Modélisation de l'excitation des ondes d'Alfvén dans une conguration

− i(ν + η)k2ω. (4.2.14)

Dans un milieu idéal où la viscosité cinématique ν et la diusivité magnétique seraient nulles, l'expression précédente se réduit à :

ω = ±V_Ak · ^H0

kH₀k ^{= ±VA· k} (4.2.15)

avec pour rappel VA = H₀^qµ_ρ. Donc, dans la limite sans dissipation, la vitesse de phase est ω/k = VAcos(k, H₀) et la vitesse de groupe est ∇kω = V_A. Ce sont des ondes anisotropes car leurs propriétés dépendent de l'angle entre le champ magnétique appliqué et la direction de propagation de celles-ci.

4.3 Modélisation de l'excitation des ondes d'Alfvén

dans une conguration idéale

Dans ce paragraphe je vais illustrer quelques caractéristiques de ces ondes. Dans ce but, j'ai réalisé des simulations numériques d'ondes d'Alfvén dans une géométrie cylindrique grâce au code SFEMaNS dont les caractéristiques sont détaillées au chapitre 2. La modélisation est la suivante : on considère un cylindre de hauteur L = 1 et de rayon R = 0.5 rempli d'un métal liquide possédant une viscosité cinématique ν et une diusivité magnétique η = 1/σµ plongé dans un champ magnétique H0parallèle à l'axe de révolution du cylindre. Une faible perturbation magnétique est engendrée par une bobine excitatrice située sur la face inférieure du cylindre. Cette bobine est considérée comme étant liforme et est placée au contact du uide. L'évolution de l'onde dans le cylindre est suivie par la mesure de la force électromotrice notée fem dénie comme : f em = −R (dHz/dt)ds.

Le problème étant axisymétrique, on réalise un maillage du plan méridien représenté sur la gure 4.3. Le maillage est constitué de deux domaines diéremment résolus. Le domaine conducteur représentant le cylindre a un pas spatial plutôt faible, de l'ordre 1/160. Le deuxième domaine dans l'expérience est l'intérieur d'un solénoide créant un champ imposé uniforme. Dans notre modélisation, ce deuxième domaine est un vide de géométrie sphérique qui est environ dix fois plus grand que le cylindre conduc-teur an que le champ H0 imposé aux bords de ce vide soit uniforme dans la région du cylindre. La bobine excitatrice est représentée par le point rouge de coordonnées (r = 0.3, z = −0.5). Le ux de Hz est calculé au travers de la portion du cylindre représenté en rouge à la hauteur z = 0.5.

Les équations de la MHD dans la limite dissipative (cf. équations (4.3.1)) sont appro-chées sur le maillage présenté précédemment grâce à des éléments nis de Lagrange (pour plus de détails concernant la résolution numérique utilisée, voir chapitre 2). En adimensionnant le champ magnétique avec la vitesse d'Alfvén, elles s'écrivent :

(

∂_tU + (U · ∇)U + ∇p = [(∇ × H) × H] + _R¹A

e ∇2U

(a) (b)

Fig. 4.3  Type de maillage du plan méridien utilisé pour le calcul des ondes d'Alfvén : une source ponctuelle de courant azimutal est représentée sur le couvercle inférieur, le calcul de la force électromotrice (fem) s'eectue sur le couvercle supérieur au niveau du disque rouge. (a) Maillage utilisé avec un pas spatial de 1/100 . (b) Schéma représentant l'ensemble du domaine de calcul (vide plus conducteur).

où Js est un courant donné permettant la réalisation de la perturbation magnétique dans le cylindre. On excite les ondes d'Alfvén du cylindre en appliquant un courant azimutal du type : Jθ=J0f (t). f(t) est une fonction temporelle qui peut être de deux types : impulsionnelle, f(t) = (t/tc)(1 + (t/t_c)n) avec tc un temps de coupure et n un entier inuant sur la  raideur du signal, ou harmonique du type f(t) = sin(ωt), avec ω une pulsation. Les équations (4.3.1) font apparaître deux autres paramètres qui rendent compte des eets diusifs : le nombre de Reynolds cinétique basé sur la vitesse d'Alfvén RA

e = V_AL/ν avec VA = B₀/√

ρµ = H₀pµ/ρ, et le nombre de Lundquist Lu déni par Lu = µσVAL. A l'aide de ces deux paramètres on dénit un nombre de Prandtl magnétique noté P m = Lu/RA

e soit P m = νµσ. Ce nombre rend compte du temps de diusion ohmique par rapport au temps de diusion visqueux. Pour les métaux liquides usuels, ce nombre est de l'ordre de 10−5. Les simulations numériques avec des nombres de Reynolds cinétiques élevés sont exigeants en terme de résolution spatiale, il faut avoir au minimum 3 ou 4 points de grille dans les couches limites qui varient comme 1/pRA

e ou 1/^√Lu. Grâce à l'axisymétrie du problème, nous avons pu garder une valeur réaliste du nombre de Reynolds cinétique, RA

e = 5000. Le nombre de Lundquist est choisi de l'ordre de la centaine de façon à ce que le temps de dissipation ohmique Td= µσL2 soit grand devant le temps d'Alfvén Ta = L/H₀pµ/ρ.

