Modèle unidimensionnel pour les cœurs planaires de dislocations

ε

^p∗

= ˙γ

^p∗

^T

T

∗

; ˙γ

^p∗

≥0 ; T

^∗

≥0 (2.19)

B

^α

; T

^∗

; ˙γ

^p∗

sont des paramètres positifs du matériau. B

^α

est le coefficient de

frottement visqueux. T

^∗

et ˙γ

p∗

représentent respectivement une contrainte critique

de référence et une vitesse de déformation plastique de référence.

2.3 Modèle unidimensionnel pour les cœurs

pla-naires de dislocations

2.3.1 Equations de champs

On considère un repère orthonormé (e

₁

, e

₂

, e

₃

). On assume des lignes de

dislo-cations infiniment rectilignes le long de la direction e

3

. La nature des dislocation

peut être coin, vis ou mixte. Le vecteur de Burgers de la dislocation coin est suivant

la direction e

₁

tandis que celui de la dislocation vis est suivant la direction e

₃

. Les

composantes du tenseur de densités de dislocations associé sont respectivement α

13

etα

₃₃

. Ces densités de dislocations peuvent donc glisser suivant la direction e

₁

dans

le plan (e

₁

, e

₃

) de normale e

₂

. Dans le cas de cœur de dislocations planaires, le

mo-dèle élasto-plastique des champs de dislocations peut se réduire à une formulation

unidimensionnelle pour l’évolution spatiotemporelle des densités de dislocations en

excèsα

₁₃

(x

₁

) etα

₃₃

(x

₁

). Le modèle est invariant le long de la directione

₃

c’est à dire

∂

∂x3

= 0. En désignant par d la distance entre deux plans de glissement consécutifs,

les densités de dislocations surfaciquesα

^S₁₃

etα

₃₃^S

sont reliées aux densités volumiques

de dislocations en excès par les relations α

₁₃

=

^αS13

d

et α

₃₃

=

^αS33

d

. Cette

représenta-tion surfacique peut être considérée comme une simplificareprésenta-tion unidimensionnelle du

récent modèle proposé par [Zhang,2015] dans lequel le cœur d’une dislocation ainsi

que son plan de glissement sont contenus dans une couche de très faible épaisseur.

En supposant une élasticité linéaire homogène et isotrope, les contraintes de

cisaille-ments engendrées en x

₁

par les densités de dislocations surfaciques α

S

13

et α

S

obtenues à partir des convolutions suivantes [Peierls,1940, Nabarro,1947] :

T

₁₂

(x

₁

) = ^µ

2π(1−ν)

Z

+∞ −∞

α

^s₁₃

(x

⁰₁

)

x

₁

−x

0 1

dx

⁰₁

(2.20)

T

₃₂

(x

₁

) = ^µ

2π

Z

+∞ −∞

α

s 33

(x

⁰₁

)

x

₁

−x

0 1

dx

⁰₁

(2.21)

µ et ν dénotent respectivement le module de cisaillement et le coefficient de

Poisson. Dans les simulations à venir, l’utilisation des relations 2.20 et 2.21 exige

que des conditions aux limites extérieures soient définies suffisamment loin des cœurs

des dislocations. D’après les équations 2.8,2.18 et 2.19, les vitesses de déformations

plastiques ˙

^p₁₂

et ˙

^p₃₂

sont :

˙

^p₁₂

= ¹

2^α

¹³

^V

α13 1

+ ˙γ

^p∗

^T

¹²

T

∗

= ¹

2 ^α

¹³

T

₁₂

α

₁₃

B

α

+ ˙γ

^p∗

^T

¹²

T

∗

(2.22)

˙

^p₃₂

= ¹

2^α

³³

^V

α33 1

+ ˙γ

^p∗

^T

³²

T

∗

= ¹

2 ^α

³³

T

₃₂

α

₃₃

B

α

+ ˙γ

^p∗

^T

³²

T

∗

(2.23)

Les équations de transport des densités de dislocations coins et vis sont :

˙

α

₁₃

=−(α

₁₃

V

^α13 1

+ ˙γ

^p∗

^T

¹²

T

∗

)

_,1

(2.24)

˙

α

₃₃

=−(α

₃₃

V

^α33 1

+ ˙γ

^p∗

^T

³²

T

∗

)

_,1

(2.25)

f

_,1

est la dérivée partielle de f par rapport à x

₁

. Les équations 2.20, 2.22 et

2.24 sont utilisées dans la suite pour modéliser l’auto-relaxation d’un cœur de

dis-location coin initialement compact pour voir si nous pouvons obtenir une structure

équilibrée et compacte. Nous choisissons l’aluminium comme matériau pour

com-mencer cette étude. Le module de cisaillement est µ = 28GP a, le coefficient de

Poisson est ν = 0.3, la norme du vecteur de Burgers est prise égale à b = 0.405nm

et la distance inter-planaire est d = 0.36nm. Le coefficient de viscosité vérifie

B

α

=

^Br

b2

= 10

15

P a . s . m

⁻2

où B

_r

= 10

⁻4

P a . s est une valeur habituelle à

tem-pérature ambiante dans l’aluminium. En fixant B

α

, une valeur suffisamment faible

de ˙γ

^p

∗= 10

⁻¹⁰

s

⁻¹

et une valeur suffisamment grande deT

^∗

= 5GP asont

arbitrai-rement choisies afin de s’assurer que la mobilité des dislocations en excès l’emporte

sur la nucléation des dislocations.

