Cas où la diusion ohmique est égale à la diusion visqueuse

Nous reprenons un cas caractérisé par Rm = 700, P m = 1, Ha = 32,H0 = 0.114 déjà étudié dans le cadre axisymétrique. Dans cette simulation, nous considérons 16 modes de Fourier, soit m le mode azimutal allant de 0 à 15. Nous utilisons un maillage de section méridienne rectangulaire de rapport de forme R/L = 15, formé d'éléments triangulaires de Lagrange d'ordre 2. Chaque élément a un pas spatial dh = 0.0143, ce qui donne environ 67157 n÷uds pour le champ de vitesse U et magnétique H ainsi que 33579 n÷uds pour la pression P et 52041 n÷uds pour le potentiel extérieur φ. Le code que nous utilisons étant parallélisé (voir chapitre 2), les simulations sont réalisées sur 16 processeurs, chaque processeur s'occupant d'un mode azimutal m.

Si on compare l'évolution des énergies magnétique et cinétique aux temps courts pour le cas axisymétrique et 3D (cf. g . 5.24), on peut remarquer qu'elles sont très similaires auxtemps courts. Si on regarde plus en détail l'évolution de l'énergie ma-gnétique des trois premiers modes mama-gnétiques pendant la phase MRI à t < 30 (voir gure 5.25 a), on constate que le mode axisymétrique est le plus instable, son taux de croissance est d'environ 1.26. Les modes m = 1 et m = 2 présentent des taux de croissance de respectivement 1.08 et 1.12. Ce résultat est en accord avec les études eectuées dans le cadre linéaire dans l'article [4] qui montrent que les modes m = 1 et m = 2 sont les deux modes non axisymétriques les plus instables présentant un taux de croissance similaire. Dans le régime non linéaire (cf. gure 5.25 b), on peut noter que les modes azimutaux élevés semblent contribuer aux uctuations du mode m = 0.

87 88 89 90 91 92 93 94 0 50 100 150 200

Energie cinetique totale

Temps m=0 Axi m=0 3D (a) 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 0 50 100 150 200

Energie magnetique totale

Temps

m=0 Axi m=0 3D

(b)

Fig. 5.24  Energies cinétique (a) et magnétique (b) du mode m = 0 dans une simulation axisymétrique et pour un calcul 3D en comparaison (Rm = 700,P m = 1, Ha = 32,H0 = 0.114).

(cf. gure 5.27) montre que préférentiellement les modes pairs poussent exponentielle-ment sur un temps d'environ 200, puis saturent pour enn diminuer par diusion.

(a) (b)

Fig. 5.25  (a) Energie magnétique des modes m = 0, 1, 2 dans le cas de la simulation 3D à temps courts. (b) Energie magnétique des modes m = 0, 2, 4, 6 dans le cas d'une simulation 3D à temps longs. L'énergie magnétique d'un calcul axisymétrique est aussi représentée à titre de comparaison(Rm = 700,P m = 1, Ha = 32,H0 = 0.114).

Nous observons que ces modes sont excités durant la phase MRI, puis sont ampliés par le cisaillement présent dans l'écoulement, jusqu'à atteindre un maximum. Lorsque leur longueur d'onde axiale est trop elevée par rapport à la hauteur du disque (voir gure 5.26), ils saturent et meurent par diusion.

A ce nombre de Prandtl, seuls les modes magnétiques pairs atteignent une ampli-tude proche de celle du mode m = 0. Pour le champ de vitesse, on peut constater que ce sont également les modes pairs qui croissent préférentiellement durant le régime post-MRI puis décroissent (voir gure 5.28).

On visualise les diérents modes de vitesse pairs qui sont excités sur la gure 5.29. On peut voir que le mode m = 0 de vitesse est le plus intense en amplitude et est localisé sur l'orbite où le cisaillement est maximum en r = rmax. Le mode m = 2 est de plus faible amplitude et est localisé plus vers l'extérieur du disque sur une orbite situé à environ 3 s0. Les modes de vitesse élevés sont beaucoup plus étalés radialement, ce qui impose d'avoir un domaine de calcul assez étendu an de ne pas induire des eets de bord en r = R.

