Cas où la diusivité magnétique est faible

Je me suis également intéressé à la réponse de résonance dans le cas où le nombre de Lundquist était dix fois plus élevé que précédemment, ce qui correspondrait au remplacement du galinstan par du sodium liquide dans le dispositif expérimental.

4.4.2.2.1 Résultats numériques pour Lu = 600 Dans ce cas la courbe de ré-sonance obtenue pour ω allant de ω = π/4 à ω = 4π montre trois pics de réré-sonance distincts pour des pulsations ω = 3.75, ω = 7.5, ω = 11.5 (voir gure 4.14).

On peut observer sur la gure 4.14 le déphasage entre le signal émis et le signal mesuré.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 13 4pi 11 3pi 7.5 2pi 3pi/2 3.75 pi pi/2 0 Emf/omega Pulsation Lu 600 (a) -360 -270 -180 -90 0 13 4pi 11 3pi 7.5 7 2pi 3pi/2 3.75 pi pi/2 0 Phase(deg) Pulsation (b)

Fig. 4.14  (a) Réponse de résonance pour des pulsations d'excitation allant de ω = π/2 à ω = 13. (b) Déphasage entre le signal émis et le signal mesuré sur la bobine haute.

Pour ω = 3.75, on constate que, comme dans le cas idéal, à la résonance le déphasage est de −90. La visualisation des champs de vitesse et magnétique méridiens aux dif-férentes pulsations de résonance (voir gure 4.15) montre des structures stationnaires diérentes pour le champ de vitesse et pour le champ magnétique. Pour ω = 3.75 on

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Fig. 4.15  Visualisation des champs magnétique (a,b,c) et de vitesse (d,e,f) pour les trois pulsations de résonance ω = 3.75, ω = 7.5, ω = 11.5.

pour le champ de vitesse, on observe une structure dipolaire qui remplit le cylindre. Pour le premier harmonique, ω = 7.5, on voit une structure magnétique de longueur d'onde λh = 2/3 et une structure hydrodynamique de longueur d'onde λu = 1. Pour le deuxième harmonique ω = 11.5, on observe une structure magnétique de longueur d'onde λh = 1/2et une structure hydrodynamique de longueur d'onde λu = 2/3. Cette diérence entre les structures hydrodynamique et magnétique est certainement due au comportement diérentiel de chaque structure à la réexion, la structure magné-tique conserve son signe au cours de la réexion alors que la structure hydrodynamique change de signe.

Pour le vérier j'ai représenté pour la pulsation ω = 3.75 les champs de vitesse méridiens à diérents temps t = 1, 2, 3 correspondant grossièrement aux instants pour lesquels le signal d'entrée jθ = sin(3.75t) est respectivement minimum, maximun et minimum (voir gure 4.16). On peut remarquer qu'au temps t/Ta= 1, soit juste avant la réexion, on a une structure d'onde hydrodynamique quadrupolaire alors qu'au temps t/Ta = 2, la structure de l'onde est devenue dipolaire et semble le rester au delà. L'évolution de la structure magnétique est plus visible sur la visualisation du courant azimutal montré en bas de la gure 4.16. A t/Ta = 1, l'onde se dirige de bas en haut, on a respective-ment une boucle de courant positive puis négative ; à t/Ta = 2, l'onde se déplace de haut en bas, on retrouve une boucle de courant positive puis négative. A t/Ta= 3, on retrouve la même conguration qu'à t/Ta = 1. Donc la structure magnétique associée au courant azimutal reste inchangée au cours du déplacement de l'onde.

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Fig. 4.16  (a-c)Visualisation des champs de vitesse méridien à diérents temps t = 1, 2, 3. (d-f) Visualisation du courant azimutal aux mêmes temps pour la pulsation de résonance ω = 3.75, en rouge jθ > 0 , en bleu jθ < 0.

4.4.2.2.2 Interprétation des résultats expérimentaux de A. Jameson Une expérience relativement similaire à la modélisation proposée a été réaliseé en 1964 par A. Jameson [43]. Elle consiste en un conteneur torique d'environ 20 cm de hauteur et de 60 cm de diamètre rempli de sodium liquide, placé dans un champ magnétique vertical et constant, orienté selon son axe de révolution. Un forçage harmonique est eectué grâce à une bobine torique entourant le conteneur, la réponse est mesurée grâce à une boucle de courant située au milieu du conteneur (gure 4.17 b). Le champ magnétique extérieur est d'environ 0.65T . Avec les dimensions caractéristiques de l'expérience et