4.3.1 Régime impulsionnel

Dans un premier temps on étudie la réponse impulsionnelle du cylindre. Pour cela, on fait passer un courant limité dans le temps dans la bobine excitatrice. L'amplitude du courant imposé doit rester faible de façon à ce que les non-linéarités ne soient pas très importantes. On dénit un paramètre  comme le rapport de la norme du champ magnétique perturbé engendré par le courant sur la norme du champ extérieur  = |h|/|H0|.

Les simulations présentées concernent le régime linéaire pour lequel le paramètre  est compris entre 10−2 et 10−3.

Le cylindre est plongé dans un champ magnétique axial H0 xé à 1, la perturbation magnétique réalisée est de la forme Jθ=J0(t/t_c)(1 + (t/t_c)³). Plusieurs simulations à diérents Prandtl ont été réalisées. La valeur du nombre de Reynolds cinétique basé sur la vitesse d'Alfvén étant xée à 5000, changer le Prandtl revient à changer le nombre de Lundquist, soit la diusivité magnétique du uide considéré. Pour un nombre de Prandtl P m = 0.01, correspondant à un nombre de Lundquist Lu=50, on constate (cf. gure 4.4 a) que le modèle est trop dissipatif. Une seule réexion d'onde d'Alfvén est observée sur 10 temps d'Alfvén. Pour un nombre de Prandtl P m = 0.1 correspondant à un nombre de Lundquist Lu = 500, les termes de diusion magnétique sont dix fois plus faibles que précédemment. Dans ces conditions, on observe plusieurs réexions d'onde d'Alfvén (cf. gure 4.4 b). A chaque réexion, on remarque que l'amplitude de l'onde est atténuée, cette atténuation de forme exponentielle est essentiellement due à la diusion ohmique, puisque Lu < RA

e. Dans les deux cas on voit que l'onde se propage bien à une vitesse égale au champ magnétique extérieur xé à 1 et arrive sur la bobine réceptrice au temps d'Alfvén Ta= 1.

La gure 4.4 représente la force électromotrice mesurée sur la face supérieure du

cy-(a) (b)

Fig. 4.4  Force électromotrice (fem) mesurée sur la face supérieure du cylindre pour dif-férents nombres de Lundquist et à un nombre de Reynolds cinétique xé RA

e=5000. (a) Re-présente la fem pour un nombre de Lundquist Lu = 50 et (b) reRe-présente la fem pour un nombre de Lundquist Lu = 500.

lindre. On constate un minimum pour t/Ta= 1 ce qui correspond à l'arrivée de l'onde avant la réexion, suivi d'un maximum plus atténué en amplitude ce qui correspond à l'éloignement de la perturbation après réexion. Cette dissymétrie est beaucoup moins prononcée quand le nombre de Lundquist est élevé.

Lorsqu'on représente l'amplitude des composantes non nulles de la vitesse Vr, V_z et du champ magnétique Hr, Hz en un point du cylindre (cf. gure 4.5), on constate un comportement diérent à la réexion pour le champ de vitesse et le champ magnétique. Les composantes radiale Hr et axiale Hr du champ magnétique ne changent pas de signe à la réexion, alors que les composantes Vr et Vz du champ de vitesse changent de signe. On remarque qu'avant la réexion les composantes du champ magnétique et du champ de vitesse sont en opposition de phase, alors qu'après réexion sur le couvercle supérieur du cylindre, elles redescendent en phase. An de conrmer cette

(a) composante radiale (b) composante axiale

Fig. 4.5  Signaux temporels en vitesse et en champ magnétique pour un point de coordonnées (r = 0.25, z = −0.1), Lu = 500, P m = 0.1.

propriété on propose de réaliser des visualisations du champ de vitesse et du champ magnétique dans le plan méridien avant et après réexion (cf. gure 4.6). On constate que, dans le plan méridien (r, z) les champs U et H tournent en sens inverse avant la réexion. Après réexion sur le haut du cylindre, les deux champs tournent dans le même sens. Si on compare les gures 4.6 c et d, on constate que le sens de rotation du champ magnétique est resté constant à la réexion, en revanche les gures 4.6 a et b montrent que le sens rotation du champ de vitesse a changé, ce qui est en accord avec les observations faites précédemment sur les signaux.

