RECALAGE D'IMAGES 3D
IV.1. Modèle de recalage général
Notre propos est le recalage entre deux ensembles d'informations représentant la même scène. Le recalage -c'est-à-dire la définition des transformations qui existent entre ces deux ensembles- peut être décomposé en trois étapes :
-définition du modèle de relation entre les deux scènes -définition d'une mesure de similarité entre les deux scènes -actualisation du modèle de relation par la mesure de similarité.
1.1. Définition du modèle de relation entre les deux scènes
Besl [Besl88b] essaie de formaliser de la manière la plus générale possible le problème de recalage entre la représentation d'un objet par un système d'acquisition et cet objet dans un référentiel lié au monde physique. Cette modélisation générale est formulée dans un espace de dimension 4 (les trois dimensions spatiales et une dimension temporelle) sans aucune contrainte sur la dimension des modèles géométriques utilisés pour le recalage. Ces modèles géométriques qui décrivent l'objet sont appelés entités (voir tableau I-2 pour une liste des différentes entités). Xj(t) est la variation temporelle de la jème entité de l'objet (décrite dans le référentiel de départ).
La description de ce modèle, par un outil d'acquisition, est donnée par : Yi(t) c'est-à-dire la ième entité du référentiel d'acquisition. La relation entre le modèle de départ et son image peut être écrite sous la forme :
Yi(t) = I( Xj(t) ) + N(t) où :
N(t) est un bruit additif de report I( Xj(t) ) l'image de mesure de Xj(t) :
I( X(t) ) = D( O(t, P( E(t).R(t).X(t) + T(t) ) ) ) E(t) est l'évolution temporelle d'une matrice d'homothétie R(t) est l'évolution temporelle d'une matrice 3x3 de rotation
T(t) est l'évolution temporelle du vecteur de translation
P(.) est l'opérateur d'acquisition de l'image 3D (voir chapitre d'acquisition). Cet opérateur intègre toutes les notions de distorsion et de bruits d'acquisition. O(t, .) est l'opérateur d'occlusion. Il peut être vu comme un masque variant
temporellement et cachant une partie de l'image acquise.
D(.) est l'opérateur de modélisation géométrique de l'image de P(.) en entités géométriques.
La transformation affine Y = E.R.X + T est souvent exprimée par une matrice 4x4 de transformation linéaire : Y = H.X. Les relations en rotation et translation sont habituellement estimées séparément. Nous gardons donc la formulation explicite de la transformation affine. Par souci de simplicité d'écriture, Besl assume que l'opérateur d'acquisition n'extrait du modèle que les entités géométriques nécessaires au recalage. L'image de mesure de I(.) devient :
CHAPITRE IV : Recalage d’images 3D
( X(t) ) = O(t, P( E(t).R(t).X(t) + T(t) ) )
Le cas de l'imagerie médicale concerne plus généralement le recalage entre deux images acquises à des instants différents et pouvant présenter des caractéristiques diverses : Yi(t1) = I1( Xj(t1) ) + N1(t1) Zk(t2) = I2( Xj(t2) ) + N2(t2) avec : Ia( Xa(t) ) = Oa(t, Pa( Ea(t).Ra(t).X(t) + Ta(t) ) ) où a = 1 et 2 respectivement
La définition explicite des relations entre Yi(t1) et Zk(t2) nécessite la connaissance des différentes fonctions Oa(ta) et Pa, des transformations géométriques Ra(ta), E(ta) et T(ta), ainsi que de la relation entre Xj(t1) et Xj(t2).
Cette formulation regroupe les cas rencontrés en imagerie médicale :
-le recalage entre primitives rigides fait abstraction de toute évolution temporelle de X ; -les relations de déformation sont régies par X(t) ;
-la multimodalité est décrite par les fonctions Pa.
Les fonctions Oa(t) ont une grande influence sur la correspondance partielle ou totale entre les bases de données : le recalage global est effectué sur des objets non occlus (O est alors négligé dans la formulation), contrairement au recalage local qui considère que des parties distinctes des primitives sont masquées d'une base à une autre.
Dans la pratique, la recherche de relations entre Y et Z passe par la définition de certains modèles de transformation pouvant se noter Z = H(Y). Ces modèles sont soit paramétriques (matrices de transformation ou modèles polynomiaux dans le cas d'images statiques), soit expriment un ensemble de relations locales (fonctions splines, modèles élastiques).
