Configuration équilibrée des cœurs de dislocations planaires . 76

η

₁₂

)dv (2.42)

CommeT

₁₂

=T

₂₁

et ˙ε

^p₁₂^∗

= ˙ε

^p₂₁^∗

, après réécriture de l’équation 2.42 en utilisant la

relation2.41, nous aboutissons finalement à :

D=

Z

V

(T

₁₂

U^˙

₁₂^p

− ¹

d

∂γ

₁₂

∂η

₁₂

^η˙

¹²

^)dv=

Z

V

(T

₁₂

+^∂γ

¹²

∂η

₁₂

^{) ˙U}

p 12

dv (2.43)

Pour satisfaire la positivité de la dissipation, les équations d’évolution 2.22 et

2.24 doivent être modifiées et elles prennent les nouvelles formes respectives :

˙

^p₁₂

= ¹

2^α

¹³

(T

12

+

^∂γ12 ∂η12

)α

13

B

α

+ ˙γ

^p∗

^T

¹²

⁺

∂γ12 ∂η12

T

∗

(2.44)

˙

α

₁₃

=−(α

₁₃

^(T

¹²

⁺

∂γ12 ∂η12

)α

₁₃

B

α

+ ˙γ

^p∗

^T

¹²

⁺

∂γ12 ∂η12

T

∗

)

_,1

(2.45)

Les deux équations ci-dessus montrent clairement que la contrainte de

cisaille-mentT

₁₂

qui contrôle le glissement des dislocations est maintenant compensée par

une force de rappel T

R

12

=

^∂γ12

∂η12

.

2.4.3 Configuration équilibrée des cœurs de dislocations

pla-naires

Le modèle qui contient maintenant une contrainte de rappel est appliqué à

l’auto-relaxation de deux distributions initiales de dislocations coins arbitraires. La

pre-mière distribution présente un cœur compact, le même que celui utilisé lors de la

section2.3.3et représentée par la courbe bleue de la figure2.2−(a). La seconde

dis-location a un cœur très diffus représentée par la courbe rouge de la figure2.2−(a).

Pendant le processus de relaxation, nous observons l’étalement du cœur de la

dis-location coin compacte. Cela se produit parce que la contrainte de cisaillement T

₁₂

induite par cette dislocation est plus grande que sa contrainte de rappelT

R

12

.

Inver-sement, la distribution diffuse devient compacte car sa contrainte de cisaillement

suffisant et à un point où les contraintes de cisaillements et de rappels s’annihilent

mutuellement le long du plan de glissement, les deux distributions convergent vers

la même structure de cœur équilibrée représentée par la courbe noire sur la figure

2.2−(a).

Figure ^{2.2 – (a) : Densités de dislocations coins α}

^S13

. La courbe bleue est la

dis-tribution du cœur de la dislocation coin initialement compacte(amplitude divisée

par 30), la courbe rouge la distribution du cœur de la dislocation coin initialement

diffuse (amplitude multipliée par 5) et la courbe noire la structure équilibrée

obte-nue après relaxation des deux distributions initiales. (b) : Évolution dans le temps

des énergies de cœur de la dislocation compacte (bleue) et diffuse (rouge). D’après

[Gbemou,2016].

L’équilibre est mis en évidence sur la figure 2.3−(b) où les courbes de contrainte

de cisaillement et de contrainte de rappel se compensent parfaitement. La structure

de cœur de la dislocation planaire proposée par Peierls-Nabarro est une solution

élasto-statique qui dérive de l’équation 2.34. Cette équation ne garantit pas que

cette solution peut être obtenue à travers un processus dynamique et dissipatif.

Ce-pendant, il est remarquable de noter que lors du processus de relaxation, le transport

des deux densités de dislocations coins choisies arbitrairement conduit à la solution

de Peierls-Nabarro. L’évolution dans le temps des énergies de cœur de ces deux

dislocations est représentée sur la figure2.2−(b). On voit que la solution de

Peierls-Nabarro est actuellement une solution d’énergie minimale. On note de nouveau que

le terme source ˙

p∗

n’a aucune influence sur le processus de relaxation car la

mobi-lité des densités de dislocations coins α

13

V

^α13

1

est suffisante pour relaxer totalement

l’énergie interne.

Figure ^{2.3 – Structure relaxée du cœur des dislocations coins obtenue en utilisant}

le potentiel sinusoïdal de Peierls. (a) : la courbe bleue est la densité de dislocation

α

^S₁₃

. La solution de Pierls-Nabarro est tracée en pointillée violet. La courbe rouge

est la discontinuité de déplacement élastiqueη

₁₂

, la courbe en pointillée verte est la

solution de Peierls-Nabarro. (b) : Contraintes dans le plan de glissement. La courbe

bleue est la contrainte de cisaillementT

₁₂

, la solution de Peierls-Nabarro est tracée

en pointillée violet. La courbe rouge est la contrainte de rappel T

R

12

, La courbe en

pointillée verte est la solution de Peielrs-Nabarro. D’après [Gbemou,2016].

