Approche analytique des ondes d'Alfvén - Approche spectrale/éléments nis pour des problèmes de

4.2.1 Mécanisme de base de la propagation des ondes d'Alfvén

Les principaux facteurs responsables de la formation des ondes d'Alfvén découlent des deux principes physiques suivants :

la loi de Lenz appliquée à un uide conducteur : les courants induits par le déplacement du uide conducteur traversé par un champ magnétique engendrent des forces magnétiques qui s'opposent au déplacement de celui-ci,

la seconde loi de Newton appliquée à un uide conducteur : une force appliquée à un uide donne lieu à une modication de la quantité de mouvement du uide proportionnelle à l'amplitude de la force appliquée sur celui-ci dans la même direction.

Fig. 4.1 Mécanisme de propagation des ondes d'Alfvén, en ne considérant que l'action de la force de Lorentz sur le uide et la conservation de la quantité de mouvement

La propagation de ces ondes dans un milieu conducteur, plongé dans un champ magné-tique uniforme, peut être simplement schématisée à l'aide des deux principes évoqués précédemment via le mécanisme suivant. Considérons un uide conducteur plongé dans un champ magnétique constant. Le uide initialement au repos est perturbé dans la direction normale aux lignes de champ magnétique. Cette perturbation distord locale-ment les lignes de champ magnétique (gure 4.1 a). Cette courbure des lignes de champ magnétique produit une force magnétique (la force de Lorentz) sur le uide qui tend à redresser ces mêmes lignes de champ magnétique (via la loi de Lenz). L'application de la force de Lorentz sur le uide change la quantité de mouvement du uide (2e

des lignes de champ (gure 4.1 b). Ceci a pour eet de remettre les lignes de champs dans leur position initiale (gure 4.1 c). Le processus de distorsion des lignes de champ s'inverse et le même processus qu'en (4.1 a) se produit, le cycle reprend et les lignes de champ se retrouvent localement dans leur état initial.

Ce modèle suggère que la propagation d'une onde d'Alfvén le long des lignes de champ magnétique est analogue à la propagation d'une perturbation le long d'une corde élastique. Dans les deux cas on a deux eets antagonistes qui sont responsables de la dynamique de l'onde. Dans le cas d'une corde élastique, la tension de la corde agit comme une force de rappel entraînant la propagation d'une onde transverse dans la direction perpendiculaire à la perturbation initiale. Dans le cas de la propagation d'une onde d'Alfvén, la tension magnétique (cf. chapitre 1) agit de la même façon.

L'équilibre entre l'accélération inertielle du uide et l'accélération due à la force de Lorentz peut s'exprimer de la façon suivante au premier ordre en champ de vitesse perturbé pour un uide parfait :

ρ^∂v

∂t ^{= −∇p + j × µH} (4.2.1)

où ρ est la masse volumique du uide, µ la perméabilité magnétique, v le champ de vitesses, p la pression, H le champ magnétique et j = ∇ × H le courant électrique. On introduit une longueur et un temps caractéristiques notés respectivement LA, TA. L'équation (4.2.1) permet d'écrire dimensionnellement, VA/TA=B2/LAρµ. On a égale-ment VA=LA/TA, ce qui permet de dénir une vitesse caractéristique de ces ondes de la façon suivante : VA=B/^√ρµaussi appelée la vitesse d'Alfvén . Ces ondes se propagent avec une vitesse proportionnelle au champ magnétique extérieur.

4.2.2 Equation de propagation

Une autre façon d'appréhender les ondes d'Alfvén est de partir directement des équations de Navier-Stokes pour décrire la partie hydrodynamique ainsi que les équa-tions de Maxwell qui décrivent les eets magnétiques mis en jeu lors des déplacements de courant au sein du uide. Ce fut la démarche de H. Alfvén en 1942 présentée dans l'article [2] et reproduite ici.

Considérons les équations de Navier-Stokes et de l'induction pour un uide in-compressible de viscosité ν, de masse volumique ρ, de conductivité électrique σ et de perméabilité magnétique µ constantes et homogènes :

ρ^∂v ∂t ^{+ ρ (v · ∇) v = −∇p + j × µH + ρν∆v} (4.2.2) ∂H ∂t ^{= ∇ × (v × H) +} 1 µσ^∆H. (4.2.3)

L'équation (4.2.2) peut s'écrire en faisant apparaître un terme de pression magnétique µH2/2 : ρ^∂v ∂t ^{+ ρ (v · ∇) v = −∇} p + ^µH 2 2 + µ(H·∇)H + ρν∆v. (4.2.4)

La pression totale est alors Π = p + µH2/2. Supposons que le uide est au repos et soumis à un champ magnétique H0 constant dans la direction z. On suppose une perturbation du champ de vitesse dans la direction r transverse au champ magnétique et on cherche une solution à pression uniforme (voir la section 4.2.3 pour la justication). Les équations de Navier-Stokes et d'induction deviennent après linéarisation :

ρ^∂v^r ∂t ^{= µH}⁰ ∂h_r ∂z ^{+ ρν} ∂2v_r ∂z2 (4.2.5) ∂h_r ∂t ^{= H}⁰ ∂v_r ∂z ⁺ 1 µσ ∂2h_r ∂z2 (4.2.6)

Si on néglige les termes de diusion, les deux équations peuvent aisément se combiner et donner lieu à l'équation d'onde suivante :