2.3.2 Implémentation numérique

La longueur du plan de glissement suivant la direction e

₁

est L

₁

= 25nm.

Pour obtenir une description assez précise du cœur des dislocations, nous

discré-tisons cette longueur en 1000 éléments, soit 1001 nœuds. Ceci implique une

résolu-tion spatiale de 0.025nm. Généralement, dans un cadre tridimensionnel,

l’approxi-mation numérique de l’équation de transport des densités de dislocations peut se

faire par la méthode des éléments finis de type Galerkin/moindres carrés explicite

[Varadhan,2006,Roy,2005]. Plus récemment, une méthode numérique spectrale avec

filtre passe-bas basée sur les algorithmes FFT a été proposée et permet d’obtenir

des solutions précises [Djaka,2015]. La caractéristique commune de ces méthodes

de résolution est qu’elles contiennent des termes d’amortissement qui éliminent les

instabilités numériques qui peuvent être générées et se propager en raison du

carac-tère hyperbolique de l’équation de transport. Cependant, dans le cadre du présent

modèle unidimensionnel, un algorithme basé sur le schéma d’Euler centré ou upwind

fonctionne et a été utilisé pour estimer les dérivées spatiales qui apparaissent dans

les équations de transport2.24 et2.25. Afin de supprimer des possibles fluctuations

numériques et stabiliser la solution, une diffusion artificielle supplémentaire est

in-troduite dans l’algorithme de résolution numérique grâce au schéma des différences

finies [Varadhan,2006]. Les convolutions 2.20 et 2.21 sont calculées par la méthode

des trapèzes. Tout au long de la simulation, les densités de dislocations sont mises

à jour par un simple schéma d’intégration temporelle explicite d’Euler.

2.3.3 Résultats du modèle

Comme illustré sur la figure 2.1, une distribution arbitraire de densité de

dislo-cation coin initialement compacteα

s

13

est introduite au milieu du plan de glissement

de sorte que le vecteur de Burgers associé vérifie R

α

₁₃^s

dx

₁

= b. Pendant le

pro-cessus de relaxation, la densité de dislocation évolue en suivant son propre champ

de contrainte interne T

₁₂

. Ainsi, une force motrice T

₁₂

. α

₁₃

non nulle existe et elle

tend à étaler le cœur de la dislocation. Pour s’assurer qu’une structure équilibrée

est atteinte pendant ce processus, deux critères sont considérés :

∗ La décroissance relative de l’énergie de la dislocation entre deux pas de temps

consécutifs doit être inférieure à une valeur seuil très faible.

∗ La différence de la densité de dislocation entre deux pas de temps consécutifs

calculée par la méthode des moindres carrés doit être aussi inférieure à une valeur

seuil très faible.

est stoppé et la distribution de dislocation est déclarée comme ayant atteint une

configuration équilibrée. La figure2.1montre l’évolution de la densité de dislocation

α

^s₁₃

pendant le processus d’auto-relaxation. On observe que le cœur de la dislocation

s’étale de façon infinie sous son propre champ de contrainte interne jusqu’à ce que

la densité de dislocation disparaisse complètement du plan de glissement et que

l’énergie de la dislocation devienne nulle. Aucune structure équilibrée ne peut être

obtenue.

Figure ^{2.1 – Relaxation infinie d’un cœur de dislocation coin sous son propre}

champ de contrainte interne. Les courbes bleue, noire et rouge montrent l’étalement

progressif du cœur jusqu’à ce qu’il disparaisse complètement du plan de glissement.

(a) : Densité de dislocation coinα

S

13

. (b) : Champ de contrainte interne de cisaillement

T

₁₂

associé. D’après [Gbemou,2016].

Ceci est loin d’être un nouveau résultat puisque cette tendance était prévisible

du faite que le cœur de la dislocation est constitué de dislocations coins

infinité-simales de même signe qui se repoussement mutuellement. De tels résultats ont

aussi été récemment obtenus avec un modèle très proche [Zhang,2015]. La

relaxa-tion infinie se produit parce que dans la formularelaxa-tion ci-dessus, le modèle ne prend

en compte aucune force de rappel qui est capable de s’opposer à l’étalement de

la distribution de dislocations. Les travaux dans la littérature suggèrent que cette

force provient de la friction du réseau qui s’oppose au glissement des dislocations

[Chu,2013, Wang,2008,Zhang,2016]. La section suivante est consacrée à

l’introduc-tion de cette force dans la formulal’introduc-tion du modèle. Pour cela, nous nous basons sur

les travaux pionniers de Peierls et Nabarro [Peierls,1940, Nabarro,1947]. Il est

im-portant de noter que les simulations décrites ci-dessus, si elles sont réalisées sans

le terme ˙ε

p∗

, donnent exactement les mêmes résultats, montrant que ˙ε

p∗

n’a

au-cune influence sur le processus de relaxation. Ceci est dû au fait que la mobilité des

dislocations coins α×V

^α

est suffisante pour relaxer totalement l’énergie élastique.

2.4 Introduction de l’énergie de misfit et des forces

Dans le document Modélisation de l’interaction des coeurs de dislocations et des joints de grains (Page 92-96)