Comme mentionné précédemment, la modélisation des équations de translation consiste en l'application de la seconde loi de Newton XF = ma. Ainsi, lorsque les forces agissant sur le lanceur sont additionnées, l'accélération inertielle du lanceur s'obtient uniquement en divisant ce résultat par la masse actuelle du lanceur. Ce prin- cipe est la base du développement des équations de translation par l'approche vectorielle (section 2.3.1). La présente section se concentre cependant uniquement sur le dévelop- pement et la modélisation des forces. Ces forces seront utilisées à la section suivante (section 2.3) pour obtenir les équations de translation. Ainsi, les sections 2.2.1 à 2.2.3 introduisent les trois types de forces considérées et principalement l'amplitude des celles- ci. La section 2.2.4 présente certaines forces supplémentaires qui pourraient être incluses et leur ordre de grandeur.
2.2.1 Force gravitationnelle terrestre
La force gravitationnelle terrestre est la principale force que le lanceur doit vaincre et correspond à l'attraction que la planète exerce sur un corps se situant près d'elle. Cette force gravitationnelle (Fg), liée à l'accélération gravitationnelle par la seconde loi
de Newton :
Fg = mg (2.22)
En astrodynamique, la solution de Kepler (annexe D) considère celle-ci comme étant la résolution du problème à deux corps. Ainsi, elle est dirigée vers le centre de la Terre et est fonction de l'inverse du carré de l'altitude de l'objet orbital. Cependant, la Terre n'étant pas sphérique et homogène (la répartition de sa masse n'est pas uniforme), cette modélisation est valide uniquement que lorsque l'objet orbitant est su samment loin pour que la Terre soit considérée comme un point de masse, ce qui est le cas lorsque l'altitude de l'orbite est très supérieure au rayon équatorial (Tewari, 2007).
Ainsi, puisque l'altitude du lanceur est bien en deçà du rayon équatorial terrestre, un modèle de l'accélération gravitationnelle correspondant au gradient du potentiel gravitationnel (Ug) doit être utilisé :
g = −∇Ug (2.23)
Une modélisation mathématique simple mais représentative du potentiel gravitationnel terrestre consiste en l'intégration du volume terrestre par la sommation des harmoniques zonaux et tesseraux (Gaposchkin et Lambeck, 1970) :
Ug = µe r 1 + ∞ X n=2 req r n (−JnPn(sin δ)) + n X m=1
(Cmncos (mλ) + Smnsin (mλ)) Pnm(sin δ)
!! (2.24)
Cette représentation introduit les constantes terrestres µe (paramètre gravitationnel de
la Terre), req (rayon équatorial terrestre), Jn (harmonique zonal d'ordre n) et Cnm et
Snm(harmoniques tesseraux de degré m et d'ordre n). Les valeurs de ces harmoniques se
trouvent dans Gaposchkin et Lambeck (1970). Les termes Pnet Pnmsont respectivement
le polynôme de Legendre d'ordre n Pn(x) = 2n1n! dn(x2−1)n dxn et la fonction de Legendre associée Pnm(x) = (1 − x2) m 2 dm
dxmPn(x). L'intérêt principal de cette représentation
provient des harmoniques qui la rendent versatile. Les imperfections dans l'accélération gravitationnelle peuvent être modélisées avec grande précision uniquement en allongeant la sommation des harmoniques. À l'opposé, une modélisation simple et spéci que peut
être obtenue en utilisant uniquement les indices désirés dans la sommation. Notamment, les algorithmes développés dans le cadre du projet se limiteront à l'utilisation du terme du J2, modélisant l'aplatissement de la Terre :
Ug = µe r 1 + J2 req r 2 1 − 3 sin2δ 2 (2.25) L'utilisation du second harmonique zonal est nécessaire puisque l'orbite étudiée et le site de lancement amènent le lanceur sur des latitudes élevées où l'eet de l'aplatissement est importante (Vachon et al., 2012). Comme le démontre la section 2.2.4, l'utilisation des harmoniques supplémentaires apporterait un gain très faible en précision.
Selon la dé nition de l'accélération gravitationnelle (équation (2.23)), l'accélération gravitationnelle utilisée dans ce projet vaut :
g = −∇ µe r 1 + J2 req r 2 1 − 3 sin2δ 2 (2.26) Le système de coordonnées local étant un système de coordonnées polaires, le gradient vaut : ∇ (f ) = ∂f ∂rr + ∂f r∂δδ + ∂f r sin δ∂λλ (2.27)
L'accélération gravitationnelle exprimée dans le système de coordonnées local est donc :
gL= −gr 0 gδ = −µe r2 1 + 1,5J2 req r 2 1 − 3 sin2δ 0 µe r2 3J2 req r 2 sin δ cos δ (2.28)
La force gravitationnelle dans le système de coordonnées sur la trajectoire vaut :
Fg T = mTTLgL= m
−grsin γ + gδcos χ cos γ
−gδsin χ
grcos γ + gδcos χ sin γ
(2.29)
2.2.2 Force de poussée
La force de poussée est la force résultant de l'éjection des particules de gaz vers l'arrière du lanceur. Cette éjection de particules étant elle-même le résultat de la trans- formation en énergie cinétique de l'énergie thermique produite dans la chambre de combustion lors du passage du uide dans la tuyère. Pour la motorisation hybride uti- lisée dans le projet, la force de poussée (Fp) et la consommation instantanée du moteur
(∆m) se modélisent par les deux équations suivantes :
∆m =
PchambreAcol
c∗ (2.30)
Fp = ∆mIspg0η − PambientAcolre (2.31)
où Pchambre est la pression dans la chambre de combustion, Acol est l'aire au col de la
tuyère, c∗ est la vitesse caractéristique des gaz produits par le moteur, ∆
m est la masse
de carburant éjecté, Isp est la consommation spéci que du moteur, g0 est la gravité
standard au niveau de la mer et η est l'e cacité de la combustion dans le moteur. La multiplication de la pression atmosphérique externe (Pambient) par l'aire à la sortie de la
tuyère (Ae= Acolre) correspond à la perte de poussée due à la présence d'air de densité
non négligeable à l'extérieure de la tuyère. La ratio d'expansion de la tuyère (re) est le
facteur de proportionnalité entre l'aire au col et l'aire de sortie.
