Man÷uvres dans le plan orbital

Cependant, pour la dénition d'une trajectoire, si la latitude de lancement est inférieure à l'inclinaison orbitale visée, l'orientation du plan orbital s'obtient en sélectionnant le cap de lancement et en gardant les angles hors plan (ϕcom) nuls pour toute la durée

du lancement (Sellers, 2005). Ceci est cohérent avec le fait que, pour minimiser la consommation de carburant, les man÷uvres hors plan doivent être minimisées. Ainsi, pour la dénition de trajectoire nominale, ces angles sont xés à 0° et sont donc retirés des inconnues du problème.

3.2.1 Man÷uvres dans le plan orbital

L'utilisation d'une méthode directe nécessite également la dénition d'un critère d'optimisation utilisant les entrées du système et certains de ses paramètres. Le critère utilisé par la majorité des travaux cités précédemment consiste en une minimisation de la consommation de masse.

Le critère proposé dans cette thèse reprend le critère de minimisation de la consom- mation et ajoute des termes supplémentaires an d'aider à la convergence de l'algo-

rithme et la validité des résultats : J =ζ1 n X l=1 ϑcoml− ϑcoml+1
2 ! +ζ2 n X l=1 ∆m tburnl+1 − tburnl
! +ζ3   n−1 X l=2

tan (γl+1+ ϑl+1) − 2 tan (γl+ ϑl) + tan (γl−1+ ϑl−1)

tburnl− tburnl+1
2 !2  +ζ4 a+ p+ ζni ! (3.3)

où les variables ζ sont des variables de pondération et les variables  sont les variables d'écart (Baldick, 2006).

Le premier terme du critère consiste à minimiser la diérence entre la valeur de l'orientation de la poussée à deux instants successifs de discrétisation. Ce terme permet de lisser la courbe des entrées du système et, par le fait même, de lisser la trajectoire obtenue. Le lissage de la courbe des entrées diminue les man÷uvres brusques minimisant l'eort des actionneurs des tuyères

Le second terme correspond au terme classique de minimisation de la masse consom- mée. Ce terme permet de maximiser la masse de la charge utile et donc la rentabilité du lanceur. En eet, la trajectoire obtenue est valide pour une masse maximale au lancement. Ainsi, toute diminution du carburant consommée peut être transférée sur la masse de la charge utile.

Lorsque la Terre est considérée plate et avec une accélération gravitationnelle uni- forme, la tangente de l'angle de tangage optimal, celui utilisant le moins de carburant, est linéaire (voir la preuve à l'annexe F). La dérivée seconde d'une droite est nulle. Le troisième terme de l'équation (3.3) correspond à cette connaissance a priori sur l'orien- tation optimale recherchée. Il est l'approximation discrète de la seconde dérivée de la tangente de l'angle de tangage. Lorsque les angles hors plan sont nuls, l'angle de tangage est l'addition de l'inclinaison de la trajectoire avec l'angle d'orientation de la poussée dans le plan orbital (section 2.1.11). Avec le modèle proposé qui inclut l'aplatissement de la Terre, ce terme n'est pas nul, mais il permet d'orienter l'algorithme d'optimisation. Son eet est discuté plus en détail à la section des résultats (section 3.3).

Le quatrième terme est un terme classique en optimisation sous contraintes, il cor- respond aux variables d'écart (Baldick, 2006). Ce terme seul n'a pas de signication, il doit être utilisé en combinaison avec des contraintes. Une variable d'écart permet

de convertir une contrainte d'inégalité en la combinaison d'une contrainte d'égalité et d'une contrainte de non-négativité. Les variables d'écart deviennent alors la valeur sa- tisfaisant la contrainte d'inégalité de base. Si le problème incluant une variable d'écart possède un minimum, ce minimum est également le minimum du problème initial (Bal- dick, 2006), à condition que la variable de pondération liée à la variable d'écart (ζ4)

soit assez élevée (Mukai et Polak, 1978). La variable d'écart peut également être vue comme un moyen de convertir une contrainte d'égalité stricte en une contrainte d'égalité relaxée qui peut être modiée an de résoudre le problème. Dans ce cas, la valeur de la variable d'écart correspond à la violation de la contrainte initiale. Cependant, comme mentionné précédemment, si le problème initial a une solution, le problème augmenté donnera la même solution, la variable d'écart sera ainsi nulle.