Dans cette section, je n'ai présenté que la simulation au nombre de Reynolds le plus élevé que jai réalisée. Bien que, durant la phase MRI, des modes élevés soient excités, ils ne le sont pas susamment pour interagir ecacement entre eux et nissent par s'éteindre par diusion. An d'aller vers un état post-MRI plus uctuant, nous avions deux possibilités : soit augmenter le nombre de Reynolds à P m = 1, soit se placer dans un régime où les diusions ohmique et visqueuse dièrent. En eet, pour des nombres de Prandtl P m élevés, il a été montré dans des études locales [24] que l'apparition de turbulence dans le régime de saturation de l'instabilité était favorisé. Nous avons retenu la deuxième possibilité car l'augmentation du nombre de Reynolds nécessiterait d'augmenter le pas de grille, donc la taille du maillage, qui, dans ce type de simulation,

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.26  Visualisation dans le plan méridien des isovaleurs d'énergie pour le mode magné-tique (m=2) à diérents temps (Rm = 700, P m = 1, H0 = 0.114), (a) t = 30, (b) t = 450, (c) t = 660.

(a) (b)

Fig. 5.27  (a) Energie magnétique des modes impairs m = 0, 1, 3, · · · 15 et du mode m = 0. (b) Energie magnétique des modes pairs m = 0, 2, · · · 14 au cours du temps (Rm = 700, P m = 1, Ha = 32,H0 = 0.114).

inue très largement sur la taille des systèmes linéaires à traiter et par conséquent sur le temps de calcul.

(a) (b)

Fig. 5.28  (a) Energie cinétique des modes impairs m = 1, 3, · · · 15 et du mode m = 0. (b) Energie cinétique des modes pairs m = 2, · · · 14 au cours du temps (Rm = 700, P m = 1, Ha = 32, H0 = 0.114).

(a) (b) (c)

Fig. 5.29  Visualisation des modes de vitesse m = 0 (a), m = 2 (b) et m = 4 (c) au temps t = 450 pour un calcul 3D, Rm = Re = 700, avec 16 modes de Fourier.

5.4.2 Cas où les diusions ohmique et visqueuse dièrent

(P m 6= 1)

Dans cette section, nous avons considéré trois cas : Rm = 400, Re = 800, soit P m = 0.5, Rm = 800, Re = 400, soit P m = 2, Rm = 1600, Re = 400, soit P m = 4. Les résultats de ces trois simulations sont résumés sur les deux gures 5.30 et 5.31.

La gure 5.30 représente l'énergie magnétique des modes impairs (à gauche) et pairs (à droite) au cours du temps, pour les trois nombres de Prandtl P m = 0.5, P m = 2 et P m = 4 respectivement en haut, au centre et en bas. Dans un premier temps, on peut remarquer que tous ces graphes présentent un régime transitoire pendant lequel les modes élevés magnétiques et de vitesse croissent puis diminuent pour un temps inférieur à 300. L'inuence du nombre de Prandtl magnétique se fait sentir dans la dynamique suivant cette  bosse transitoire. Pour P m inférieur à 4, les modes magné-tiques les plus instables sont, tout comme pour le cas P m = 1, les modes pairs. Pour le cas P m = 0.5, on voit que les modes pairs élevés croissent tout comme dans le cas P m = 1sur un temps d'environ 400. Cependant, ils semblent se maintenir au delà, ce qui n'était pas le cas pour P m = 1. En revanche, dans le cas P m = 2, les modes pairs croissent sur à peine un temps de 200 et diminuent beaucoup plus rapidement ensuite que dans les cas P m = 0.5 et P m = 1.

