Modélisation par l'approche angulaire

Selon Blakelock (1991), les équations de translation écrites dans le système de coor- données de la trajectoire permettent d'augmenter l'ecacité des simulations en dimi- nuant le temps de calcul. Le développement de l'approche angulaire est donc eectué dans le système de coordonnées de la trajectoire. Tout comme l'approche vectorielle, l'approche angulaire est bien documentée. Le développement présenté dans cette section est inspiré des développements de Tewari (2007) et de Zipfel (2007).

Dans un premier temps, pour obtenir la dynamique du système de coordonnées local par rapport à la Terre en rotation, il convient de diviser la vitesse du lanceur en deux composantes, une composante radiale et une seconde tangentielle :

vL = ˙rıLL+ wL× (rıL) (2.47)

où wL = wxıLL+ wyLL+ wzkLL est la vitesse angulaire de rotation du système de

coordonnées local (L) par rapport au système de coordonnées terrestre (E). Avec cette dénition et en résolvant le produit vectoriel l'équation (2.47) devient :

vL =    ˙r rwz −rwy    (2.48)

De par la dénition du système de coordonnées sur la trajectoire, la vitesse du lanceur s'exprime également comme :

vL=    v sin γ v cos γ sin χ v cos γ cos χ    (2.49)

La comparaison des deux équations donne :

˙r = v sin γ (2.50) wz = v r cos γ sin χ (2.51) wy = − v r cos γ cos χ (2.52)

La vitesse angulaire de rotation du système de coordonnées local par rapport au sys- tème de coordonnées terrestre (wL) peut s'écrire comme la la sommation des vitesses

angulaires de la longitude et de la latitude. L'orientation de la vitesse angulaire cor- respond est parallèle à l'axe autour duquel la rotation est eectuée. Comme mentionné à la section 2.1.3, la rotation de la longitude s'eectue autour de l'axe de rotation de

la Terre et celle de la latitude s'eectue autour de l'axe yL. Ainsi, la vitesse angulaire correspondante est : wL= ˙λ ωeL ωe − ˙δLL =    ˙λ sin δ − ˙δ ˙λ cos δ    (2.53) où ωeL

ωe est un vecteur unitaire dans la direction du vecteur de rotation de la Terre. Ce

qui permet de réécrire les équations (2.51) et (2.52) pour exprimer les variations de la longitude et de la latitude :

˙λ = v cos γ sin χ

r cos δ (2.54)

˙δ = v cos γ cos χ

r (2.55)

Les équations (2.50), (2.54) et (2.55) correspondent aux équations modélisant la cinématique d'un système de coordonnées local en mouvement autour d'un point central en rotation. Ces équations nécessitent la connaissance de la vitesse relative qui s'obtient en développant la dynamique de translation d'un objet. Le développement des équations de la dynamique débute par l'expression de la vitesse inertielle (équation (2.40)) dans le système de coordonnées local :

viL= vL+ ωeL× rL (2.56)

Le produit vectoriel modélise la vitesse supplémentaire introduite par la rotation de la Terre. Une fois développé, ce terme devient l'expression des forces ctives. L'équation suivante explicite le produit vectoriel dans l'expression de la vitesse inertielle en utilisant la dénition de la vitesse de rotation de la Terre :

viL = vL+ ωer cos δLL (2.57)

L'accélération inertielle correspond à la dérivée temporelle de cette équation :

aiL=

∂viL

∂t = ˙vL+ ωe( ˙r − r ˙δ sin δ)LL+ ωer cos δ ∂_LL

∂t (2.58)

Le terme ˙vL s'obtient en dérivant l'équation (2.48) :

˙vL= ¨rıLL+ ˙r (wzLL− wykLL) + r( ˙wzLL− ˙wykLL) + ˙r∂ıLL ∂t + rwz ∂_LL ∂t − rwy ∂kLL ∂t (2.59)

porelle des vecteurs unitaire ıL, L et kL qui valent : ∂ıLL ∂t = wiL× ıLL (2.60) ∂_LL ∂t = wiL× LL (2.61) ∂kLL ∂t = wiL× kLL (2.62)

où wiL est la vitesse angulaire inertielle du système de coordonnées local :

wiL= wL+ ωeL =    ( ˙λ + ωe) sin δ − ˙δ ( ˙λ + ωe) cos δ    (2.63)