∂2v_r ∂t2 = µ^H 2 0 ρ ∂2v_r ∂z2 (4.2.7)

Cette équation décrit la propagation de deux ondes transverses se propageant dans la direction +z ou -z à la vitesse dite d'Alfvén VA= H₀pµ/ρdéjà évoquée au paragraphe précédent. Il est commode d'introduire les variables de Elsasser v+ = v + hpµ/ρ et v− = v − h/pµ/ρ. Les équations de Navier-Stokes et d'induction peuvent alors s'exprimer à l'aide de ces variables pour donner les équations suivantes :

∂v+ r ∂t ⁼ H₀√ µ √ ρ ∂v+ r ∂z (4.2.8) ∂v_r⁻ ∂t ^{= −} H₀√ µ √ ρ ∂v_r⁻ ∂z (4.2.9)

Dans un milieu inni comme le schématise la gure 4.2, une perturbation initiale va pouvoir se propager le long des lignes de champ magnétique à la vitesse d'Alfvén dans les directions positive et négative.

Fig. 4.2 Schéma représentant la propagation d'une perturbation dans le sens des lignes de champ magnétique H et dans le sens opposé.

Jusqu'ici nous avons considéré la limite non dissipative (pas de viscosité cinéma-tique, ni de diusivité ohmique), limite raisonnable à l'échelle astrophysique et géophy-sique. Cependant, pour des métaux liquides, la viscosité cinématique est faible mais la

diusivité magnétique est relativement grande, soit des temps de diusion relativement courts, ce qui représente une contrainte expérimentale. On introduit un paramètre sans dimension, le nombre de Lundquist qui permet de donner une mesure de la vitesse de diusion ohmique de l'onde par rapport à sa vitesse de propagation. Ce nombre noté Luest déni comme le rapport du temps de diusion ohmique sur une distance caracté-ristique L sur le temps de propagation de l'onde noté Ta. Ce nombre doit être supérieur à 1 pour qu'une onde d'Alfvén puisse exister. Dans le noyau liquide des planètes ou dans des objets astrophysiques ce nombre est très grand, de l'ordre de 103 voire inni, dans des expériences en laboratoire il dépasse dicilement la centaine.

4.2.3 Relation de dispersion

Dans cette partie, on se propose d'établir l'équation de propagation des ondes d'Alfvén dans un milieu de diusivité magnétique η = 1/σµ et de viscosité cinématique ν nies, plongé dans un champ magnétique uniforme H0 axial. Reprenons les équations (4.2.2) et (4.2.3) une fois linéarisées autour d'un état de base tel que H = H0 + h et v = 0 + v où h est une faible perturbation du champ magnétique et v une faible perturbation du champ de vitesse. En ne gardant que les termes du premier ordre on aboutit au système suivant :

∂v ∂t ⁼ µ ρ^(H⁰· ∇)h + ν∆v − ^∇Π ρ (4.2.10) ∂h ∂t ^{= (H}⁰· ∇)v + η∆h (4.2.11)

Or, en dehors de la région perturbée, la pression totale Π est constante (le uide est au repos et H = H0) ; dans la région perturbée, la divergence de l'équation (4.2.10) donne l'équation de Laplace ∆Π = 0. Or une solution de l'équation de Laplace qui est constante à l'extérieur d'un domaine borné l'est aussi à l'intérieur. Le terme ∇Π

ρ peut

donc être éliminé de l'équation (4.2.10). Dans ces conditions, lorsque les constantes de uide η et ν sont susamment petites, le système d'équations formé par (4.2.10) et (4.2.11) décrit une onde qui se propage à la vitesse H0 le long d'une ligne de champ magnétique.

An d'obtenir une équation d'onde, on prend la dérivée en temps de l'équation (4.2.10) soit : ∂2v ∂t2 = ^µ ρ^(H⁰· ∇)^∂h ∂t ^{+ ν∆} ∂v ∂t (4.2.12)

On remplace ∂th en utilisant l'équation (4.2.11). En prenant η∆ de l'équation (4.2.10), on élimine h, ce qui conduit à l'équation d'ondes d'Alfvén suivante :

∂²v ∂t2 = ^µ

ρ^(H⁰· ∇)²v − νη∆²v + (ν + η)∆^∂v

∂t^. (4.2.13)

On cherche des solutions périodiques dans un milieu homogène inni en utilisant une décomposition de la solution en ondes planes progressives monochromatiques où chaque

variable v s'écrit : v = v0Reei(k.r−ωt)

où k = kxe_x+k_ye_y+k_ze_zet r = xex+ye_y+ze_z. Ceci conduit à la relation suivante :

ω² = µ(k · H₀)2

ρ ^{+ νηk}

− i(ν + η)k2ω. (4.2.14)

Dans un milieu idéal où la viscosité cinématique ν et la diusivité magnétique seraient nulles, l'expression précédente se réduit à :

ω = ±V_Ak · ^H⁰

kH₀k ^{= ±V}^A^{· k} (4.2.15)

avec pour rappel VA = H₀^q^µ_ρ. Donc, dans la limite sans dissipation, la vitesse de phase est ω/k = VAcos(k, H₀) et la vitesse de groupe est ∇kω = V_A. Ce sont des ondes anisotropes car leurs propriétés dépendent de l'angle entre le champ magnétique appliqué et la direction de propagation de celles-ci.

4.3 Modélisation de l'excitation des ondes d'Alfvén

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