1e-35 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Log Emag (Pm=0.5) Time m=0 m=1 m=3 m=5 m=7 m=9 m=11 m=13 m=15 (a) 1e-35 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Log Emag (Pm=0.5) Time m=0 m=2 m=4 m=6 m=8 m=10 m=12 m=14 (b) 1e-35 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Log Emag (Pm=2) Time m=0 m=1 m=3 m=5 m=7 m=9 m=11 m=13 m=15 (c) 1e-35 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Log Emag (Pm=2) Time m=0 m=2 m=4 m=6 m=8 m=10 m=12 m=14 (d) 1e-35 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 0 200 400 600 800 1000 Log Emag (Pm=4) Time m=0 m=1 m=3 m=5 m=7 m=9 m=11 m=13 m=15 (e) 1e-35 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 0 200 400 600 800 1000 Log Emag (Pm=4) Time m=0 m=2 m=4 m=6 m=8 m=10 m=12 m=14 (f)

Fig. 5.30  Simulations 3D à Rm = 700, Ha = 32 et diérents P m : (a,c,e) : énergie magnétique des modes impairs m = 1, 3, · · · 15 et du mode m = 0 ; (b,d,f) : énergie magnétique des modes pairs m = 0, 2, · · · 14. De haut en bas : P m = 0.5, P m = 2, P m = 4.

Le cas P m = 4 est diérent car, contrairement aux autres cas, le mode magnétique le plus instable est le mode m = 1, donc un mode impair. On peut remarquer que ce mode croît dès la phase MRI et semble contribuer de façon majoritaire aux uctua-tions du mode axisymétrique. Il se maintient au cours du temps. On voit cependant que les modes élevés restent indépendants et ne se couplent toujours pas. La gure 5.31 représente l'énergie cinétique des modes impairs (à gauche) et pairs (à droite) au cours du temps, pour les trois nombres de Prandtl P m = 0.5, P m = 2 et P m = 4 res-pectivement en haut, au centre et en bas. On peut noter que, dans le cas P m = 0.5, le mode m = 2 est presque d'amplitude comparable à celle du mode axisymétrique. On constate un comportement très similaire à celui des énergies magnétiques décrit précédemment. Ceci semble être la trace du couplage des modes par l'intermédiaire de

1e-35 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Log Ekin (Pm=0.5) Time m=0 m=1 m=3 m=5 m=7 m=9 m=11 m=13 m=15 (a) 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Log Ekin (Pm=0.5) Time m=0 m=2 m=4 m=6 m=8 m=10 m=12 m=14 (b) 1e-35 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Log Ekin (Pm=2) Time m=0 m=1 m=3 m=5 m=7 m=9 m=11 m=13 m=15 (c) 1e-35 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Log Ekin (Pm=2) Time m=0 m=2 m=4 m=6 m=8 m=10 m=12 m=14 (d) 1e-35 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 0 200 400 600 800 1000 Log Ekin (Pm=4) Time m=0 m=1 m=3 m=5 m=7 m=9 m=11 m=13 m=15 (e) 1e-35 1e-30 1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1 0 200 400 600 800 1000 Log Ekin (Pm=4) Time m=0 m=2 m=4 m=6 m=8 m=10 m=12 m=14 (f)

Fig. 5.31  Comme pour la gure 5.30 mais pour l'énergie cinétique.

l'état de base axisymétrique : la force de Lorentz dans les équations de Navier-Stokes est du type (∇×H) × H0 et le terme de couplage dans l'équation d'induction est du type ∇×(U0× H) + ∇×(U × H₀), qui font donc intervenir les perturbations de façon linéaire au premier ordre. Les couplages entre modes sont diérents de ceux intervenant dans l'eet dynamo.