Dans le présent travail, cette deuxième utilisation est celle employée. Les contraintes d'égalité stricte sur l'orbite atteinte :

rad− raf = 0 (3.4)

rpd− rpf = 0 (3.5)

id− if = 0 (3.6)

peuvent être converties en contraintes d'inégalités :

0 ≤rad− raf≤ 0 (3.7)

0 ≤rpd− rpf≤ 0 (3.8)

0 ≤ id− if ≤ 0 (3.9)

Et, en utilisant les variables d'écart, ces équations sont reconverties en équations d'éga- lité relaxée : a− (rad− raf) = 0 (3.10a) (rad− raf) − a= 0 (3.10b) a≥ 0 (3.10c) p− (rpd− rpf) = 0 (3.10d) (rpd− rpf) − p = 0 (3.10e) p ≥ 0 (3.10f) i− (id− if) = 0 (3.10g) (id− if) − i = 0 (3.10h) i ≥ 0 (3.10i)

L'indice d signie que le paramètre orbital auquel il est lié est le paramètre désiré

numérique. Le rayon des apsides et de l'inclinaison sont dans des ordres de grandeur diérents. Pour des raisons de stabilité numérique de l'algorithme d'optimisation, un facteur de normalisation peut être nécessaire pour uniformiser les ordres de grandeurs. Les équations (3.10) sont les contraintes nales du problème d'optimisation permettant de dénir une trajectoire de lancement.

Les variables de pondération présentes dans le critère ont deux utilités. Première- ment, leur unité implicite permet la sommation des termes en uniformisant les unités de chacun. Cette utilité est purement conceptuelle, mais il convient de la mentionner notamment puisque ces unités implicites permettent de déterminer l'ordre de grandeur nominal de la valeur des variables. Dans le critère de l'équation (3.3), l'unité de la va- riable de pondération liée à la consommation de masse (ζ2) est des kg−1 en comparaison

avec les °−2 _{de la variable de pondération liée aux incréments de commandes (ζ}

1) et les

s4 _{de celle liée aux connaissances a priori (ζ}

3). Ainsi, la valeur du terme multiplié par

ζ2 sera plus élevée que celle des autres termes et, an de ne pas donner plus d'impor-

tance à la consommation, la variable de pondération ζ2 doit être faible, en comparaison

aux autres. Cette première utilité permet donc d'obtenir un ordre de grandeur nominal des variables de pondération. Par la suite, ces variables pourront être ajustées pour dénir l'importance relative qui doit être accordée à chacun des termes. Notamment, les connaissances a priori n'ont pas de signication réelle dans le modèle de l'accélé- ration gravitationnelle utilisée dans les équations du modèle. Elles servent uniquement à orienter l'optimisation (section 3.3) dans la bonne direction. La valeur de la variable de pondération ζ3 se doit donc d'être petite pour diminuer l'importance de ce terme

dans la solution. De plus, la variable de pondération liée aux variables d'écart (ζ4), dont

l'unité est des km−1_{, doit être élevée an de pénaliser les variations des variables d'écart}

et que l'orbite atteinte soit l'orbite désirée. Ceci est également cohérent avec l'énoncé que, pour assurer que les deux minimums soient les mêmes, cette pondération doit être élevée (Mukai et Polak, 1978).

La variable de conversion d'unité ζn a la même utilité que les variables de pon-

dération, mais limitée à l'intérieur du terme sur les variables d'écart. Elle permet de convertir l'unité d'angle en unité de distance, son unité implicite est donc des km/°. Cependant, les variables d'écart doivent être du même ordre grandeur et avoir la même importance. Cette variable de conversion d'unité est donc uniquement conceptuelle, puisqu'elle prend une valeur unitaire.

Les deux précédents paragraphes discutant des valeurs de variables de pondération ne font que donner des idées pour orienter la recherche. Pour chaque conguration de lancement (point de sortie et orbite visée), la valeur de ces pondérations doit être étudiée puisqu'elles peuvent avoir des eets diérents sur diérentes trajectoires .