Comparaison des diérentes modélisations

Les sections 2.3.1 à 2.3.4 développaient toutes les équations nécessaires à la simu- lation de la dynamique de translation d'un lanceur. Basée sur ces développements et sur l'application à la mission du projet, la présente section compare les trois approches. Dans un premier temps (section 2.3.5.1), les développements et les équations résultantes sont analysés an de ressortir les principales caractéristiques des trois approches (résu- mées au tableau 2.1). Par la suite, à la section 2.3.5.2, les équations sont implémentées dans un simulateur Matlab® _{an de comparer leur ecacité en vue de l'utilisation}

comme modèle dans la fonction de guidage.

2.3.5.1 Analyse des équations

Le choix du système de coordonnées inertiel pour écrire les équations de translation est déterminant sur les caractéristiques de l'approche vectorielle. En eet, puisque les

composantes de l'état du système sont les composantes des vecteurs position et vitesse, cette approche est exempte de discontinuités. Cependant, ceci a également pour eet de compliquer l'utilisation de l'approche. Bien que les composantes soient des vecteurs, ceux-ci correspondent aux vecteurs inertiels qui, puisqu'il ne représentent pas le lanceur par rapport à un observateur terrestre, ont une signication physique oue complexiant ainsi leur utilisation et leur manipulation. Également, puisque le système de coordonnées inertiel n'est pas celui dans lequel les forces externes sont dénies, ces dernières doivent être ramenées, en utilisant les matrices de rotation, dans le système de coordonnées de développement. Ces matrices de rotation sont dénies par des angles qui ne sont pas directement disponibles dans l'état de l'approche et qui doivent être calculés à chaque instant de simulation. L'obtention de ces angles, telle que dénie à la section 2.3.4, n'est pas une opération complexe, mais allonge le calcul de l'approche vectorielle.

Le développement de l'approche angulaire est plus complexe que celui de l'approche vectorielle, mais il donne des équations et un état plus simple à utiliser. Toutes les composantes de l'état représentent une quantité physique. De plus, puisque le système de développement est un système sur la trajectoire, l'utilisation des équations se résume à les implémenter et utiliser directement la valeur des variables qui y apparaissent. À la diérence des deux autres approches, les forces peuvent être utilisées directement. Il n'est pas nécessaire d'ajouter les forces ctives ou de transférer les forces externes dans un système de coordonnées diérent que leur système de dénition, ceci a été eectué a priori, dans le développement des équations. Cependant, le développement est tel que trois discontinuités sont présentes dans cette approche. Deux discontinuités (vitesse de déplacement nulle et déplacement perpendiculaire à l'horizon local) ne sont pas nuisibles pour une trajectoire exo-atmosphérique de lancement. La troisième (au- dessus des pôles) risque cependant d'être problématique pour une trajectoire circulant à des latitudes élevées.

L'approche par quaternion complet constitue un compromis entre les deux autres approches. Son développement s'eectue dans un système de coordonnées non inertiel et utilise la vitesse relative. Ainsi, à la diérence des deux autres approches, les forces ctives doivent être ajoutées explicitement dans les équations. Cependant, puisque le système de coordonnées utilisé dans le développement est un système sur la trajectoire, les forces externes ne doivent pas être transférées dans un système de coordonnées iner- tiel. Ainsi, cette approche nécessite moins d'opérations que l'approche vectorielle et est plus rapide à calculer. De plus, le temps sidéral, apparaissant dans la matrice de rota- tion du système de coordonnées terrestre vers le système de coordonnées inertiel, n'est pas nécessaire. Cependant, bien qu'elles soient dénies dans un système de coordonnées sur la trajectoire, les forces externes nécessitent l'utilisation d'angles qui ne sont pas directement disponibles dans l'état de l'approche. Ainsi, comme pour l'approche vecto-

rielle, certaines opérations supplémentaires sont nécessaires à l'obtention de ces angles. Bien que ces opérations ne soient pas complexes mathématiquement (section 2.3.4), elles allongent le temps de calcul. L'utilisation d'un quaternion pour modéliser la rotation éli- mine la discontinuité au-dessus des pôles. Les deux discontinuités liées au déplacement (vitesse nulle et déplacement perpendiculaire à l'horizon local) demeurent présentes, mais, comme mentionné précédemment, elles ne sont pas nuisibles pour l'étude de la trajectoire exo-atmosphérique.

