâce à la deuxième équation du système (3.1),L^′(t)<−(s_L+d_L)K_L.

Alors par comparaison∀t∈[t₁,+∞[ on a,

L(t)≤L(t₁)−(s_L+d_L)K_L(t−t₁) Pour t2 =t1+ L(t1)−KL

(s_L+d_L)K_L, on obtient L(t2) ≤K_L ce qui contredit l’hypo-th`ese. Par cons´equent, il existe t₂ > t₁ tel queL(t₂)≤K_L

L(t)≤K_L – SiA(t₂)≤ s_L

K_L, la solutionA(t) est d´efinie dans ∆ qui est invariant. Sinon, supposons au contraire que pour tout t ∈ [t2,+∞[, A(t) > sL

d_mK_L. Alors ∀

t∈[t2,+∞[, et grâce à la troisième équation du système (3.1),

d_mK_Lce qui contredit l’hypoth`ese.

En conclusion, pour t≥max(t₁, t₂, t₃), (E(t), L(t), A(t))∈∆. sait par les propositions 3.2.2 et 3.2.3 qu’elle est born´ee. Ceci implique qu’elle est globale.

3.2.4 Stabilit´e des ´equilibres

Proposition 3.2.5. L’´equilibre X₀^∗ = (0,0,0) est localement asymptotiquement stable si et seulement si r <1.

Démonstration. La stabilité locale de l’équilibre X₀^∗ est donné par la matrice jaco-bienne du système (3.1) évalué en ce point, DF(X₀^∗). On a : Le polynôme caractéristique de DF(X₀^∗) est

χ_X₀^∗ =λ³+α₁λ²+α₂λ+α₃

o`u

α1 = (s+d) + (s_L+d_L) +dm,

α₂ = (s+d)(s_L+d_L) + (s+d)d_m+ (s_L+d_L)d_m, α₃ =d_m(s+d)(s_L+d_L)(1−r).

En appliquant le crit`ere de Routh-Hurwitz (voir annexeA.2.3page191), on obtient α1 >0,α2>0 et

D₁=α₁α₂−α₃

= ((s+d) + (sL+dL) +dm) (s+d)((sL+dL) +dm) +d_m(s_L+d_L) r(s+d) + (s_L+d_L) +d_m

Sir <1 alorsα3 >0. Donc d’après le critère de Routh-Hurwitz, on en déduit que toute les valeurs propres de D_F(X₀^∗) sont de parties réelles strictement négatives.

Par suite X₀^∗ localement asymptotiquement stable pour le système (3.1). Si r > 1 alors α₃ < 0 et on montre que D_F(X₀^∗) a au moins une valeur propre de partie réelle positive ou nulle, par conséquentX₀^∗ n’est pas localement asymptotiquement stable.

Remarque 3.2.1. Une approche possible consiste à remarquer que la matrice jaco-bienne autour du point d’équilibreX₀^∗ peut s’écrire sous la formeD_F(X₀^∗) =N+M où N = diag(D_F(X₀^∗)) et M =D_F(X₀^∗)−N est une matrice positive. On montre alors aisément que ρ(−N⁻¹M) < 1 si R₀ < 1, donc D_F(X₀^∗) est une matrice de Metzler stable, d’où le résultat.

Proposition 3.2.6. L’´equilibre X^∗ (3.4) est localement asymptotiquement stable si et seulement si r >1.

Démonstration. Le système linéarisé autour de X^∗ est X^′(t) =D_F(X^∗)X(t)

Son polynˆome caract´eristique est

χ_X^∗(λ) =λ³+α₁λ²+α₂λ+α₃

o`u

Sir >1 alors les coefficients deχ_X^∗ sont tous strictement positifs et on a D1 = α1α2−α3

Le critère de Routh-Hurwitz nous permet d’en déduire que les valeurs propres de D_F(X^∗) sont de parties réelles strictement négatives doncX^∗est localement asymp-totiquement stable pour le système (3.1).

Proposition 3.2.7. Sir≤1l’´equilibreX₀^∗est globalement asymptotiquement stable dans int(∆) (∆ donn´e par le lemme3.2.3).

D´emonstration. On supposer≤1. Nous allons construire une fonction de Lyapunov associ´ee au point X₀^∗.