2.5 Energies de fautes d’empilement généralisées

Afin de rendre notre modèle plus réaliste, nous remplaçons le potentiel

phé-noménologique de Peierls-Nabarro par des énergies de fautes d’empilement

géné-ralisées. Cette fois ci, ce n’est plus un potentiel unidimensionnel que nous

intro-duisons mais une énergie bidimensionnelle qui fournit la résistance de cisaillement

du cristal dans toutes les directions d’un plan de glissement donné. Les énergies

de fautes d’empilement généralisées peuvent être obtenues pour de nombreux

cris-taux à partir des simulations atomistiques. Dans le cas de notre étude, ces énergies

ont été calculées dans le plan basal et dans le plan prismatique type 1 du titane

et du zirconium [Poty,2011]. L’énergie de faute d’empilement dans le plan basal

est obtenue par calcul ab-initio à partir du logiciel VASP [Vasp,2016] tandis que

celle dans le plan prismatique type 1 est obtenue par simulation de dynamique

moléculaire. Le détail des simulations atomistiques est fournit en annexes. Un

dé-veloppement en série de Fourier est effectué avec les valeurs discrètes qui dérivent

des calculs atomistiques pour fournir une approximation analytique de ces énergies

[Shen,2004, Wang,2004, Schoeck,2012] pouvant être incorporer dans notre modèle

coin/vis. Les discontinuités de déplacement élastique sont les variables des séries

de Fourier. En désignant par η

_a

la discontinuité de déplacement élastique le long

de la direction <11−20> du vecteur de Burgers à la fois dans le plan basal et

dans le plan prismatique type 1 et par η

_b

la discontinuité de déplacement élastique

suivant les directions <1−100> et <0011> dans le plan basal et dans le plan

prismatique type 1 respectivement, l’approximation analytique donnée par la série

de Fourier prend la forme [Poty,2011] :

γ(η

_a

, η

_b

) = ^X

n

X

m

A

_nm

cos(^2πnη

^a

T

₁

^)cos(

2πmη

_b

T

₂

^{) +B}

^nm

^cos(

2πnη

_a

T

₁

^)sin(

2πmη

_b

T

₂

⁾

+ C

_nm

sin(^2πnη

^a

T

₁

^)cos(

2πmη

_b

T

₂

^{) +D}

^nm

^sin(

2πnη

_a

T

₁

^)sin(

2πmη

_b

T

₂

⁾

Les coefficients A

_nm

et B

_nm

de cette relation sont donnés dans le tableau 2.1

ci-dessous. Les coefficientsC

_nm

et D

_nm

sont négligeables.

n m A

_nm^{T i(b)}

B

_nm^{T i(b)}

A

_nm^{T i(p)}

A

_nm^Zr(b)

B

_nm^Zr(b)

A

_nm^Zr(p)

0 0 379 554.55 301.09 557.71

0 1 −351.05 −336.93

0 2 −109.35 −40.77 −56.29 −101.53 −74.90 −52.40

0 3 7.17 21.15

0 4 −5.68 9.71 3.15

1 0 103.41 135.19

1 1 −210.34 76.20 −79.79 −195.16 142.55 −70.80

1 2 −105.76 −155.75

1 3 −34.35 −23.36 −13.12 −23.28

1 4 −12.62

1 5 4.40 −9.07 −6.26 −7.00

2 0 −15.68 −25.30 −5.02 −45.12

2 2 −10.37 −20.94 3.03

2 3 −9.31

2 4 8.77 6.27

3 1 4.08 8.38 3.83 5.43

3 3 −4.44 4.95 3.87

Table^{2.1 – Coefficients de la série de Fourier (mJ/m}

²

^{) obtenus pour les énergies de}

fautes d’empilement généralisées dans le plan basal (b) et dans le plan prismatique

(b) du T i/Zr.

Dans le plan basal, les amplitudes des vecteurs de Burgers suivant les directions

T

₁

=<11−20> et T

₂

=<1−100 > sont respectivement égales à 0.29338nm ,

0.50816nm pour le titane et 0.32293nm , 0.55933nm pour le Zirconium. Pour

le cas du plan prismatique type-1, les amplitudes des vecteurs de Burgers suivant

les directionsT

₁

=<11−20>etT

₂

=<0001>sont respectivement équivalentes à

0.29472nm , 0.46991nm pour le titane et 0.32323nm , 0.51717nm pour le

zirco-nium.

Dans le document Modélisation de l’interaction des coeurs de dislocations et des joints de grains (Page 99-103)