Etude du régime impulsionnel

La simulation précédente présente plusieurs diérences par rapport à l'expérience Galalfvén présentée en introduction. La paroi conductrice entourant le uide n'est pas prise en compte et la génération de la perturbation est au contact du uide. An de réaliser une modélisation plus dèle de l'expérience, il nous faut prendre en compte l'enveloppe conductrice. La conguration exacte de la bobine excitatrice doit égale-ment être modélisée. Pour cela, on considère une bobine placée sur la face inférieure du cylindre dont la taille est en accord avec la bobine expérimentale, voir gure 4.8. La gure ci-dessous représente le schéma de ce dispositif expérimental ainsi que le maillage du demi-plan méridien. Dans nos simulations, le conteneur est modélisé par un cylindre de hauteur L = 1 et de rayon R = 0.55, ce cylindre est entouré d'une paroi conductrice de 0.02 d'épaisseur. La bobine excitatrice est modélisée par un tore de section rectan-gulaire dont les dimensions sont en accord avec la bobine expérimentale placée sur la surface inférieure du cylindre. Les simulations présentées sont faites avec un maillage (gure 4.8 b) quasi uniforme avec un pas de 1/200 de façon à résoudre la couche

conduc-(a) (b)

Fig. 4.8  (a) Schéma de l'expérience Galalfvén. (b) maillage du demi-plan méridien de la simulation .

trice (environ 4 points de grille dans l'enveloppe conductrice). L'ensemble est placé dans une sphère de vide de rayon R=10 où un champ magnétique constant H0 orienté selon l'axe du cylindre est imposé. On excite le uide contenu dans le cylindre en imposant un courant azimutal dans la bobine excitatrice, la forme du courant imposé est trian-gulaire et a des caractéristiques très similaires à l'excitation expérimentale. On prend également en compte des sauts de conductivité électrique en accord avec les données expérimentales. Les conductivités électriques sont adimensionnées par la conductivité du galinstan, ce qui donne σ = 1 dans le uide, σ = 0.4 pour la couche conductrice en acier et σ = 0.01 pour la bobine excitatrice composée de ls de cuivre et de plastique. Avec les champs magnétiques utilisés dans l'expérience, le nombre de Lundquist est de l'ordre de 60. Le nombre de Prandtl, étant uniquement lié au uide utilisé, est indépendant du champ magnétique et est de l'ordre de 10−5. Les simulations numé-riques sont réalisées pour des nombres de Lundquist proches de ceux expérimentaux. En revanche le nombre de Prandtl dans nos simulations est de l'ordre de 10−3. On peut cependant supposer que le comportement qualitatif des ondes d'Alfvén peut être ap-proché. Dans un premier temps on se propose de reproduire la réponse impulsionnelle pour diérents nombres de Lundquist allant de 33 à 61.2, correspondant à des champs extérieurs allant de 7 Tesla à 13 Tesla. Tout comme précédemment dans le cas idéal, on impose un courant azimutal dans la bobine extérieure située sur la face inférieure du cylindre du type :

J_s= Amp^(λt)

2− α exp(−(^(λt−a)_b )²) − β exp(−(^(λt−c)_d )²)

(1 + ((λt) − γ)9) (4.4.1)

Les paramètres α, β, a, c permettent d'optimiser la forme du courant de façon à être le plus proche possible de la forme du courant imposé expérimentalement. Les paramètres λ, b, dpermettent de régler le temps du maximum d'amplitude an qu'il soit en accord avec le temps du maximum expérimental pour chaque valeur de champ extérieur H0. Enn l'amplitude du courant est réglée grâce au paramètre Amp, celle ci est choisie de façon à rester dans le domaine linéaire  ∼ 10−3. La force électromotrice est calculée dans le vide à proximité du cylindre en r = 0.57 dans diérentes régions le long de la hauteur du cylindre : en z = 0.55 pour la bobine supérieure notée Ct, en z = 0.44

pour la bobine latérale haute Cu, en z = 0 pour la bobine latérale moyenne Cm et en z = −0.44 pour la bobine latérale basse Cb.