An d'avoir un couplage entre modes plus important, ils nous faudrait faire des simulations à plus hauts nombres de Reynolds. Jusqu'à présent, ces simulations n'ont pas été envisagées car il nous faudrait augmenter la résolution de nos calculs. Les simulations non axisymétriques réalisées ont montré que la résolution dans la direc-tion azimutale était susante (les modes de Fourier élevés restent d'amplitude faible). Cependant, si nous regardons les contours des diérentes composantes du champ de vitesse perturbé au niveau du plan équatorial z = 0, on peut noter la présence de forts gradients radiaux sur la composante radiale de vitesse (voir 5.32 a) et sur la

(a) (b) (c)

Fig. 5.32  Contours des composantes de vitesse perturbée dans le plan équatorial en z = 0, pour le calcul (P m = 0.5, Rm = 400, Re = 800, Ha = 32, H0 = 0.114) au temps t = 480. composante axiale (voir 5.32 c), dans certaines régions du disque. Dans le cas de nombres de Reynolds plus forts, ces gradients plus importants devraient être résolus. Pour cela ,il nous faudrait soit utiliser un maillage plus n soit régulariser ces gradients.

5.5 Conclusion et perspectives sur les simulations

MHD d'un disque képlerien

Les disques sont des objets astrophysiques rencontrés dans une grande variété de situations dont les disques galactiques et les disques circumstellaires sont des exemples typiques visibles sans instrument (voie lactée et système solaire). La conguration de disque apparait naturellement dans un système avec moment angulaire, autogravitant ou soumis à une force centrale, mais l'état dynamique d'un disque dépend de sa gé-nèse et le prol radial des vitesses ne sera pas en général  képlerien . Si on prend en compte le champ magnétique observé dans la plupart des disques, il semble encore plus dicile de trouver des propriétés structurelles générales pour le champ de vitesse et le champ magnétique, la distribution de densité et température, le ux de masse et le ux de moment angulaire, qui sont les quantités d'intéret majeur pour connaître l'évolution de ces objets. Nous avons choisi de concentrer cette étude numérique sur un seul thème : le couplage non linéaire du champ de vitesse et du champ magnétique qui pourrait conduire à un état statistiquement stationnaire, dans lequel l'énergie ciné-tique de la rotation alimenterait la turbulence MHD. On peut dire que, si la simulation numérique d'une telle situation est un objectif majeur, il est loin d'être atteint de façon incontestable.

au minimum, nous rappelons les hypothèses adoptées :

(i) le uide est considéré comme incompressible. Cela peut se justier en invoquant des uctuations de vitesse d'amplitude faible par rapport à la vitesse du son. Autrement dit, les ondes acoustiques ont des conséquences dynamiques négligeables. (ii) la densité est uniforme : on néglige les stratications radiales et axiales en température et en densité. Cette hypothèse, qui n'est pas confortée par les observations, sera justiée a posteriori si on peut vérier par exemple que les eets dynamiques MHD se concentrent dans un domaine limité et non dans la totalité du disque. (iii) le uide occupe un domaine cylindrique borné. Les disques réels sont connés par la gravitation, qui n'est pas prise en compte dans ce modèle simplié. (iv) on ajoute un forçage ad hoc en volume de la composante azimutale de la vitesse. En l'absence de ce forçage, la viscosité nie du uide imposée par la résolution numérique nie, perturbe le champ de vitesse initial et tend à produire une rotation rigide. Comme on s'intéresse essentiellement aux eets MHD susceptibles de perturber un écoulement képlerien, le forçage choisi produit un prol de vitesse képlerien, qui est hydrodynamiquement stable. Le prol initial choisi pourrait évidemment vérier une autre loi.

Un champ magnétique extérieur uniforme est appliqué parallèlement à l'axe. Cette conguration  académique a l'avantage de faciliter les prédictions analytiques. On pourrait penser aussi appliquer un champ dipolaire central, qui modéliserait le champ engendré dans un objet central. Comme cette incitation à plus de réalisme demande la dénition de paramètres supplémentaires arbitraires, nous n'avons pas suivi cette voie pour l'instant.