On la cherche sous la forme suivante

V : R³ −→ R

(x, y, z) 7−→ 1

2 a₁x²+a₂y²+a₃z²

o`ua= (a1, a2, a3) est une constante de (R^∗

+)³. On a

V(X₀^∗) = 0 et∀(x, y, z)∈∆\ {X₀^∗}, V(x, y, z)>0 Calculons sa d´eriv´ee orbitale, on obtient

V˙(x, y, z) = a₁x En notant h·,·ile produit scalaire dansR³, ceci ce r´e´ecrit

V˙(x, y, z) = X^T On construit alors la matrice sym´etrique suivante :

S₀ =−D+1

Le polynôme caractéristique de S0 est On le réécrit sous la forme suivante,

χ_S0(λ) = 1

On cherche à appliquer le critère de Routh-Hurwitz. Une condition nécessaire est que les coefficients de χ_X₀^∗ soient strictement positifs. On a

P₁(λ) = λ+a₁(s+d)

on obtientβ1 = 0, β2= 0 etβ3=d²_m(s+d)(1−r²)≥0.

Pour v´erifier la condition suffisante, on a

χ_S0(λ) =λ³+α₁λ²+α₂λ+α₃

ce qui donne la condition suffisante. Le critère de Routh-Hurwitz permet de conclure que sir <1, S₀ n’a que des valeurs propres strictement négatives : elle est définie négative.

Si r = 1, S₀ a une valeur propre nulle et deux valeurs propres strictement n´egatives : elle est seulement n´egative.

Dans le cas o`u r <1, on a ∀(x, y, z)∈∆\ {X₀^∗},

Donc V est une fonction de Lyapunov stricte et X₀^∗ est globalement asympto-tiquement stable sur ∆. Remarquons tout d’abord que si X /∈ Ker(S₀), alors hS₀X;Xi 6= 0. En effet,S₀´etant sym´etriqueKer(S₀) =Im(S₀)^⊥orS₀X ∈Im(S₀).

et Enfin, on v´erifie ais´ement que

et par suite V est une fonction de Lyapunov stricte et X₀^∗ est globalement asymp-totiquement stable sur ∆.

Remarque 3.2.2. On voit que le passage par les fonctions de Lyapunov nous a permis de conclure sur la stabilité de X₀^∗ dans le cas où r = 1, chose que l’on ne pouvait faire précédemment.

0 200 400 600 800 1000 1200

Figure3.2: Portrait de phase du système (3.1) pour les paramètres :b= 5,s= 0.2, d = 0.6, K_E = 1000, s_L = 0.3, d_L = 0.6, K_L = 500, d_m = 0.7. Dans ce cas r = 0.595238, alors toutes les trajectoires convergent vers le point d’équilibre trivialX₀^∗.

Proposition 3.2.8. Sir >1l’équilibreX^∗ donné par (3.4)est globalement asymp-totiquement stable dans int(∆) (∆ donné par le lemme3.2.3).

D´emonstration. On se place dans le cas o`ur >1. SoitX^∗(E^∗, L^∗, A^∗) = (x^∗, y^∗, z^∗).

Pour prouver la stabilit´e globale de X^∗, on introduit la fonction de Lyapunov V1 :R³→R d´efini par,

V1(x, y, z) = 1

2 a1(x−x^∗)²+a2(y−y^∗)²+a3(z−z^∗)²

o`u a = (a₁, a₂, a₃)^T ∈ (R^∗₊)³ est un vecteur constant positif. Notons que, puisque r >1,x^∗,y^∗ etz^∗ sont positifs. On a,

V₁(X^∗) = 0 et ∀(x, y, z)∈R³₊\ {X^∗}, V₁(x, y, z)>0.

Donc V1 est bien définie i.e. La dérivée orbitale, i.e. la dérivée de V1 le long des solutions du système (3.1), est

V˙₁(x, y, z) =a₁(x−x^∗)

Notons par h·,·ile produit scalaire deR³. Alors, la dérivée orbitale se réécrit de la manière suivante,

On construit la matrice symétriqueS1 suivante, Le polynôme caractéristique deS₁ s’écrit,

χ_S₁(λ) =λ³+α₁λ²+α₂λ+α₃

Prenons par exemple,

PuisqueS₁ possède une valeur propre nulle et deux valeurs propres strictement négatives. La matrice S₁ vérifie pour tout ˜X∈R³₊,

et donc

i.e.V1est une fonction de Lyapunov stricte etX^∗est globalement asymptotiquement stable dans ∆.

3.3 Mod` ele de dynamique de transmission du virus ` a

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