Les valeurs de la dérivée temporelle des vecteurs unitaires sont donc : ∂ıLL ∂t = ( ˙λ + ωe) cos δLL+ ˙δkLL (2.64) ∂_LL ∂t = −( ˙λ + ωe) cos δıLL+ ( ˙λ + ωe) sin δkLL (2.65) ∂kLL ∂t = − ˙δıLL− ( ˙λ + ωe) sin δLL (2.66)

En incluant les résultats des équations (2.53) et (2.64) à (2.66), l'équation (2.59) devient : ˙vL=    ¨ r − r ˙λ cos2_{δ( ˙λ + ω} e) + rδ2

˙r ˙λ cos δ + r(¨λ cos δ − ˙λ ˙δ sin δ) + ˙r( ˙λ + ωe) cos δ − rδ( ˙λ + ωe) sin δ

˙r ˙δ + r¨δ + ˙r ˙δ + r ˙λ cos δ( ˙λ + ωe) sin δ

 

 (2.67) Également, en ramenant la dérivée du vecteur unitaire LL (équation (2.65)) dans le

dernier terme de l'équation (2.58), celui-ci s'écrit :

ωer cos δ ∂_LL ∂t = ωer cos δ    −( ˙λ + ωe) cos δ 0 ( ˙λ + ωe) sin δ    (2.68)

L'expression complète de l'accélération inertielle du lanceur, exprimée dans le système de coordonnées local, s'obtient ainsi en introduisant les (2.67) et (2.68) dans l'équa- tion (2.58) : aiL=    ¨ r − rδ2_{− r( ˙λ + ω} e)2cos2δ

r¨λ cos δ − 2r ˙δ sin δ( ˙λ + ωe) + 2 ˙r cos δ( ˙λ + ωe)

2 ˙r ˙δ + r¨δ + r cos δ sin δ( ˙λ + ωe)2

 

Cette expression peut encore être simpliée en utilisant les équations de la cinéma- tique du système de coordonnée local (équations (2.50), (2.55) et (2.54)). Ceci permet d'exprimer l'équation (2.69) en fonction uniquement de la position et des vitesses. En explicitant les projections de l'accélération inertielle sur les diérents axes du système de coordonnées local (axL, ayL et azL) cette expression devient :

axL = ˙v sin γ + v ˙γ cos γ − v2

r cos

2

γ − 2ωev cos γ sin χ cos δ − ωe2r cos 2

δ (2.70) ayL = ˙v cos γ sin χ − v( ˙γ sin γ sin χ − ˙χ cos γ cos χ)

+ 2vωe(sin γ cos δ − cos γ cos χ sin δ)

+v

2

r sin χ cos γ(sin γ − cos γ cos χ tan δ)

(2.71)

azL = ˙v cos γ cos χ − v( ˙γ sin γ cos χ + ˙χ cos γ sin χ) + ω 2

er cos δ sin δ

+ 2vωecos γ sin χ sin δ +

v2

r cos γ(sin γ cos χ − cos γ sin

2_{χ tan δ)} (2.72)

L'accélération inertielle étant un vecteur, il est possible, en la multipliant par la matrice de rotation TT

L, de l'écrire dans le système de coordonnées de la trajectoire :

axT = ˙v + ω 2

er cos δ(sin δ cos χ cos γ − cos δ sin γ) (2.73)

ayT = v ˙χ cos γ + 2vωe(sin γ cos δ cos χ − cos γ sin δ) − v

2

r sin χ cos γ tan δ − ω

2

er cos δ sin δ sin χ

(2.74)

azT = −v ˙γ + v2

r cos γ + 2vωecos δ sin χ

+ ω2_er cos δ(cos γ cos δ + sin δ cos χ sin γ)

(2.75)

À ce point, il est possible de lier l'accélération aux forces externes écrites dans le système de coordonnées de la trajectoire. L'accélération utilisée inclut la rotation de la Terre, il n'est donc pas nécessaire d'ajouter les forces ctives à la seconde loi de Newton et ce, même si le système de coordonnées utilisé n'est pas inertiel. Comme mentionné à la section 2.3.1, les forces externes sont la force gravitationnelle (équation (2.29)) et la force de poussée (équation (2.32)). Puisque la trajectoire étudiée est entièrement exo-atmosphérique, les forces aérodynamiques (section 2.2.3) sont négligées :

