Modèle 2D : le modèle coin-coin

Soit le repère cartésien (e

₁

,e

₂

,e

₃

). On travaille dans le plan (e

₁

,e

₂

) et on suppose

que les dérivées spatiales par rapport à x

₃

sont nulles. On assume une distribution

continue de désinclinaisons coins dont la ligne est perpendiculaire à la figure et la

discontinuité de rotation autour de cette même direction. Une telle ligne de

désincli-naison est représentée par le tenseur de densité de désinclidésincli-naisonsθ qui ne possède

qu’une seule composante θ

₃₃

telle que θ = θ

₃₃

e

₃

⊗e

₃

. La condition de continuité

divθ =0conduit à la conditionθ

_33,3

= 0 qui est satisfaite (ligne de désinclinaisons

supposées infiniment rectilignes). Les équations d’incompatibilité1.73des courbures

élastique et plastique se réduisent à la détermination de seulement deux composantes

(κ

^e₃₁

,κ

^e₃₂

) et (κ

^p₃₁

,κ

^p₃₂

) :

θ

₃₃

=κ

^p_31,2

−κ

^p_32,1

=−κ

^e_31,2

+κ

^e_32,1

. (1.124)

L’équation de transport de la densité de désinclinaisons θ

₃₃

prend la forme :

˙

θ

₃₃

= ˙κ

^p_31,2

−κ˙

^p_32,1

. (1.125)

En notation indicielle, l’équation 1.86 s’écrit ˙κ

^p_ij

= e

_jkl

θ

_ik

V

θ

l

. Cette relation

donne les expressions des vitesses de courbures plastiques engendrées par le

mouve-ment des désinclinaisons coins :

˙

˙

κ

^p₃₂

=θ

₃₃

V

₁^θ

. (1.127)

D’après 1.120 et1.123, les vitesses des désinclinaisons vérifient :

V

₁^θ

= ¹

B

_θ

^M

³²

^θ

³³

^(1.128)

V

₂^θ

=− ¹

B

_θ

^M

³¹

^θ

³³

^(1.129)

L’équation de transport des dislocations 1.99 montre que la mobilité 1.126 et

1.127 des désinclinaisons coins génère des densités de dislocations coins α

₁₃

et α

₂₃

.

Ces deux densités représentent respectivement des lignes de dislocations coins avec

une ligne perpendiculaire au plan (e

₁

,e

₂

) et un vecteur de Burgers parallèle à e

₁

et e

₂

. En combinant ces deux densités, il est donc possible de modéliser n’importe

quel vecteur de Burgers dans le plan. Les dislocations coins peuvent se déplacer et

générer des vitesses de déformation plastique ( ˙ε

^p₁₁

, ˙ε

^p₁₂

, ˙ε

^p₂₁

, ˙ε

^p₂₂

) :

˙

ε

^p₁₁

=−α

₁₃

V

₂^α

(1.130)

˙

ε

^p₁₂

= ˙ε

^p₂₁

= ¹

2^(α

¹³

^V

α 1

−α

₂₃

V

₂^α

) (1.131)

˙

ε

^p₂₂

=α

₂₃

V

₁^α

(1.132)

˙

ε

^p₁₁

et ˙ε

^p₂₂

proviennent des mouvements de type montée ou diffusion (mouvement

perpendiculaire à la ligne et au vecteur de Burgers) des dislocations coins (α

₁₃

,

α

₂₃

) tandis que le glissement de ces dislocations induit une vitesse ˙ε

^p₁₂

. La trace du

tenseur des vitesses de courbures plastiques étant nulle, les équations de transport

des densités de dislocations sont réduites à :

˙

α

₁₃

= ˙ε

^p_11,2

−ε˙

^p_12,1

+ ˙κ

^p₃₁

(1.133)

˙

Les relations1.120et1.122fournissent les vitesses de dislocations pour les

mou-vements de type montée :

V

₁^α

= ¹

B

_α

^σ

²²

^α

²³

^(1.135)

V

₂^α

=− ¹

B

α

σ

₁₁

α

₁₃

(1.136)

et pour le glissement des dislocations :