Les forces électromotrices calculées sur la bobine supérieure Ct pour les diérents nombres de Lundquist sont représentées sur la gure 4.9. L'origine des temps a été décalée de façon à ce que le pic maximum d'intensité soit à t/Ta = 0. La valeur de la f em est représentée en fonction du temps adimensionné sur le temps d'Alfvén T a. On constate que les ondes atteignent le haut du cylindre au temps t = Ta déni comme T_a = L/V_A = 1 ici. Ce résultat est en accord avec la théorie : les ondes se propagent à une vitesse proportionnelle au champ magnétique extérieur. Le maximum de la force électromotrice varie linéairement avec la valeur du champ magnétique extérieur.

On s'est également intéressé à la diusion et à la réexion de ces ondes au cours de

-0.0004 -0.0002 0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0 1 2 3 4 5 Fem temps d’Alfven Lu=37.6 Lu=42.4 Lu=46.6 Lu=51.8 Lu=56.5 Lu=61.2 pulse courant

Fig. 4.9  Force électromotrice calculée sur la bobine supérieure Ct en fonction du temps pour diérents nombres de Lundquist. En noir sont représenté les courants azimutaux imposés non décalés.

leur déplacement. An de suivre leur déplacement on a calculé la force électromotrice sur les 3 bobines latérales, le résultat pour un nombre de Lundquist égal à 61.2 est représenté sur la gure 4.10. A gauche on représente les diérentes forces électromotrices mesurées expérimentalement (en traits pleins) et calculées (en traits pointillés) sur les trois bobines latérales, on voit clairement l'eet de la diusion ohmique sur l'onde qui s'atténue exponentiellement au cours de son déplacement. La visualisation du champ magnétique méridien montre une onde quadrupolaire (voir gure 4.10 b) car on distingue deux rouleaux de sens de rotation opposé. Ce résultat est surprenant car, lorsque l'excitation est au contact du uide, l'onde d'Alfvén générée est de symétrie dipolaire (cf. gure 4.6). Connaissant la forme de l'onde engendrée dans le cylindre, je me suis intéressé plus particulièrement à la réexion de l'onde sur la face supérieure du cylindre. Comme précédemment dans le cas idéal, la visualisation des champs de vitesse et des champs magnétiques méridiens montre également un comportement diérent à la réexion pour les champs de vitesse et magnétique. Si on regarde le champ de vitesse méridien avant (t = 0.45) et après réexion (t = 1.45), on constate que le sens de rotation de l'onde est inversé alors que, pour le champ magnétique, il reste inchangé (cf. gure 4.11).

On peut également remarquer que, lors de la réexion, l'amplitude du champ de vitesse est diminuée alors que celle du champ magnétique est augmentée. En eet, pour t =

(a) (b) (c)

Fig. 4.10  (a) Comparaison entre les fem calculées et mesurées au niveau des bobines latérales. (b) Visualisation du courant azimutal et du champ magnétique méridiens et du champ de vitesse méridien (en c) pour t = 0.5, pour une simulation de paramètres Lu = 61.2, P m = 0.005.

0.95, on relève une amplitude maximum de la norme de vitesse de 5·10−3alors qu'après réexion, elle n'est plus que de 10−3. Pour le champ magnétique l'amplitude passe de 2 · 10⁻³ à 3 · 10−3. On a donc un transfert d'énergie cinétique en énergie magnétique au cours de la réexion. Cette caractéristique est conrmée lorsqu'on observe les énergies cinétique et magnétique au cours du temps (gure 4.12 a). On constate dans un premier temps un transfert d'énergie magnétique en énergie cinétique (autour de t = 0.85), aprés réexion (autour de t = 1.15), on voit un transfert d'énergie cinétique en énergie magnétique. Ceci est certainement dû à la présence de la paroi du cylindre qui, de par sa nature conductrice, subit des eets d'induction magnétique au contact de l'onde. Enn l'observation de l'énergie totale au cours du temps montre qu'il y a équi-partition des énergies cinétique et magnétique. On constate également l'eet de la diusion magnétique qui dissipe l'énergie totale au cours de la propagation de l'onde.