Fpcos ϑ cos ϕ

m − grsin γ + gδcos χ cos γ = ˙v + ω

2

er cos δ (sin δ cos χ cos γ − cos δ sin γ)

Fpcos ϑ sin ϕ

m − gδsin χ = v ˙χ cos γ − v2

r sin χ cos γ tan δ

+ 2vωe(sin γ cos δ cos χ − cos γ sin δ)

− ω2

er cos δ sin δ sin χ

(2.77)

Fpsin ϑ

m + grcos γ + gδcos χ sin γ = −v ˙γ + v2

r cos γ + 2vωecos δ sin χ

+ ω2_er cos δ(cos γ cos δ + sin δ cos χ sin γ) (2.78)

Des trois dernières équations, on peut isoler les termes des dérivés ˙v, ˙χ et ˙γ : ˙v = Fpcos ϑ cos ϕ

m − grsin γ + gδcos χ cos γ − ω2

er cos δ (sin δ cos χ cos γ − cos δ sin γ)

(2.79) ˙ χ = Fpcos ϑ sin ϕ mv cos γ − gδsin χ v cos γ − 2ωe

cos γ(sin γ cos δ cos χ − cos γ sin δ) +v

rsin χ cos γ tan δ + ω2_e

v cos γr cos δ sin δ sin χ

(2.80) ˙γ = −Fpsin ϑ mv − gr v cos γ − gδ v cos χ sin γ + v r cos γ + 2ωesin χ cos δ + ω2_er cos δ

v (cos γ cos δ + sin δ cos χ sin γ)

(2.81)

La combinaison des équations de la cinématique d'un système de coordonnées local en mouvement autour d'un point central en rotation (équations (2.50), (2.54) et (2.55)) aux équations, écrites dans le système local, de la dynamique d'un objet (équations (2.79) à (2.81)) et à l'équation de la consommation de masse (équation (2.30)) permet d'obtenir les équations suivantes qui décrivent entièrement la dynamique de translation d'un lanceur autour de la Terre en rotation :

˙

m = ∆m (2.82a)

˙r = v sin(γ) (2.82b)

˙v = Fpcos ϑ cos ϕ

m − grsin γ + gδcos χ cos γ − ω2

er cos δ (sin δ cos χ cos γ − cos δ sin γ)

(2.82c)

˙δ = v cos γ cos χ

r (2.82d)

˙λ = v cos γ sin χ

˙ χ = Fpcos ϑ sin ϕ mv cos γ − gδsin χ v cos γ − 2ωe

cos γ(sin γ cos δ cos χ − cos γ sin δ) +v

rsin χ cos γ tan δ + ω2_e

v cos γr cos δ sin δ sin χ

(2.82f) ˙γ = −Fpsin ϑ mv − gr v cos γ − gδ v cos χ sin γ + v rcos γ + 2ωesin χ cos δ + ω2_er cos δ

v (cos γ cos δ + sin δ cos χ sin γ)

(2.82g)

Le développement précédent est tel que l'état de l'approche angulaire est composé d'angles et des dimensions qui ont tous une signication physique. Cette approche est donc plus complexe à obtenir que l'approche vectorielle (section 2.3.1), mais est plus facilement utilisable dans l'analyse de la trajectoire obtenue. Cette simplicité d'analyse se répercute également sur l'implémentation qui consiste uniquement à retranscrire les équations (2.82), toutes les valeurs utilisées dans celles-ci étant directement disponibles lors de l'intégration.

Cette approche est cependant loin d'être idéale. Lors de son utilisation, trois dis- continuités risquent de survenir : lorsque la vitesse de déplacement du lanceur est nulle (v = 0) ; lorsque le déplacement s'eectue perpendiculairement à l'horizon lo- cal (cos (γ = 90°) = 0) ; et lorsque le lanceur passe au-dessus d'un des pôles de la Terre (cos (δ = ±90°) = 0). Les deux premières se produisent uniquement au début du lan- cement, durant la phase endo-atmosphérique, et ne sont donc pas problématiques pour l'utilisation de cette approche dans une loi de guidage exo-atmosphérique. Cependant, la troisième discontinuité est nuisible pour certains types de lancement qui doivent circuler près des pôles terrestres lors de leur phase guidée.

Dans le document Trajectographie d'un lanceur de satellites basée sur la commande prédictive (Page 58-63)