Suite à la dé nition du modèle permettant d'eectuer la prédiction de l'orbite future du lanceur, la prochaine étape consiste à dé nir un problème d'optimisation utilisant ces prédictions a n d'amener la charge utile sur l'orbite désirée. La formulation de base du problème a été introduite à la section 4.1.1. Pour la fonction de guidage basée sur la commande prédictive non-linéaire, le critère de cette formulation est utilisé (sec- tion 5.2.1) en association avec les contraintes de la formulation par mode duel pour assurer la stabilité de la boucle fermée (section 5.2.2). Cette section présente comment la commande prédictive et le modèle de la section 5.1 se combine pour former une fonction de guidage.
5.2.1 Formulation du critère
Comme mentionné, le critère de base de la commande prédictive est utilisé dans la fonction de guidage développé. Ce critère correspond à l'addition de la diérence entre la trajectoire prédite et la trajectoire réelle aux incréments de commande. Les deux éléments de la sommation sont pondérés selon l'importance à donner au suivi de trajectoire et à la variation de la commande :
J = hp X l=1 dk+l−yek+l T Ql dk+l−yek+l + hc X l=1 ∆uTk+l−1Rl∆uk+l−1 (5.10)
Dans cette équation, la sortie prédite (ey) est composée des paramètres orbitaux étudiés (équation (5.6)) et les incréments de commande (∆u) sont obtenus sur l'entrée du sys- tème (équation (5.7)). Les matrices Q et R sont les matrices de pondération. Dans cette formulation, puisque le but est de suivre une trajectoire dé nie par ses paramètres orbi- taux, la consigne (d) correspond aux paramètres orbitaux de la trajectoire de référence à chaque pas de temps. Cette trajectoire est la trajectoire nale de la section 3.3.2.
5.2.2 Formulation des contraintes
La stabilité du mode duel est basée sur la dé nition d'une zone terminale à l'intérieur de laquelle le contrôleur statique est utilisé. Dans le cas du lanceur, cette zone termi- nale peut facilement être vue comme la région autour de l'orbite désirée à l'injection permettant de considérer le lancement comme une réussite. Tout comme au chapitre 3, pour assurer un meilleur conditionnement numérique, le rayon des apsides est utilisé dans le vecteur de sortie pour dé nir la dimension de l'orbite :
− ε ≤ e rak+hp e rpk+h p eik+hp − rad rpd id ≤ ε (5.11)
Le vecteur ε correspond à la précision minimale sur les paramètres orbitaux pour consi- dérer le lancement comme réussi. Ce vecteur est composé des éléments εa(précision sur
le rayon de l'apogée), εp (précision sur le rayon du périgée) et εi (précision sur l'incli-
naison orbitale). En prenant un horizon de prédiction su samment long pour toujours inclure l'instant d'injection, cette zone terminale, dé nie par ses paramètres orbitaux, est invariante. À la diérence des vecteurs du rayon et de la vitesse, les paramètres orbitaux sont constants durant une phase non propulsée, d'où l'invariance de la zone après l'injection. Ceci constitue une raison supplémentaire favorisant l'utilisation des paramètres comme sortie du système.
En plus des contraintes sur la zone terminale, la commande prédictive peut inclure des contraintes sur l'état, l'entrée et la sortie en tout point de la trajectoire. Pour le lanceur, a n d'aider la convergence de l'algorithme d'optimisation, l'orientation du vecteur de poussée (l'entrée du système) est contrainte à demeurer à l'intérieur d'une limite prédé nie. Le lanceur utilisé est dé ni spéci quement pour la mission étudiée, ce qui signi e que les man÷uvres nécessaires sont de faibles amplitudes. Il est ainsi possible de contraindre les angles dans le plan à être à l'intérieur de l'intervalle [−45°, 45°] et les angles hors plan à se retrouver à l'intérieur de [−5°, 5°]. Ceci donne deux nouveaux ensembles de contraintes : − " 45 5 # ≤ " ϑk+l ϕk+l # ≤ " 45 5 # ∀l ∈ [1,hc] (5.12)
L'intervalle moins large des angles hors plan provient du fait que les man÷uvres hors plan orbital consomment plus de carburant que les man÷uvres dans le plan (Sellers, 2005).
En plus d'être utilisées pour assurer la stabilité et pour gérer des limitations phy- siques du modèle, les contraintes peuvent être utilisées pour traiter des problématiques spéci ques. Des contraintes sur les incréments peuvent, par exemple, être utilisées dans des systèmes à plusieurs temps d'échantillonnage (Halldorsson et al., 2002). Dans ces travaux, ce type de contraintes est plutôt utilisé pour diminuer le nombre d'inconnues et le temps de calcul de l'optimisation. Elles sont des contraintes d'égalité sur certains incréments de commande. Notamment, en les contraignant à être nuls, il est possible d'allonger les paliers de certains instants de la prédiction.
Dans la suite des travaux, ces contraintes seront imposées sur les derniers instants du lancement a n que quatre valeurs successives de l'orientation soient identiques. Ainsi, pour un algorithme de guidage fonctionnant à 1 Hz, au début de la prédiction, où l'eet des modi cations est plus important sur l'orbite nale, l'algorithme fonctionne avec des paliers de 1 s et, à la n de la prédiction, les paliers sont de 4 s. Comme la section sur la dé nition de la trajectoire le démontre, l'utilisation de paliers plus longs ne pose pas de problèmes dans les propriétés de convergence. Le lanceur demeure en mesure d'atteindre l'orbite désirée. L'avantage dans l'utilisation de paliers plus courts est la faible diérence entre deux valeurs successives de l'orientation. À la diérence de l'utilisation hors-ligne, cette monotonie importe puisque l'orientation calculée est donnée en consigne à la fonction de commande. La commande prédictive étant un processus itératif où uniquement la première orientation est utilisée, l'utilisation de longs paliers à la n de la prédiction ne nuit pas à la monotonie de la commande et permet de diminuer le nombre d'inconnues du problème. En fait, le nombre d'inconnues demeure le même puisque l'horizon de contrôle n'est pas modi é, mais, de par l'utilisation de
contraintes d'égalité, la valeur des inconnues est xée :
∆uk+l = 0 ∀l ∈ I (5.13)
Dans cette relation, l'ensemble I correspond aux instants où l'orientation est xée pour être égale à l'orientation précédente.
L'utilisation de courts paliers au début de la prédiction et de paliers plus longs à la n de la prédiction laisse assez de liberté à l'algorithme pour corriger les écarts avec la trajectoire de référence et accélère, en comparaison au cas sans contraintes, l'obtention des résultats. L'étude d'un cas particulier de ce type de contraintes est présentée à la section 5.4.