Eet de la variation de la précision

Les trois séries de résultats précédentes ont toutes le même problème près de l'in- jection, à savoir un problème de convergence résultant en une orbite qui ne correspond pas à celle désirée et à des orientations commandées de la poussée qui varient beau- coup. Ceci est dû au fait que l'algorithme demande une précision absolue à l'injection et ne gère pas le temps d'injection (Vittal et Bhat, 1993). Une modication simple qui permet d'éviter ces problèmes consiste à modier les contraintes du problème d'optimi- sation (équation (5.14)) pour augmenter la dimension de la zone terminale. De ce fait, la formulation ne demande plus une précision absolue à l'injection. Cette simplication augmente le taux de convergence de l'optimisation et diminue les variations dans les orientations commandées. De plus, cette zone terminale dénit la précision sur l'orbite atteinte, il est ainsi possible de spécier la précision voulue pour la mission. Les spéci- cations de précision à l'injection de VEGA sont de 5 km sur l'altitude et de 0,05 ° sur l'inclinaison orbitale (VEGA, 2006) et celles du LM-2C sont de 6 km pour l'altitude et 0,05° pour l'inclinaison (LM-2C, 1999). Ces deux lanceurs ont des missions similaires à celles envisagées pour le lanceur de cette étude. Il est ainsi possible d'augmenter la va- leur de ε et de maintenir une précision similaire aux lanceurs comparables. Cependant, les problèmes de convergence se produisent uniquement près de l'injection. Ainsi plutôt que d'utiliser une précision moindre pour toute la durée du lancement, une diminution graduelle de la précision est implémentée :

εk=        ε0 si k ≤ tf − 25 (εf − ε0) (t − tf) + εf si tf − 25 < k ≤ tf − 5 εf si k > tf − 5 (5.21)

Ce qui est introduit dans les contraintes de précision de l'optimisation :

− Pεk≤ P    e rak+hp− rad e r_pk+h p− rpd eik+hp− id   ≤ Pεk (5.22)

où P est la matrice de normalisation des contraintes :

P =    1 × 10−3 0 0 0 1 × 10−3 0 0 0 1    (5.23)

Cette formulation est préférable à une formulation où uniquement la précision nale (ε) serait utilisée. Les premières itérations pourraient donner une précision moindre qui serait propagée, via l'utilisation du résultat comme estimation initiale de l'itération

suivante, sur tout le lancement. La précision nale serait ainsi moindre que la diminu- tion graduelle eectuée dans cette thèse. Cette diminution graduelle prote du temps disponible, au début du lancement, pour maintenir une précision absolue et garder le lanceur près de sa trajectoire de référence. Lorsque le problème devient plus dicile à résoudre et que la zone terminale s'élargit, l'élargissement s'eectue symétriquement par rapport à la position actuelle du lanceur. Cependant, une formulation où la pré- cision nale est utilisée partout aurait tendance à rapidement amener la solution vers les contraintes créant une dissymétrie dans la diérence entre la position actuelle du lanceur et les contraintes. Cette dissymétrie est telle que certaines perturbations ne pourront être corrigées puisqu'elles se retrouvent dans la direction du petit écart avec la contrainte.

Concernant la stabilité de l'algorithme, la formulation demeure dans le schéma de la commande prédictive par mode duel (section 4.2). Il sut de développer un contrôleur statique qui permet à l'état du système de demeurer à l'intérieur de la zone terminale la plus large qui est rencontrée. Un contrôleur fonctionnant dans la plus grande zone va nécessairement fonctionner dans une zone plus mince.

An de limiter la diérence entre le point initial de référence et celui réel du problème après la phase de dérive, la zone terminale du problème avant la phase de dérive est plus faible que celle de la précision à l'injection. Les résultats présentés dans la suite de cette section s'obtiennent avec la précision initiale de ε0 = [0,5 0,5 0,001]

T _{pour les}

deux problèmes, mais une précision nale de εf = [1,5 1,5 0,005]T pour le problème

avant la phase de dérive et de εf = [4,0 4,0 0,05]T pour celui après la dérive.

Les orbites atteintes (tableau 5.7) pour les simulations avec la précision variante dans le temps sont diérentes de celles désirées, mais elles sont à l'intérieur de la zone terminale nouvellement dénie.

Le fait que les contraintes ne sont pas violées et que le problème d'optimisation est réalisable donne des orientations commandées moins variantes que le cas de base (gure 5.10). La diérence est principalement visible près de l'injection du 3e _étage.

Pour le second étage, puisque la zone terminale est plus petite, les orientations sont moins variantes, mais une variation importante demeure. De plus, pour toute la durée du brûlage du troisième étage, on constate une diérence importante entre les deux cas. Cette diérence provient de la diérence lors de l'injection sur l'orbite de dérive. À la n de la phase de dérive, l'état réel est donc signicativement diérent de l'état de la trajectoire de référence. De plus, la précision initiale (ε0) est légèrement moindre

que la précision absolue (ε) du cas de base, ce qui explique également une partie des diérences, particulièrement la faible réaction en réponse à la perturbation à 609 s.

cas testé rayon de l'apogée rayon du périgée inclinaison orbitale [km] [km] [°] désirée 6862,5 ± 1,5 1294,0 ± 1,5 97,231 ± 0,005 cas de base 6862,3 1294,2 97,231 précision variante 6863,7 1295,2 97,233 (a) Orbite de dérive

cas testé rayon de l'apogée rayon du périgée inclinaison orbitale [km] [km] [°] désirée 6871,0 ± 4 6871,0 ± 4 97,375 ± 0,05 cas de base 6871,3 6870,5 97,375 précision variante 6874,9 6872,3 97,367 (b) Orbite à l'injection

Tableau 5.7  Résultats obtenus avec une précision variante

170 180 190 200 210 220

−20 0 20

Angle dans le plan[

° ] Base Précision 170 180 190 200 210 220 −1 0 1 Temps [s]

Angle hors plan[

° ] Base Précision (a) 2e _étage 560 580 600 620 640 660 680 −40 −20 0 20

Angle dans le plan[

° ] Base Précision 560 580 600 620 640 660 680 −1 0 1 Temps [s]

Angle hors plan[

° ]

Base Précision

(b) 3e _étage

Figure 5.10  Orientations commandées, pour une précision variante

Le problème d'optimisation du cas avec la précision variante étant plus simple, le temps calcul devrait être moindre pour ce cas, particulièrement dans les 25 dernières

secondes des deux problèmes. Le tableau 5.8 montre que le temps de calcul global est légèrement plus faible et la gure 5.11 montre que cette diérence provient majoritai- rement des dernières itérations des deux problèmes qui sont plus courtes que celles du cas de base.

cas testé 2e étage 3_[s] e étage_[s] cas de base 1,0000 1,0000 précision variante 0,9880 0,9261

Tableau 5.8  Temps de calcul total obtenus avec une précision variante

170 180 190 200 210 220

0 0.5 1 1.5

Temps de calcul relatif

Temps [s] Base Précision (a) 2e _étage 560 580 600 620 640 660 680 0 0.5 1 1.5

Temps de calcul relatif

Temps [s] Base Précision

(b) 3e _étage

Figure 5.11  Temps de calcul obtenus avec une précision variante

Ainsi, le but nécessitant la modication des contraintes de précision est atteint. Celle-ci a été eectuée pour diminuer les grandes variations dans les orientations com- mandées, principalement près de l'injection. En plus, la simplication du problème d'optimisation améliore le temps de calcul de l'algorithme de guidage. Les contraintes de précision variantes avec le temps sont donc une amélioration intéressante à apporter à la formulation de base.