Les hypothèses ci-dessus peuvent être comparées à celles qui sont admises dans le cadre de l'approximation  shearing sheet . L'écoulement est alors décomposé en un ot moyen cisaillé xé ne dépendant que de la variable radiale et les uctuations cinétiques et magnétiques vérie les équations non linéaires avec une périodicité axiale (non obligatoire mais souvent appliquée) et ou une périodicité radiale des uctuations. Cette approximation est numériquement adéquate pour décrire l'instabilité magnéto-rotationnelle. Ce succès partiel ne devrait pas servir à la valider pour une exploitation systématique. Elle est en eet plus délicate à justier dans le régime saturé, non linéaire, lorsque les structures qui se forment atteignent l'échelle de la boite, ce qui décrédibilise les hypothèses de périodicité. La conguration de notre état initial est choisie pour produire l'instabilité MRI, qui aboutit à l'excitation des six composantes de vitesse et de champ magnétique. La n de la phase linéaire se traduit par un pic des énergies uctuantes, dont l'intensité impose une contrainte sur les nombres de Reynolds accessibles.

Lorsque les uctuations de vitesse et de champ magnétique sont axisymétriques (cas m = 0), nous avons obtenu un état nal stable pour des nombres de Reynolds  faibles (Rm < 700). Dans cet état, le prol képlerien est fortement perturbé dans la zone de fort cisaillement δVθ ≈ 30% et les uctuations magnétiques exprimées en vitesse d'Alfvén ont une intensité proche de 0.15 alors que le champ magnétique ap-pliqué est de 0.114. Lorsque le nombre de Reynolds est assez grand, on observe un comportement cyclique, qui se prête à une modélisation simple. Le résultat principal est que la durée du cycle est très nettement supérieure à la période de rotation et ne semble pas fortement liée au nombre de Reynolds.

le cadre du modèle numérique simplié adopté sont observables dans des disques as-trophysiques. On connait par exemple des oscillations quasi-périodiques (QPO) de la luminosité X dans des étoiles binaires de faible masse, ou dans d'autres familles d'ob-jets telles que les variables cataclysmiques. Ces oscillations non expliquées, de période longue par rapport à la période orbitale, pourraient témoigner de l'interaction entre un disque d'accrétion et une magnétosphère (pour une revue des propriétés de certaines QPO, voir par exemple l'article de Van der Klis [17]). La période de rotation de l'étoile centrale (étoile à neutrons) peut être proche de la milliseconde et il s'agit d'expliquer des fréquences d'oscillations entre 5 et 60 Hz, soit entre 200 et 15 périodes de l'objet central. Même si notre modèle montre des cycles analogues, occupant une vingtaine de périodes képleriennes, il est trop simplié pour tenter un rapprochement quantita-tif avec les QPO observées dans la nature. En particulier, il faudrait commencer par comparer les eets de notre force azimutale ad hoc et de l'accrétion pour le temps de restauration du prol képlerien et approfondir l'examen du rôle de la diusion vis-queuse.

En tout cas, les simulations numériques montrent que le couplage non-linéaire des modes axisymétriques du champ de vitesse et du champ magnétique peut avoir des eets observables dans un cadre indépendant de celui de l'eet dynamo. Ce dernier requiert des études non axisymétriques, que nous avons commencé à aborder, mais qui restent cependant jusqu'à présent peu abouties. Nous avons observé que, lorsque les modes azimutaux non axisymétriques sont excités initialement, on constate encore les eets importants du nombre de Reynolds. Si celui-ci est inférieur à 500, le suivi de l'énergie des 16 modes azimutaux montre le déclin des petites échelles par dissipa-tion visqueuse. Il ne reste que le mode axisymétrique m = 0 qui retrouve le régime décrit précedemment. Si le nombre de Reynolds augmente, des uctuations à plus pe-tites échelles sont excitées et il faut diminuer la taille de la grille spatiale et accroître le nombre de modes azimutaux, ce qui augmente le temps de calcul. Le plus grand nombre de Reynolds atteint est Re = 700 avec un nombre de modes azimutaux m = 16. On constate qu'après une phase quasi-MRI, les uctuations décroissent et que le système tend vers un état stationnaire pour lequel le mode axisymétrique oscille de la même façon que dans le cas axisymétrique. Il nous faut envisager des modications d'ordre numérique an de pouvoir faire des simulations résolues à plus haut Reynolds en un temps de calcul raisonnable. Pour cela nous pouvons soit envisager une parallélisation par domaines, soit l'implémentation d'un ltre LES. La deuxième stratégie à été rete-nue, la méthode implementée est une méthode de stabilisation non linéaire de la vitesse, elle se traduit par l'adjonction dans le traitement des équations de Navier-Stokes d'une viscosité entropique semi explicite basée sur la norme du résidu calculé à chaque pas de temps [40].