On a vu que les équations linéarisées ont des solutions z± = u ± hqui se propagent le long de H0 à la vitesse d'Alfvén. Dans le cas d'un milieu inni, u et h peuvent être quelconques (comme une onde simple en acoustique , telle que u = f(x−ct)+g(x+ct)). Dans le cas de l'expérience avec un cylindre ni, u et h doivent vérier des conditions aux limites en r = R et z = ±L/2 très diérentes pour u et h. Nous avons bien constaté que les solutions numériques sont qualitativement du type z± dans le corps du cylindre et il y a un échange entre z+ et z− à la réexion.

(a) (b) (c) (d)

Fig. 4.6  Champs magnétique et de vitesse méridiens avant (a,b) et après (c,d) réexion dans le régime impulsionnel, Lu = 500, P m = 0.1.

Cette étude préliminaire nous a permis de dégager plusieurs caractéristiques des ondes d'Alfvén dans un uide incompressible magnétisé. On a vu que, dans un régime

où la dissipation ohmique est faible, des ondes transverses au champ magnétique se déplaçant à une vitesse proportionnelle au champ magnétique peuvent être excitées. On a aussi pu vérier que ces ondes peuvent se propager dans deux directions : dans celle des lignes de champ et dans la direction opposée. On notera la propriété diérente des structures hydrodynamique et magnétique à la réexion.

4.3.2 Régime harmonique

Le cylindre peut également être excité en régime harmonique. En produisant un champ de perturbation oscillant, une réponse de résonance est attendue lorsque la fré-quence de forçage est proche d'une fréfré-quence propre d'un mode d'Alfvén du cylindre. Avec la conguration choisie, on s'attend à un temps d'aller-retour proche de 2, donc à une pulsation de résonance proche de π. Le courant injecté dans la bobine dépend d'une pulsation ω tel que Jθ = J₀ sin(ωt), ω variant de π/2 à 4π. An de produire la courbe de résonance, on excite le système avec diérentes pulsations ω. La réponse est mesurée par la mesure de la fem sur la face supérieure du cylindre. La réponse est maximale pour les fréquences proches des modes de résonance. La gure 4.7 (c) repré-sente la force électromotrice induite dans la bobine réceptrice divisée par la pulsation pour diérentes valeurs de ω.

On observe un premier pic de résonance pour ω = π et un deuxième pic de plus faible en amplitude pour ω = 2π comme attendu. Cependant, le fait que l'onde soit spatiale-ment étendue peut expliquer la largeur des deux pics. Pour la pulsation ω = π, on peut considérer que l'onde est excitée à chaque réexion sur le couvercle inférieur du cylindre. La visualisation des structures hydrodynamiques aux deux fréquences de résonance ω = π et ω = 2π (cf. gure 4.7 (b) et 4.7 (d)) montre que l'on excite diérents modes propres de résonance. Pour ω = π, on a dans le demi-plan méridien une seule structure hydrodynamique qui résonne, la taille caractéristique de celle-ci est de l'ordre de la hauteur du conteneur. On appelle cette structure une onde dipolaire. Pour ω = 2π, on observe dans le demi-plan méridien deux structures hydrodynamiques de taille carac-téristique 1/2 et de sens de rotation inverse, dénotées structure quadrupolaire.

Cette modélisation idéalisée de l'expérience Galalfvén nous a permis de valider notre approche numérique pour ce type de problème. Les caractéristiques des ondes d'Alfvén ont bien été approchées, tout comme le prévoyait l'approche analytique dans le régime non dissipatif. On a montré que, dans un régime d'excitation impulsionnelle et pour une certaine gamme de nombres de Prandtl P m et de nombres de Lundquist Lu, des ondes électromagnétiques transverses au champ magnétique sont excitées et se propagent à une vitesse proportionnelle au champ magnétique extérieur dans deux directions possibles. L'excitation harmonique dans un régime faiblement non linéaire  = |h|/|H₀| ∼ 10−2 et très peu diusif nous a également montré les modes propres de résonance d'un tel système.

-270 -180 -90 0 2pi 3pi/2 pi pi/2 0 Phasys (deg) Pulsation (a) (b) ω = π (c) (d) ω = 2π

Fig. 4.7  Réponse de résonance pour des pulsations d'excitation allant de ω = π/2 à ω = 4π. (a) Déphasage entre le signal émis et le signal mesuré sur la bobine haute. (c) Courbe de résonance montrant la fem divisée par la pulsation ω au cours du temps. Visualisation des champs de vitesse méridiens pour ω = π (b) et ω = 2π (d). Les vecteurs sont représentés dans un plan méridien.

4.4 Propagation d'ondes d'Alfvén dans un dispositif