quaternion angulaire vectorielle

temps de calcul long temps de calcul court temps de calcul long discontinuité lors d'un

déplacement vertical

discontinuité lors d'un déplacement vertical

aucune discontinuité

discontinuité avec une vitesse nulle

discontinuité avec une vitesse nulle

discontinuité lors du passage au-dessus des pôles signication physique oue signication physique directe signication physique directe, mais inutilisable pour l'application

calcul des forces

nécessite des opérations supplémentaires

implémentation directe, aucunes opérations supplémentaires

équations nécessitent des opérations supplémentaires

équations nécessitent le temps sidéral

Tableau 2.1  Résumé des caractéristiques des trois approches

2.3.5.2 Analyse des implémentations

Dans la section précédente, l'analyse est basée uniquement sur l'analyse des équa- tions et de l'implémentation des trois approches. Cependant, les commentaires sur le temps de calcul se doivent d'être vériés par l'implémentation des trois approches dans un simulateur. Un simulateur, basé sur les développements précédents, a été créé où l'application des forces s'eectue avec les trois approches. Les simulations sont eec- tuées en utilisant les résultats naux (orientation du vecteur poussée, temps de dérive et temps de brûlage du troisième étage) du chapitre sur la dénition d'une trajectoire de référence (chapitre 3). Ceci permet de s'assurer que la trajectoire est réalisable et

que l'orbite nale est viable. De plus, an d'assurer la validité de la comparaison de la trajectoire, aucun phénomène aléatoire n'est inclus dans les trois simulations. Les com- paraisons s'eectuent sur deux bases, le temps de calcul et la précision de l'approche.

Pour l'étude de la précision, les trois approches sont simulées et la soustraction de chacune d'entre elles à l'approche angulaire est tracée sur la gure 2.12.

200 300 400 500 600 700 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10−10 Temps [s] Rayon [km] Angulaire Vectorielle Quaternion (a) Rayon 200 300 400 500 600 700 −4 −3 −2 −1 0 1x 10 −13 Temps [s]

Vitesse relative [km/s] Angulaire

Vectorielle Quaternion

(b) Vitesse relative Figure 2.12  Comparaison des approches

Ces gures démontrent que, bien que la diérence entre les trois approches soient structurée, cette diérence est négligeable, moins de 3×10−10_{. Cette diérence provient}

des opérations de conversion entre l'approche angulaire et les deux autres. En eet, les simulations sont initialisées par l'état de l'approche angulaire qui est convertie dans l'état de l'approche simulée. La moindre petite diérence provenant de cette opération de conversion est ampliée par l'intégration des équations sur les 530 s de la simulation. Dans l'ordre de grandeur obtenue, cette diérence pourrait également provenir unique- ment de la précision machine du logiciel utilisé pour la simulation. La source réelle de la diérence n'a pas été investiguée puisque la diérence entre les trois approches est négligeable.

La seconde comparaison importante pour l'utilisation temps réel de ces approches est le temps de calcul. Pour eectuer cette comparaison, les trois approches sont simu- lées à nouveau, mais toutes les opérations de conversion nécessaires uniquement à la comparaison sont éliminées. Cette comparaison produit la gure 2.13.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Quaternion Angulaire Vectorielle

Temps de calcul relatif

Figure 2.13  Comparaison du temps de calcul

Cette gure conrme ce qui a été avancé dans la section 2.3.5.1 lors de l'analyse des équations. Ainsi, de par les opérations supplémentaires nécessaires à l'obtention des forces, les approches vectorielle et par quaternion sont plus longues que l'approche angulaire. Les opérations supplémentaires pour transférer ces forces dans le système de coordonnées inertiel rendent l'approche vectorielle plus lente que l'approche par quaternion. Ce résultat est cohérent avec ce qui est dit par Blakelock (1991) comme quoi l'écriture des équations de mouvement dans un système de coordonnées déni sur la trajectoire diminue le temps de calcul.

Ainsi, comme mentionné dans Vachon et al. (2011), pour le guidage d'un lanceur dans sa phase exo-atmosphérique, l'approche angulaire doit demeurer l'approche de prédilection pour la majorité des orbites. Son temps de calcul et sa simplicité d'utilisa- tion la rendent mieux adaptée à une utilisation en temps réel. Cependant, dans le cas où l'orbite visée est une orbite presque polaire, l'approche par quaternion complet doit être considérée comme l'alternative à privilégier. Ainsi, pour ce projet, puisque l'orbite héliosynchrone étudiée ne passe pas près assez des pôles pour que la discontinuité soit problématique, l'approche angulaire est utilisée dans la suite de la thèse.