les propriétés du sodium liquide à environ 120 degrés Celsius (diusivité magnétique (η = 1/σµ = 0.82510⁻¹m²/s), viscosité cinématique ν = 0.67710−6m²/s et masse volumique ρ = 0.93103kg/m3), on peut construire un nombre de Lundquist Lu ≈ 40. Jameson a cherché à montrer l'existence d'ondes d'Alfvén en étudiant la réponse du sodium liquide faiblement magnétisé à une excitation harmonique dans un régime faiblement non linéaire ( de l'ordre de 10−4). Les mesures expérimentales montrent un premier pic de résonance de forte amplitude environ 9 fois plus important que le champ injecté pour une fréquence f0 = 55V_A/s (où VA est la vitesse d'Alfvén), suivi d'un deuxième pic de plus faible amplitude autour de f1 = 150V_A/s (gure 4.17 b). La fréquence de résonance f0 adimensionnée par la vitesse d'Alfvén VA = 19.65m/s correspondant à un champ magnétique B0 = 0.650T et à la hauteur caractéristique de l'expérience d = 0.0875m devient f0

0 = 0.245 soit une période d'excitation T0

0 ≈ 4.1. De la même façon, la fréquence du deuxième harmonique devient f0

1 = 0.57 soit une période d'excitation de T0

1 ≈ 1.73.

(a) (b)

Fig. 4.17  (a) Schéma de l'expérience de A. Jameson (1964). (b) Courbe de résonance et déphasage du signal.

4.4.2.2.3 Inuence de la position de mesure permettant d'établir la courbe de résonance Nous avons essayé de comprendre pourquoi A. Jameson obtient la ré-ponse du premier harmonique pour une fréquence trois fois supérieure au fondamental et non deux fois supérieure comme dans notre cas. Notons que l'expérience de Ja-meson dière sur quelques points de l'expérience Galalfvén et par conséquent de nos simulations.

Pour un premier point, les géométries sont diérentes : l'expérience de Jameson est de géométrie torique alors que l'expérience Galalfvén est cylindrique. Cependant, la géométrie cylindrique est un cas particulier de l'expérience, il sut de considèrer un tore dont le rayon interne tend vers 0 pour retrouver une géométrie cylindrique. Pour un second point, les forçages sont très diérents : dans l'expérience de A. Jameson, le uide est perturbé grâce à une bobine torique située tout autour de la cavité alors que, dans nos simulations, le uide est perturbé par une boucle de courant localisée sur la

face inférieure du cylindre. L'expérience de A. Jameson étant symétrique par rapport au plan équatorial, l'excitation magnétique via la bobine torique va générer simultané-ment deux ondes aux deux extrémités du tore qui se propagent en sens opposé. Etant donné que l'amplitude d'excitation est susamment faible pour rester dans le régime linéaire, ces deux ondes vont évoluer sans interagir. La mesure des signaux permettant d'établir la courbe de résonance est très diérente aussi dans les deux cas : pour Jame-son, la mesure des grandeurs magnétiques relatives au déplacement des ondes d'Alfvén est faite dans le plan équatorial du conteneur et non sur la face supérieure comme dans nos simulations. An de vérier si la position de la mesure a une quelconque inuence sur la courbe de résonance mesurée, on a représenté, sur la gure 4.18 pour Lu = 60 et Lu = 600, deux courbes de résonance : une première, mesurée sur la surface supérieure du cylindre en (a) et une deuxième courbe de résonance mesurée dans le plan médian du cylindre en (b).

Dans un premier temps on peut remarquer que, pour le cas très diusif Lu = 60, la mesure de la fem sur le couvercle supérieur du cylindre montre deux pics de résonance à ω0 = 3.754 et à ω1 ≈ 7 (voir g. 4.18 a). Le premier pic n'est pas détecté lorsqu'on mesure le champ magnétique au niveau du plan équatorial (voir g. 4.18 b). La détection sur le couvercle supérieur semble plus ecace lorsque qu'on est dans un régime très diusif.