V

₁^α

= ¹

B

_α

^σ

¹²

·α

₁₃

(1.137)

V

₂^α

=− ¹

B

_α

^σ

¹²

·α

₂₃

(1.138)

On assume que les coefficients de viscosité sont les mêmes pour les dislocations

et les désinclinaisons : B

_θ

= B

_α

= B. Les contraintes et moments de contraintes

impliqués dans ce problème 2D sont (T

₁₁

, T

₁₂

, T

₂₁

, T

₂₂

) et (M

dev

31

, M

dev 32

). L’équation

d’équilibre 1.110 devient :

T

₁₁^sym_,1

+T

₁₂^sym_,2

+¹

2^(M

dev 31,1

+M

₃₂^dev_,2

)

_,2

= 0 (1.139)

T

₂₁^sym_,1

+T

₂₂^sym_,2

−¹

2^(M

dev 31,1

+M

₃₂^dev_,2

)

_,1

= 0, (1.140)

Nous nous concentrons maintenant sur les lois d’élasticité constitutives 1.104

et 1.105. Il a été récemment montré par Upadhyay que les tenseurs B et D sont

nuls dans le cas isotrope et centrosymétrique [Upadhyay,2013]. Cependant, en

pré-sence de dislocations et de désinclinaisons, la centrosymétrie cristalline est rompue

au niveau du cœur de défauts et ces tenseurs d’élasticité sont à priori non nuls

dans ces régions. On rappelle que les dimensions des tenseursA et (B,D) sont une

contrainte multipliée par une longueur au carré et une contrainte multipliée par une

longueur. Cela suggère l’existence d’une longueur interne caractéristique à

l’élas-ticité au niveau des défauts et aussi du caractère non local de l’élasl’élas-ticité. La non

localité se manifeste clairement au travers de la définition du vecteur de Burgers1.97

qui montre que des fortes variations des courbures élastiques peuvent générer des

déformations élastiques

⁰_e

= (κ

t

e

×r)

t

qui s’ajoutent aux déformations élastiques

_e

locaux entre courbures et déformations. Une première expression pour ces tenseurs

a été récemment proposée [Fressengeas,2014a, Taupin,2014]. Dans ce modèle 2D, le

déplacement infinitésimal du =

⁰_e

.dr = (κ

^t_e

×r)

^t

.dr provenant de l’hétérogéneité

des courbures (κ

e

31

, κ

e

32

) sur le vecteur r= (r

₁

, r

₂

) est :

du

₁

=

⁰₁₁^e

dr

₁

+

⁰₁₂^e

dr

₂

=−κ

^e₃₁

r

₂

dr

₁

−κ

^e₃₂

r

₂

dr

₂

(1.141)

du

2

=

⁰₂₁^e

dr

1

+

⁰₂₂^e

dr

2

= +κ

^e₃₁

r

1

dr

1

+κ

^e₃₂

r

1

dr

2

. (1.142)

Le tenseur des contraintes (voir équation 1.104) peut donc avoir la forme :

T

₁₁^sym

= C

₁₁₁₁

^e₁₁

+C

₁₁₂₂

^e₂₂

−D

₁₁₃₁

κ

^e₃₁

(1.143)

T

₁₂^sym

= C

₁₂₁₂

^e₁₂

+C

₁₂₂₁

^e₂₁

+D

₁₂₃₁

κ

^e₃₁

−D

₁₂₃₂

κ

^e₃₂

(1.144)

T

₂₁^sym

= C

₂₁₁₂

^e₁₂

+C

₂₁₂₁

^e₂₁

+D

₂₁₃₁

κ

^e₃₁

−D

₂₁₃₂

κ

^e₃₂

(1.145)

T

₂₂^sym

= C

₂₂₁₁

^e₁₁

+C

₂₂₂₂

^e₂₂

+D

₂₂₃₂

κ

^e₃₂

. (1.146)