Les moteurs sont également équipés de tuyères orientables permettant d'orienter le ux de sortie et donc la force de poussée selon les angles ϕ et ϑ. Ces angles sont les mêmes angles que ceux utilisés pour orienter le système de coordonnées lié à la poussée (section 2.1.4). Ainsi, la force de la poussée, exprimée dans le système de coordonnées de la trajectoire, vaut : FpT = Fp cos ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ sin ϑ (2.32)
2.2.3 Forces aérodynamiques
Les forces aérodynamiques sont les forces résultant du déplacement du véhicule dans un uide résistant à son déplacement, l'air. Ainsi, dans le cas d'un lanceur, ces forces ne sont présentes que dans la phase endo-atmosphérique de sa trajectoire. Lorsque l'engin passe dans la phase exo-atmosphérique, elles peuvent être négligées puisque la densité de l'air est assez faible pour qu'il n'impose pas de résistance au mouvement. Ainsi, puisque ce projet traite uniquement de phase exo-atmosphérique du lancement, les forces aérodynamiques ne seront que brièvement introduites.
Ces forces aérodynamiques sont la force axiale (FA), la force normale (FN) et la
force latérale (FY) dans le système de coordonnées lié au corps. Elles sont fonctions de
la vitesse de déplacement, des angles aérodynamiques, des caractéristiques (viscosité, densité, vitesse du son, pression statique) du milieu dans lequel le lanceur se déplace et de la forme de l'objet. Ainsi, puisque le lanceur traverse plusieurs couches de l'atmo- sphère, les caractéristiques du milieu évolue avec l'altitude à laquelle celui-ci se déplace.
Un modèle de l'atmosphère, le standard US-76 (COESA, 1976), doit être utilisé pour calculer les caractéristiques du milieu et ainsi, avec la connaissance de la vitesse et des angles aérodynamiques, obtenir la valeur des coe cients aérodynamiques. Les coe - cients obtenus sont le coe cient de portance (CL) et le coe cient de traînée (CD). Ces
coe cients correspondent aux forces exprimées dans le système de coordonnées aéro- dynamique. Les coe cients normal (CN), axial (CA) et latéral (CY) sont obtenus en
utilisant la dé nition du système de coordonnées aérobalistique (section 2.1.9) :
CA0 = −CLsin α0+ CDcos α0 (2.33) CN0 = CLcos α0+ CDsin α0 (2.34)
CA= CA0 (2.35)
CN = −CN0sin Φ0 (2.36)
CY = −CN0cos Φ0 (2.37)
Par la suite, en utilisant les dimensions du lanceur, les coe cients sont dénormalisés pour obtenir la valeur de la force en Newton. L'expression de l'amplitude des trois forces est donc la suivante :
FaeroB = −FA −FY −FN = qS CA CY CN (2.38)
où S est la surface aérodynamique de référence et q est la pression dynamique. Cette pression dynamique est également fonction de la vitesse de déplacement et de la pres- sion statique du milieu ambiant. Puisque ce projet ne considère que la trajectoire exo- atmosphérique, les forces aérodynamiques seront négligées dans la suite de l'étude.
2.2.4 Forces perturbatrices négligées
Les trois sections précédentes présentaient les forces agissant sur le mouvement du lanceur qui ne peuvent être négligées pour le calcul d'une trajectoire de lancement. Selon la précision désirée dans la modélisation, il est possible d'ajouter des forces sup- plémentaires.
Notamment, pour le calcul de l'accélération gravitationnelle, la répartition de masse de la Terre est considérée constante ce qui n'est rigoureusement pas le cas puisque cette répartition varie sous l'eet de l'attraction lunaire créant les marées, un déplacement d'eau et donc de masse. Les forces résultantes des marées sont de l'ordre de 10−7 par
rapport à 100 pour le terme d'attraction centrale (inverse du carré de la distance).
Une seconde perturbation qui pourrait être considérée provient également de l'eet de l'attraction lunaire, mais par la force qu'elle exerce directement sur le lanceur. Dans ce cas, le problème deviendrait un problème à trois (quatre si on considère également le Soleil) corps. L'ordre de grandeur de l'attraction de ces deux astres sur le lanceur est de 10−6. En plus des forces aérodynamiques, une autre force de frottement aecte le
mouvement du lanceur. Celle-ci provient cependant de l'émission de photons par le Soleil qui sont rencontrés par le lanceur. L'ordre de grandeur de cette force de frottement est de 10−8. Le graphique 2.11 schématise l'importance de quelques forces supplémentaires
aectant un lanceur à une altitude de 800 km.
10−12 10−11 10−10 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102 Amplitude [N]
poussée attraction centrale
aplatissement de la Terre (harmonique d’ordre 2)
aérodynamique altitude de moins de 1000 km irrégularités de la Terre (harmoniques d’ordre élevé)
attraction lunaire attraction solaire marée
radiation solaire
Figure 2.11 Ordre de grandeur des forces agissant sur le lanceur, altitude de 800 km