Mise en forme des données

La fonction numérique de dimension n doit être mise sous forme visualisable, c'est-à-dire compréhensible par la vision humaine. En 3D, les primitives perçues par l'oeil sont : les volumes par intégration en semi-transparence des éléments internes et les surfaces 3D des objets. Une image 2D peut également être visualisée sous forme de surfaces (représentation appelée 21/2D). En 2D, seules les primitives sous forme d'une image sont représentées. La différenciation 2D/3D ne concerne pas le média de visualisation, purement 2D, mais s'applique à la dimension de la modélisation des données sous la forme visualisable avant projection sur l'écran.

2.2.1. Représentations volumiques

Par représentation volumique nous entendons la transformation des données multi-variables en un volume visualisé par l'intégration des différents éléments le long des lignes de visée. Cette forme de vision se rapproche de la représentation volumique décrite au § III-1-1-3. La formule énoncée par Krüger (§ III-1-1-3) est parfaitement adaptée à la modélisation des fonctions multi-variables pour une visualisation volumique. La modélisation consiste à interpréter les paramètres de la formule (atténuation, distribution, sources internes,...) par rapport aux variables de la fonction.

La plupart des auteurs restreignent le nombre de paramètres attribués au volume à cinq : trois de localisation, un de couleur et un appelé opacité ou transparence.

Cette technique est souvent appliquée à des fonctions 3D du type (x, y, z, F(x, y, z)). Les couleurs et les opacités sont attribuées aux différents éléments de volume après une classification de la fonction F. Les paramètres de cette classification sont principalement fixés de manière interactive. Couleur et opacité sont attribuées aux différentes classes de la base de données en fonction d'une prévision de résultat visuel.

Les domaines scientifiques intéressés par cette technique de visualisation sont nombreux. Citons : la visualisation de molécules à partir de cartes de densité électronique simulée [Wolfe92] ou mesurée par diffraction par rayons X [Levoy88] [Godsell89], celle de données sismiques [Wolfe88], l'analyse de mesures ou de modèles physiques atmosphériques [Hibard89] [Upson88],... Les applications en imagerie médicale ont été présentées précédemment au § III-1-5-2.

L'intégration des couleurs et des opacités donne toutefois des images difficiles à interpréter. Elle gomme toute sensation de volume et les différentes régions translucides sont superposées. Dans le cas de fonctions 3D représentant plusieurs structures, la solution

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consiste à rendre plus transparentes les régions homogènes et plus opaques les frontières (par la pondération du facteur d'opacité en fonction du gradient 3D). L'image résultat est composée des différentes surfaces (frontières des régions) vues en semi-transparence les unes par rapport aux autres.

Les techniques de représentation volumique ont pour principal inconvénient d'être relativement lentes (quoique les recherches récentes d'implantation de ces algorithmes sur machines spécialisées annoncent des temps de 3 images par seconde pour la visualisation de bases de données de 1283 voxels [Fuchs89]). Cette lenteur (sur les stations de travail standards) est préjudiciable à l'interactivité, surtout pour le choix des correspondances entre données multi-variables et paramètres de vision.

Certaines solutions, permettant de visualiser des données volumiques de manière simple et rapide (donc interactive) sont décrites dans [Nielson91]. Ces données se présentent sous la forme d'une grille 3D. La valeur de cette fonction échantillonnée est visualisée par une couleur.

-la méthode appelée "tiny cubes" revient à décomposer la base de voxels en une série de cubes disjoints, séparés entre-eux par un espace. La couleur des faces de ces cubes est attribuée en fonction des voxels contenus dans les cubes. L'espace vide entre cubes permet de visualiser les différents niveaux de la base de données, entre autres les cubes localisés à l'intérieur de la base. L'échantillonnage de ces cubes dans la base de données (nombre de cubes , espace entre ces cubes) est choisie interactivement et permet l'exploration des données.

-la méthode appelée "vanishing cubes". La base de données est divisée en N_x x N_y x N_z plans perpendiculaires entre-eux. Ces intersections décomposent chaque plan en facettes (rectangles) semi-transparentes. Une couleur est attribuée à ces facettes en fonction de la valeur de F(x, y, z). La semi-transparence permet la visualisation de l'ensemble de la fonction 3D. L'opérateur agit sur le nombre de plans par côtés et par le réglage interactif de la transparence.

2.2.2. Représentations surfaciques

Nous devons discerner deux types de surface : la surface d'un objet 3D et la représentation en 21/2D d'une image 2D.