D’une façon similaire, la rotation infinitésimale dω = κ

⁰_e

.dr = r ×

_e

.dr/r

2

induite par l’hétérogénéité des déformations (

e

21

,

e

22

) and (

e

11

,

e

12

) produit des

cour-bures (κ

⁰₃₁^e

, κ

⁰₃₂^e

) :

dω

₃

= ¹

r

2

(r

₁

^e₂₁

−r

₂

^e₁₁

)dr

₁

+ ¹

r

2

(r

₁

^e₂₂

−r

₂

^e₁₂

)dr

₂

=κ

⁰₃₁^e

dr

₁

+κ

⁰₃₂^e

dr

₂

(1.147)

Ainsi, on peut supposer que la forme des moments de contraintes (voir équation

1.105) est :

M

₃₁^dev

= A

₃₁₃₁

κ

^e₃₁

−B

₃₁₁₁

^e₁₁

+B

₃₁₁₂

^e₁₂

+B

₃₁₂₁

^e₂₁

(1.148)

M

₃₂^dev

= A

₃₂₃₂

κ

^e₃₂

−B

₃₂₁₂

^e₁₂

−B

₃₂₂₁

^e₂₁

+B

₃₂₂₂

^e₂₂

. (1.149)

On assume la symétrieB

_ijkl

=D

_klij

. Par exemple,D

₁₁₃₁

=B

₃₁₁₁

, ce qui donne en

utilisant les relations 1.141 et 1.147 : −D

₁₁₃₁⁰

r

2

=−B

₃₁₁₁⁰

/r

2

. Ainsi :B

₃₁₁₁⁰

/D

₁₁₃₁⁰

=

r

2

. La même valeur r

2

caractérise tous les modules élastiques. La distance r =||r||

est la longueur interne caractéristique de l’élasticité non locale au niveau du cœur

des défauts. Elle doit être de l’ordre des distances inter-atomiques et contrôle la

portée de la non localité. Pour le cuivre [Fressengeas,2014a], on peut prendre la

valeur r = 0.5 Å provenant d’estimations récentes [Maranganti,2007]. Nous avons

donc pour les composantes non nulles des tenseurs (A,B,D) les valeurs A

ijkl

=

µr

2

, B

_ijkl

= D

_klij

= µr. Pour le tenseur C, l’élasticité isotrope linéaire et

homo-gène est utilisée. La figure 1.9 montre la toute première application de ce modèle

[Fressengeas,2011a]. Les tenseursBetD sont nuls pour cette simulation. Un dipôle

de densité de désinclinaisonsθ

₃₃

initialement compact et placé au centre d’une boîte

de simulation se relaxe et s’étale par transport sous son propre champ de moments

de contraintes. Durant ce processus, des densités de dislocations coins sont nucléées

et ces dernières sont contenues à l’intérieur du dipôle de désinclinaisons. Tout cet

ensemble de défauts converge vers une structure organisée et d’énergie plus faible

que la configuration initiale, et la valeur de l’énergie élastique de la structure obtenue

est plus raisonnable que celle prédite par les théories élasto-statiques des

désincli-naisons [Romanov,1992, Romanov,2009]. On voit bien aussi sur cette figure que la

relaxation par nucléation de dislocations génère un vecteur de Burgers

perpendicu-laire au bras du dipôle, ce qui traduit un gradient de rotation élastique au travers du

dipôle. Autrement dit, la relaxation du dipôle modifie localement la désorientation

élastique.

Figure^{1.9 – (A) : Dipôle de désinclinaisonsθ}

33

et distributions de densités de

dis-locations coinsα

₁₃

, α

₂₃

après auto-relaxation d’un dipôle initial compact. Le dipôle

de désinclinaisons est en couleur et les flèches représentent les vecteurs de Burgers

associés aux densités de dislocations. (B) : Rotation ω

₃

et champ de vecteur de

Burgers dans le domaine. La rotation est en couleur et les flèches représentent le

champ de vecteur de Burgers. D’après [Fressengeas,2011a].

1.3.2 Modélisation de la structure de cœur et de l’énergie

Dans le document Modélisation de l’interaction des coeurs de dislocations et des joints de grains (Page 69-74)