Si on observe la courbe de résonance pour Lu = 600 mesurée sur le couvercle du cy-lindre, on remarque des pics d'amplitude décroissante pour le fondamental ω1 = 3.75et tous ses harmoniques ω1 = 7.5, ω2 = 11.5, etc. Lorsque la mesure est prise dans le plan équatorial du cylindre, on ne détecte plus que les harmoniques pairs ω1 = 2ω₀ = 7.5, ω₃ = 4ω₀ ≈ 14, ω5 = 6ω₀ ≈ 21. Lorsqu'on visualise les champs magnétiques méridiens de chacun des harmoniques (gure 4.18 (c-i)), on voit que, du fait de leur géométrie torique, les structures excitées vont présenter des n÷uds et des ventres en fonction des diérents harmoniques excités. Dans le volume du uide, le mode fondamental excité à ω0 = 3.75 présente un n÷ud en z ≈ 0, le premier harmonique ω1 = 7.5 présente deux n÷uds en z ≈ ±1/3 et un ventre en z ≈ 0, pour le deuxième harmonique on a 3 n÷uds et 4 ventres, etc. Nous pouvons en déduire que, dans le cas où la géométrie de l'onde d'Alfvén est quadrupolaire, la mesure dans le plan équatorial du cylindre ne détecte que les modes possédant un nombre impair de structures (respectivement 3, 5, 7 rouleaux pour ω1, ω3, ω5) .

Le forçage dans l'expérience de Jameson étant diérent, on ne peut pas prévoir la struc-ture exacte des ondes d'Alfvén qui y sont générées. Cependant, en supposant que la géométrie de l'onde est cette fois dipolaire pour ω0, on peut penser que, lorsque Jame-son réalise sa mesure dans le plan équatorial du conteneur, il ne détecte pas le premier harmonique à ω0

1 = 2ω₀⁰ qui, dans ce cas, pourrait être une structure quadrupolaire à deux rouleaux, similaire au fondamental de la gure 4.18. En revanche, il détecte le deuxième harmonique à ω0

2 = 3ω₀⁰ qui est constitué de 3 rouleaux. Ceci expliquerait la présence de seulement deux pics séparés à f0

0 et à 3f0

0, dans la courbe de résonance présentée à droite de la gure 4.17.

En résumé, dans cette étude, on a montré que l'étude harmonique des ondes d'Alf-vén n'est possible que dans un régime où la diusion magnétique est faible car le temps de diusion magnétique doit être grand devant le temps de propagation des ondes. On

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 13 4pi 11 3pi 7.5 2pi 3pi/2 3.75 pi pi/2 0 Emf/omega Pulsation Lu 600 Lu 60 (a) 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 24 7pi 20.5 6pi 5pi 14 4pi 11 3pi 7.5 2pi 3.7 pi pi/2 0 |H| Pulsation Lu 600 Lu 60 (b) (c) ω0= 3.75 (d) ω1= 7.5 (e) ω1= 11.5 (f) ω3= 14 (g) ω3= 18 (h) ω3= 21

Fig. 4.18  (a) Courbe de résonance pour Lu = 60 et Lu = 600, représentant le rapport (fem/ω) mesuré sur la surface supérieure du cylindre. (b) Courbe de résonance pour Lu = 60 et Lu = 600, représentant la norme du champ magnétique mesurée au centre du cylindre (r = 0.5, z = 0). (c-h) Visualisation du champ magnétique méridien pour la pulsation fondamentale ω₀ = 3.75 et les 5 harmoniques suivants.

a également mis en évidence la diérence signicative entre la conguration idéale et la conguration de l'expérience Galalfvén. Dans le cas idéal, l'excitation des ondes se fait au contact du uide, donnant lieu à une onde dipolaire en régime impulsionnel alors que, dans le cas expérimental, le fait d'exciter l'onde par une bobine torique externe donne lieu à une onde quadrupolaire. En régime harmonique, cette diérence génère des modes de résonance bien distincts dans les deux congurations étudiées. Dans la con-guration idéale, on observe des structures magnétique et hydrodynamique de même longueur d'onde alors que, dans la conguration de l'expérience, on a des structures magnétique et hydrodynamique diérentes. Enn, nous avons vu que la position de la mesure (soit sur le couvercle supérieur, soit dans le plan équatorial du cylindre) du champ magnétique ou de la fem liés au déplacement des ondes fournit des courbes de résonance diérentes en fonction de la structure de l'onde excitée à la fréquence fondamentale (quadrupolaire ou dipolaire). La corrélation des courbes de résonance obtenues en ces deux positions pourrait nous permettre d'identier la structure spa-tiale de l'onde. Etant donné que, pour des métaux liquides, il est très dicile de faire des mesures expérimentales du champ de vitesse qui pourraient nous renseigner sur la structure spatiale de l'onde, cette méthode pourrait être utilisée expérimentalement

pour déterminer la structure spatiale des ondes excitées, uniquement à partir de mesure de la fem en régime harmonique.

4.5 Etude de la réexion d'une onde sur une couche