2.2.2.1. Surface d'un objet 3D

Une fonction volumique peut être représentée par une succession d'iso-surfaces. Une surface d'iso-valeurs est l'extension 3D des courbes de niveau utilisées en cartographie topologique et météorologique. Pour une fonction 3D donnée, une surface d'iso-valeurs est l'ensemble des points de la fonction qui possèdent la même valeur. Elle peut être extraite par des algorithmes du type Marching-Cube [Lorensen87] ou par représentation volumique (les voxels de l'iso-surface sont opaques, les autres transparents [Levoy88]).

Certains algorithmes proposent d'extraire des données 3D plusieurs isosurfaces -correspondant chacune à une valeur de la fonction. Une couleur différente est attribuée à

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Une surface peut également mettre en valeur l'évolution de données dans le volume (visualisation des couches d'air dans l'atmosphère, l'évolution 3D d'un filet d'air ou d'eau en mécanique des fluides [Helman91],...).

Dans le but de visualiser une fonction confinée dans un espace 3D, Payne et Toga [Payne90-92] proposent l'idée suivante : le volume est stratifié en diverses surfaces, puis la fonction est représentée sur ces surfaces internes. Ces surfaces sont construites à partir d'un technique appelée champ de distance (Distance Field). Prenons la surface externe d'un objet. Le champ de distance par rapport à cette surface est constitué par l'attribution à chaque point de l'espace 3D de la distance minimale entre ce point et la surface. Le champ de distance permet de définir des surfaces à iso-distance de la surface externe. Un objet est ainsi décomposé en couches d'iso-distance.

La visualisation d'hyper-surfaces (surfaces de dimension supérieure à 3) est fréquemment réduite à des représentations de surfaces 3D. Pour une hyper-surface de dimension 4 -F(x, y, z, w) = 0, la solution consiste à fixer une des variables, w=w_o par exemple, et à visualiser f(x, y, z, w_o) = 0 [Bajaj90]. Les courbes obtenues en faisant varier w sont visualisées simultanément sur le même écran donnant ainsi une idée de l'hyper-surface 4D. [Hanson92] propose de projeter une l'hyper-surface de dimension 4 dans un volume 3D (extension de la projection de surfaces 3D sur l'écran 2D) puis de visualiser la surface de cette projection 3D.

2.2.2.2. "Surface" d'une image (image 21/2D

L'image 2D f(x, y) est considérée comme une surface définie par les points 3D (x, y, f(x, y)). Les résultats de certaines applications sont plus facilement interprétables sous la forme 21/2D que sous celle d'une image en couleur ou niveau de gris [Roberton91]. Les variations dans l'image se traduisent en pics et en creux. L'illumination, les ombres portées qu'elle procure, rehaussent la perception de la topologie de la surface.

Dans le cas de deux fonctions liées aux mêmes paramètres -f(x, y) et g(x, y)-, une des fonctions peut être représentée en tant que surface (x, y, f(x, y)), la deuxième peut exprimer une couleur sur la surface précédente g(x, y, f(x, y)).

Les fonctions multi-variables sont également représentables par des surfaces 21/2D. Ferner et Besher [Ferner90] proposent pour la visualisation de surfaces multi-paramétriques de diviser le référentiel à n dimensions en hiérarchie de référentiels de dimension 3. Les référentiels "extérieurs" permettent de fixer des constantes dans les variables. Seuls les volumes associés au référentiel "intérieur" sont variables et servent à représenter les courbes en 21/2D. L'intérêt de la méthode réside dans l'interactivité qui facilite l'attribution des valeurs constantes aux variables "extérieures".

Le principe énoncé pour les images 21/2D, selon lequel une valeur f(x, y) est représentée par une hauteur, s'adapte également pour la représentation de fonctions sur une surface. Foley et autres [Foley90] présentent différentes solutions pour la visualisation de fonctions sur une sphère dont certaines sont basées sur le principe cité ci-dessus.

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2.2.3. Représentation 2D

L'image 2D, par sa simplicité même, présente un intérêt non négligeable pour la visualisation et l'exploration de fonctions multi-variables.

L'exploration de fonctions 3D par des plans de coupes manipulés interactivement est aisée et très rapide. Elle est encore largement utilisée.

La visualisation de fonctions à n dimensions peut être effectuée sur une image 2D en fixant des variables constantes ou en imposant une hiérarchie dans l'échantillonnage des axes [Mihalin91]. Comme dans toute structure hiérarchique, le résultat est dépendant de l'ordre d'examen des variables.