Inuence de la conductivité de la couche conductrice supérieure 62

Nous avons vu que la couche latérale jouait un faible rôle dans la propagation de l'onde d'Alfvén. Dans cette section, on se propose d'utiliser les maillages présentés en gure 4.19, et de réaliser une même simulation en régime impulsionnel, en faisant varier la conductivité de la couche conductrice supérieure. La courbe à gauche de la gure 4.21 représente la fem calculée sur la bobine extérieure pour une large gamme de σ, la conductivité de la couche conductrice étant de 1000 fois plus conductrice à 1000 fois moins conductrice que le uide. On peut déterminer deux régimes distincts : lorsque la conductivité de la couche conductrice est de l'ordre de celle du uide ou supérieure, l'onde d'Alfvén est fortement atténuée au cours de la réexion. Lorsque la conductivité de la paroi est plus faible que 0.1 fois celle du uide, la couche conductrice n'a plus aucun eet sur la réexion de l'onde d'Alfvén. Ce dernier cas a pour limite la réexion pour une interface avec le vide. Si on regarde la fem calculée sur la bobine latérale moyenne située en z = 0 au milieu du cylindre (voir gure 4.21 b), on peut remarquer qu'après réexion, lorsque la conductivité de la couche conductrice est élevée par rapport à celle du uide, le délai de retour de l'onde d'Alfvén est plus court.

En eet, l'onde semble se rééchir plus rapidement lorsque la conductivité de la couche conductrice est supérieure à celle du uide. An de mieux comprendre ce phénomène, on se propose de regarder l'évolution des énergies magnétique et cinétique au cours du temps dans les cas extrêmes où la conductivité de la couche conductrice est très grande (σ = 1000) par rapport à celle du uide ou très faible (σ = 0.005). Si on regarde l'énergie magnétique dans le conducteur et dans le vide (gure 4.22 b), on constate que seule l'énergie contenue dans la région conductrice est aectée par

-1e-06 -5e-07 0 5e-07 1e-06 1.5e-06 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Emf Alfven time sigma=1000 sigma=100 sigma=10 sigma=2 sigma=1 sigma=0.3 sigma=0.1 sigma=0.05 sigma=0.01 sigma=0.001 (a) -1.4e-06 -1.2e-06 -1e-06 -8e-07 -6e-07 -4e-07 -2e-07 0 2e-07 4e-07 6e-07 8e-07 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Emf Alfven time sigma=1000 sigma=100 sigma=10 sigma=1 sigma=0.3 sigma=0.1 sigma=0.01 sigma=0.001 (b)

Fig. 4.21  (a) fem calculée sur la bobine extérieure en (r = 0.3, z = 0.57) et sur la bobine latérale moyenne en (b) pour le troisième maillage présenté en gure 4.19 pour Lu = 61.2, P m = 0.005 et pour diérentes valeurs de la conductivité de la couche conductrice supérieure.

la conductivité de la couche supérieure. Peu avant que l'onde n'atteigne le haut du cylindre à (t ≈ 0.85), l'énergie contenue dans la zone conductrice diminue plus tôt et plus fortement lorsque la conductivité est élevée. Le même comportement est observé à l'approche de la face inférieure du cylindre à (t ≈ 1.85). L'énergie totale se conservant, cette énergie n'a pu être cédée au uide qu'en  l'accélerant au voisinage de la couche fortement conductrice.

(a) (b)

Fig. 4.22  (a) Energies magnétique et cinétique au cours du temps pour Lu = 60, P m = 0.005, pour dièrents σ. (b) Energie magnétique dans le conducteur et dans le vide au cours du temps pour les mêmes paramètres.

4.6 Conclusion et perspectives

Ce chapitre est essentiellement un compte-rendu des expériences numériques conduites pour accompagner l'expérience Galalfvén. Comme le code SFEMaNS a été conçu pour traiter des problèmes d'évolution MHD dans des domaines aux frontières axisymétriques, l'adaptation à la conguration de cette expérience a été relativement simple. Elle a surtout consisté à inclure des bobines d'excitation et de détection conformes aux spécications choisies par les expérimentateurs. Cela a permis de rendre

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Fig. 4.23  Visualisation du champ magnétique méridien et du courant azimutal, pour Lu = 60, P m = 0.005, σ = 10 (a-c) et pour σ = 0.05 (f-f) à trois temps diérents t/Ta = 0.75, 1.00, 1.25.

compte de façon satisfaisante des résultats expérimentaux obtenus jusqu'à présent [1] et de visualiser dans l'espace et dans le détail les congurations de vitesse et de champ magnétique. Il s'agit d'une première étape conrmant la faisabilité d'expériences plus ambitieuses, en cours de dénition et de réalisation au LGIT de Grenoble. Ce projet expérimental est orienté vers l'étude du couplage non-linéaire des ondes d'Alfvén et des ondes inertielles, une situation qui est notamment pertinente dans le cadre géophysique pratiqué par les membres du laboratoire de Grenoble.