Les simulations dans une boite cisaillée produisent des régimes quasi-turbulents, mais on peut s'interroger sur la légimité de cette modélisation, d'autant plus que ces régimes dépendent sensiblement du rapport de forme de la boite. En ce qui concerne les simulations globales, nous distinguerons deux catégories, une première montre tout comme dans nos simulations des régimes de saturation présentant des oscillations [45]. Une deuxième catégorie de simulations globales repose sur des disques minces possè-dant des zones d'absorption (zones également appelées zones fantomes où la viscosité cinématique et la diusivité magnétique sont nulles). Ces simulations sont souvent com-pressibles, prennent en compte de la stratication (densité volumique variable suivant

la hauteur du disque) et montrent un état de saturation post-MRI turbulent accom-pagné de transport du moment angulaire vers les bords externes du disque [66],[25]. La majorité des simulations sont réalisées pour des nombres de Reynolds Re ≈ 1000 mais à tres haut nombre de Prandtl environ 8. Il semblerait que, pour des nombres de Prandtl inférieurs, la turbulence observée disparaisse dans les simulations en boite cisaillée.

Chapitre 6

Induction et eet dynamo dans des

domaines hétérogènes

6.1 Introduction

Ce chapitre traite de la prise en compte de sauts de perméabilité magnétique dans la résolution de l'équation d'induction. L'aspect théorique ayant été abordé au chapitre 2, nous présentons ici une validation de notre approche sur un cas analytique ainsi qu'une modélisation d'une expérience dynamo basée sur un écoulement de von Kármán utilisant du sodium liquide et dénommée VKS2.

L'hypothèse la plus probable expliquant l'existence d'un champ magnétique sur Terre et sur d'autres planètes est l'existence d'un eet dynamo dans leurs noyaux liquides. Ce principe, tout comme la dynamo de bicyclette, consiste en la conver-sion d'énergie mécanique en énergie magnétique. La communauté géophysique croit en l'existence d'une dynamo uide homogène auto−excitée au sein du noyau terrestre. Pour la première fois en octobre 2006, une telle dynamo a été réalisée en laboratoire par l'équipe VKS [63], regroupant des chercheurs de l'Ecole Normale Supérieure de Paris et de Lyon et du Commissariat à l'Energie Atomique de Saclay et de Cadarache. Cette expérience dont le schéma est représenté en gure 6.1 (a) consiste à générer un écoulement de von Kármán dans une cavité cylindrique, remplie de sodium liquide. Le sodium liquide est mis en mouvement par deux turbines, munies de pales, tournant en exacte contra-rotation. Chaque turbine agit comme une pompe centrifuge : le uide tourne avec chaque turbine et est expulsé par eet centrifuge (cf. gure 6.1 b). Chaque turbine est munie de huit pales dont la géométrie a été optimisée pour avoir un rapport des vitesses toroïdale sur poloïdale optimum, favorable à la dynamo [61]. Le succès original et inédit de l'expérience a cependant soulevé plusieurs questions au sein de la communauté dynamo. En eet, le champ magnétique obtenu ne présente pas les