TECHNIQUES DE VISUALISATION TRI ET
II.2. Visualisation multidimensionnelle
2.1. Modèles continus de la fonction multi-variables
Ce cas se présente en majeure partie lors de la mesure de phénomènes physiques. Les différents capteurs (pressions, températures, champs électriques,...) sont dispersés dans le champ de mesure. Chaque capteur est caractérisé par sa localisation spatiale. La (ou les) fonction physique mesurée est échantillonnée spatialement et relativement à la position des capteurs. La fonction est caractérisée par des variables indépendantes (la localisation spatiale, le temps) et par une variable dépendante (la mesure, la fonction F). Une mesure est généralement un phénomène spatio-temporel (3D+T). Les mesures de phénomènes multiples sont considérées comme autant de fonctions indépendantes. Une donnée volumique temporelle est caractérisée par une fonction F liée à la localisation spatiale et temporelle. Celles-ci peuvent être vues comme un point dans l'espace 3D, p = (x, y, z), à un instant t donné. La modélisation continue peut se formaliser par la recherche de la fonction F(p, t) = F(x, y, z, t) approchant au mieux les échantillons de mesure (xi, yi, zi, tj, Fij) où i=1,...N est le nombre de capteurs et j représente le numéro de l'échantillon temporel. Le passage à des fonctions de degré inférieur est obtenu :
*par la constance d'un des paramètres indépendants.
F(x, y, z) pour des données uniquement volumiques (en fait F(x, y, z, t0) avec t0 = cst.) ou F(x, y, t) pour une image 2D dynamique.
*les paramètres indépendants peuvent être liés entre-eux. Ce cas est illustré par les fonctions surfaciques F(x, y, z, t) obtenues à partir de (xi, yi, zi, tj, Fij), i=1,...N où
pi = (xi, yi, zi) D, D représente le domaine de mesures, la surface dans notre cas.
Pour la modélisation d'une fonction portée par une surface, la connaissance ou non du domaine influe sur le modèle de la fonction. Les deux aspects de la représentation surfacique sont donc : (1) la définition du modèle de surface 3D et (2) l'interpolation (la modélisation continue) de la fonction sur la surface définie par (1).
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2.1.1. Modélisation de données volumiques
L'ensemble des données (xi, yi, zi, Fi), i=1,...N est souvent échantillonné dans l'espace de manière arbitraire. La modélisation part de cet échantillonnage inhomogène. Différents schémas d'interpolation sont présentés dans la littérature. Ils sont de degré 1 -linéaires- (la contribution des différents points de données est pondérée par l'inverse de la distance entre le point à interpoler et les points de mesure) ou basés sur des modèles d'ordre supérieur. Nielson et autres [Nielson91] proposent l'interpolation multiquadratique 3D formulée par Hardy et Goepfert : F(p)= αi i=1 N
∑ (
p− pi 2 + R2)
1/ 2 où :R2 > 0 est une constante;
p = (x, y, z) un point en 3D
p − pi2 = (x-xi)2 + (y-yi)2 + (z-zi)2
Les coefficients αi sont estimés par la résolution d'un système de N équations à N inconnues : A.α = F où : A = (aij) = ( pi − pj 2 + R2)1/2 ; α = (α1, α2,...., αN)T ; F = (F1,F2,...., FN)T.
Le passage d'une fonction spatiale à une fonction spatio-temporelle suit le schéma suivant : F(p, t)= αi(t) i=1 N
∑ (
p− pi 2+ R2)
1/ 2 avec : A.α(t) = F(t)Nielson et al. proposent également des solutions dans les cas où le nombre de points est élevé ou quand la mesure est bruitée.
La modélisation à partir de données échantillonnées régulièrement en grille 3D est plus aisée. Les schémas d'interpolations classiques paramétriques (trilinéaires, splines,...) s'appliquent aisément.
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2.1.2. Modélisation de fonctions surfaciques
Les données se présentent sous la forme (xi, yi, zi, Fi), i=1,...N où pi = (xi, yi, zi) D, D représente une surface.
La modélisation peut être dissociée en deux problèmes : -la modélisation de la surface à partir de (xi, yi, zi), i=1,...N ; -la modélisation de F(x, y, z) sur le modèle de surface précédent. 2.1.2.1. Modélisation de la surface
Deux cas se présentent à nous :
-le domaine de la fonction (la surface) est connu par une mesure topologique.
En imagerie médicale, ce cas est typique de la multimodalité. L'acquisition fonctionnelle 3D (PET, SPECT) est associée (par recalage) aux structures morphologiques. L'information de volume ou de surface est directement extraite de ce dernier type d'imagerie.
-la surface est modélisée à partir des points de mesures.
La seule information sur la surface concerne la localisation spatiale des points 3D de mesure. La surface est donc décrite à partir de ce nuage de points. Le choix d'un modèle dépend :
*du nombre de points de mesure disponibles ; *de leur disposition spatiale (leur répartition) ; *de la complexité géométrique accordée au modèle.
Parmi les différents modèle de surface citons des plus simples aux plus complexes : *les primitives géométriques ajustées au nuage de points (sphère, ellipsoïde,...) ; *la modélisation planes (facettes) ;
*les surfaces paramétriques (splines dans le cas d'une répartition relativement régulière des points, splines "plaques minces" ou snakes 3D de surface pour une dispersion irrégulière) ;
*la modélisation par des surfaces implicites,... 2.1.2.2. Modélisation de la fonction sur la surface
La forme et le degré de complexité de la surface influent sur le choix du modèle d'interpolation.
Les fonctions appliquées sur des primitives géométriques simples ou sur des surfaces implicites bénéficient de la forme analytique de la surface. La modélisation de fonction sur des sphères a fait l'objet d'études récentes. Voir [Pottmann90] par exemple.
L'échantillonnage régulier des surfaces paramétriques est souvent utilisé pour l'interpolation paramétrique de la fonction. Si (u, v) sont les paramètres de l'échantillonnage avec x(u, v), y(u, v) et z(u, v) la surface, la fonction est calculée par F(u, v).
L'interpolation sur des surfaces formées par une liste de facettes ou une liste de points de surface est plus problématique. La décomposition en éléments fait perdre la notion
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forme analytique (ou paramétrique), soit une recherche de la corrélation spatiale entre les différents éléments de surface et les points de mesure.
Les propos précédents concernent des fonctions échantillonnées de manière ponctuelle. Certaines appareils de mesures recueillent des signaux de dimensions spatiales supérieures (capteurs linéaires ou surfaciques). La modélisation spatiale de ces fonctions suit un schéma identique à celle effectuée à partir de données ponctuelles. Les domaines de mesure peuvent toutefois se recouper. Des problèmes de recalage entre capteurs doivent être résolus avant toute modélisation. Voir par exemple [Rosenblum89] en visualisation océanographique.