Autant la conception mécanique de l'expérience en rotation est délicate, autant son étude numérique est accessible simplement car il sut soit d'imposer une vitesse de rotation globale via les conditions aux limites sur la vitesse, soit de rajouter la force de Coriolis si l'on se place dans le référentiel en rotation. La question délicate, et qui le restera quels que soient les points de fonctionnement choisis pour l'expérience, sera l'adaptation du pas de temps au champ magnétique extérieur (déni par l'intensité du champ appliqué) et à la période des ondes inertielles (dénie par l'intensité de la fréquence de rotation). Dans ce projet à moyen terme, les simulations numériques pour-raient servir dès à présent à mieux encadrer les paramètres de rotation et d'excitation donnant lieu à des eets physiquement intéressants et mesurables pour lesquels il y ait interaction entre les ondes inertielles et d'Alfvén.

Les résultats recensés dans ce chapitre concernent uniquement les ondes d'Alfvén axisymétriques poloïdales en régime linéaire. Ils sont la conséquence du type de forçage adopté, basé sur une boucle de courant azimutal. En géométrie cylindrique, les ondes d'Alfvén axisymétriques dans un uide idéal peuvent se découpler en deux modes, po-loïdal ou toroidal. Le rapport entre les deux modes est sélectionné par la conguration de l'excitation. On pourrait ainsi étudier les conséquences d'un forçage physiquement réalisable, avec une impulsion de courant purement radial, entre une électrode centrale et un collecteur circulaire en périphérie. Le champ magnétique créé serait toroïdal et devrait produire des ondes d'Alfvén toroïdales, analogues aux ondes de torsion pro-duites par des oscillations mécaniques d'un disque coaxial au champ externe appliqué (expériences de Lehnert et de Lundquist). Il serait alors instructif de comparer les mo-dalités de réexion pour les deux modes axisymétriques, ainsi que le rôle des parois, généralisant ainsi la thématique abordée dans la section 4.5.2.

Chapitre 5

Etude des eets

magnétohydrodynamiques dans un

disque képlerien

5.1 Introduction

L'instabilité magnétorotationnelle (MRI) a été mise en évidence de façon indépen-dante par Velikhov en 1959 et par Chandrasekhar en 1960. Son importance en astro-physique a été relevée par Balbus et Hawley en 1991 [9]. Elle a depuis fait l'objet de nombreuses publications (voir par exemple l'article de revue [10]) soit théoriques soit numériques. Elle intervient dans de multiples scénarios astrophysiques faisant intervenir des phénomènes variés susceptibles d'apparaître dans des écoulements compressibles, avec moment angulaire, et soumis à un champ de gravitation central. Plusieurs simula-tions numériques ont été réalisées depuis les années 90, nous distinguerons trois catégo-ries de simulations : des simulations locales (également appelées  shearing box dans l'approximation MHD idéale [9, 10]), des simulations locales avec prise en compte de viscosité cinématique et de diusivité magnétique [27] ainsi que des simulations glo-bales [41], [24].

La situation la plus simple donnant naissance à cette instabilité se rencontre dans un écoulement cisaillé incompressible. Ces écoulements se rencontrent dans de nom-breux objets astrophysiques, par exemple, les disques proto-stellaires ou les disques galactiques. Dans ce chapitre, nous allons vérier que de tels écoulements, linéairement stables d'un point de vue purement hydrodynamique, se déstabilisent en présence d'un champ magnétique uniforme. Cela peut être montré soit par une analyse locale du ci-saillement [9], soit par une analyse globale [46, 47]. Ces approches doivent tenir compte des conditions aux limites du problème souvent diciles à établir pour la description de tels objets. Contrairement à la plupart des simulations numériques eectuées sur ce sujet, nous avons choisi de réaliser des simulations globales sans prendre en compte le phénomène d'accrétion avec le code SFEMaNS présenté au chapitre 2.

Après avoir validé notre approche, en comparant nos simulations à certaines études analytiques linéaires [46], on s'est plus particulièrement intéressé au régime non linéaire post-MRI. Des simulations axisymétriques ainsi que tridimensionnelles ont été

eec-tuées pour diérents régimes de dissipation. On montrera dans ce chapitre des régimes de saturation non turbulents correspondant à des états d'équilibre présentant des os-cillations non linéaires.