1.2. Définition d'un modèle de similarité
L'estimation des transformations entre deux scènes doit être confirmée par un critère de similitude après recalage de la deuxième scène. Les critères les plus souvent utilisés sont : -les fonctions de corrélation (dans le cas de recalage global). Nous retrouvons dans cette
classe les fonctions d'intercorrélation, d'intercorrélation normalisée,...) ;
-la Somme en Valeur Absolue des Différences. Ce critère de similarité a été souvent utilisé de manière intuitive. Dans sa formulation, Besl estime la ressemblance au sens de maximum de vraisemblance. Le critère à maximiser est la probabilité conditionnelle suivante : P(Yj/Xi) pour Yj = I( Xi ) + N. Si le bruit additif est stationnaire et gaussien (moyenne nulle, covariance
Σ
) et si les objets sont similaires (ni mouvements et ni déformations) alors :CHAPITRE IV : Recalage d’images 3D
P(Yj/Xi) = (2Π)-n2⋅ det(Σ)-12⋅
e
-12 Yi-I(Xi)T Σ-1 Yi-I(Xi)n est la dimension de Y et det(
Σ
) le déterminant de la matrice de covariance.Si les composantes du bruit sont indépendantes et distribuées de manière égale (même variance σ, même distribution spatiale
Σ
= σ.[I]), alors P(Yj/Xi) dépend uniquement deYj − I X
( )
i où . représente la distance euclidienne.-le critère de changement de signe basé non sur les valeurs attribuées aux primitives respectives mais sur le changement de signe des différences entre ces valeurs [Venot84]. -le critère de recouvrement de régions. Kim et autres [Kim91] maximisent une équation
d'erreur E = (imageA ∪ imageB) - (imageA ∩ imageB). Chiron [Chiron89] a développé un critère appelé Surface Overlapping Criterion (SOC) qui caractérise le recouvrement des régions entre deux images décalées en translation.
1.3. 1-3. Actualisation du modèle de relation par mesure de similitude
La recherche de la relation entre deux scènes à apparier passe par la recherche du maximum du critère de ressemblance après recalage. Si R représente la relation de transformation entre les deux bases et S(a, b) le critère de similitude entre a et b, l'estimation de la transformation globale G entre Y et Z est donnée par :
G(Z, Y) = max S Z, R(Y)
sur R
c'est-à-dire la maximisation du critère de similarité en respectant les contraintes du modèle.
Le recalage local L entre Y et Z passe par la définition d'un sous-ensemble W℘Y. Le recalage est estimé par :
L(Z, Y) = max
sur W⊂Y max S Z, R(W) sur R
Les approches de recalage se caractérisent pas l'emploi du critère de similitude dans la recherche de la transformation optimale entre deux scènes. Nous pouvons dissocier deux cas :
-la mesure de similitude sert de critère à l'estimation de la relation entre les deux scènes. L'estimation de G(Z, Y) (ou de L(Z, Y)) est en fait la recherche de la transformation R qui maximise la similitude. Cette recherche est menée sur tous les choix possibles de
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*une recherche exhaustive dans l'espace des R (espace de toutes les transformations possibles) de la relation qui maximise le critère de similarité. La similitude, mesurée par intercorrélation par exemple, est calculée pour tout point de l'espace discret des transformations possibles. Nous verrons toutefois que la fonction d'intercorrélation peut être calculée dans certains cas pour tout le domaine des transformations à la fois. *les algorithmes de recherche itérative basés sur la maximisation du critère de
similitude. Le critère de la Somme Absolue des Distances, par exemple, est parfaitement adapté à une recherche par minimisation au sens des moindres carrés de la somme de la distance entre deux scènes.
-approches non basées sur les critères de similarité.
La similarité de forme est présumée a priori. Ce recalage est effectué à partir de caractéristiques globales liées aux objets et qui sont invariantes (relativement à l'objet) durant la transformation. Les méthodes basées sur l'utilisation des moments géométriques illustrent cette approche. A chaque objet est fixé un référentiel relatif à sa forme. Ce référentiel subit des transformations mais reste invariant par rapport à la forme des objets. Le recalage consiste alors à estimer la relation entre ces référentiels relatifs.
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