Incompatibilité de réseau due aux champs de dislocations et de dés-

Dans l’hypothèse des petites déformations, le vecteur champ de déplacement

u a une valeur unique et est défini continu en tout point du cristal. Le tenseur

de distorsion défini comme le gradient du déplacement U=grad u est un tenseur

compatible et il en résulte la condition suivante :

rot U=0 (3.1)

Le tenseur de déformationεest la partie symétrique deU, le tenseur de rotation

ω représente sa partie antisymétrique. Un vecteur de rotation noté ω~ est associé à

ω :

~

ω=−¹

2 ^ω:X=

1

2^{rot u (3.2)}

Admettre que le vecteur champ de déplacement et par conséquent le vecteur

champ de rotation sont définis continument et uniquement en tout point du

cris-tal, y compris entre les atomes, équivaut à supposer que la matière est capable de

transmettre des contraintes et des moments de contraintes à cette échelle même en

dessous d’une échelle de longueur inter-atomique. De telles hypothèses de continuité

ont été faites bien auparavant par [Schrödinger,1927,Feynman,1939] et [Pauli,1933]

en définissant la pression et les contraintes dans les systèmes quantiques et discutées

plus tard de façon plus approfondie par [Nielsen,1985] dans la définition du tenseur

des contraintes dans la théorie de mécanique quantique des contraintes. Comme déjà

mentionné, la prise en compte des moments de contraintes à un point donné reflète

des forces mécaniques appliquées à des points distants du domaine et ceci revient à

introduire de la non localité dans la description de l’état mécanique du domaine.

Les dislocations sont introduites par l’utilisation du tenseur de densité de

dis-location de second ordreα [Nye,1953]. Dans un repère orthonormé (e

₁

,e

₂

,e

₃

), les

composantes de ce tenseur vérifient α

_ij

= b

_i

t

_j

. b

_i

est le vecteur de Burgers de la

dislocation suivant la directione

_i

par unité de surface de résolution et t

_j

son vecteur

ligne le long de la directione

_j

. Dans ce travail, l’échelle de résolution sera très petite,

en dessous de l’amplitude du vecteur de Burgers. Par conséquent, une seule

disloca-tion sera décrite par une distribudisloca-tion spatiale appropriée de densité de dislocadisloca-tion

en tout point de sa région de cœur, chaque valeur locale étant une partie

différen-tielle du vecteur de Burgers total de la dislocation. En revanche, lorsque l’échelle de

résolution est mésoscopique, la valeur locale de la densité de dislocation va plutôt

représenter le vecteur de Burgers net d’un ensemble de lignes de dislocations

po-larisé. Puisqu’une discontinuité de déplacement élastique et plastique est associée

à la présence d’une densité de dislocation polaire, les composantes élastique U

_e

et

plastique U

_p

de la distorsion totale Ucontiennent en plus des parties compatibles

U

^k_e

et U

^k_p

qui sont des tenseurs gradients, des parties incompatibles U

^⊥_e

et U

^⊥_p

.

Ces derniers tenseurs ne sont pas des tenseurs gradients. D’après [Acharya,2001], les

relations suivantes peuvent alors s’écrire :

U = U

e

+U

p

(3.3)

U

_e

= U

^⊥_e

+U

^k_e

(3.4)

U

_p

= U

^⊥_p

+U

^k_p

(3.5)

0 = U

^⊥_e

+U

^⊥_p

(3.6)

rot U

^⊥_e

= −rot U

^⊥_p

=α6=0 (3.7)

L’équation d’incompatibilité 3.7 définit la distorsion plastique incompatible U

^⊥_p

associée à la présence du tenseur de densité dislocation alors que l’équation3.6définit

la distorsion élastique incompatibleU

⊥

e

qui doit compenserU

⊥

p

pour que la condition

de continuité du déplacement total exprimée par l’équation 3.1 soit respectée. Les

distorsions élastiques U

^k_e

et plastiques U

^k_p

étant des tenseurs gradients, l’équation

3.7 peut encore s’écrire sous la forme :

rot U

_e

=−rot U

_p

=α (3.8)

Comme indiqué ci dessus, le vecteur champ de rotation ω~ est continu et possède

une valeur unique dans le domaine. Le gradient de ce vecteur est le tenseur des

courbures de second ordre κ:

κ=grad ˜ω. (3.9)

Le tenseur de courbure total est donc un tenseur compatible. Pour introduire

les désinclinaisons, nous utilisons le tenseur de densité de désinclinaisons de second

ordre θ [deWit,1970]. Comme le tenseur de densité de dislocation, θ aussi est une

densité surfacique. En termes de composantes :

θ

ij

= Ω

_i

t

j

(3.10)

où Ω

_i

est le vecteur de Frank de la désinclinaison suivant la directione

_i

par unité

de surface de résolution et t

_j

son vecteur de ligne suivant la direction e

_j

. Ici aussi,

lorsque l’échelle de résolution est très petite, une seule désinclinaison est décrite par

une distribution spatiale de densité de désinclinaison sur toute sa région de cœur,

chaque valeur locale portant un vecteur de Frank élémentaire de la désinclinaison

totale. Cependant, pour une échelle de résolution mésoscopique, la valeur locale de

la densité de désinclinaison représente plutôt le vecteur de Frank net d’un ensemble

de lignes de désinclinaisons polarisé. Étant donné qu’une discontinuité de rotation

élastique et plastique est associée à la présence d’une densité de désinclinaison, les

composantes plastiqueκpet élastiqueκedu tenseur de courbure totaleκcontiennent

en plus des parties compatibles κ

^k_e

et κ

^k_p

, des parties incompatibles κ

^⊥_e

et κ

^⊥_p

qui

ne sont pas des tenseurs gradients. Par conséquent les relations suivantes peuvent

s’écrire :

κ = κe+κp (3.11)

κ

_e

= κ

^⊥_e

+κ

^k_e

(3.12)

κ

_p

= κ

^⊥_p

+κ

^k_p

(3.13)

0 = κ

^⊥_e

+κ

^⊥_p

(3.14)

rotκ

^⊥_e

= −rotκ

^⊥_p

=θ 6=0. (3.15)

L’équation d’incompatibilité 3.15 définit la courbure plastique incompatible

as-sociée à la présence du tenseur de densité de désinclinaison alors que l’équation3.14

définit la courbure élastique incompatible qui doit compenser la partie plastique

incompatible pour assurer la continuité de la rotation totale. Comme les courbures

élastique et plastique compatibles sont des tenseurs gradients, l’équation3.15 peut

encore s’écrire :

rotκ

_e

=−rotκ

_p

=θ. (3.16)

Une autre conséquence importante résultant de la discontinuité de la rotation

élastique et plastique est que les tenseurs de distorsions élastique et plastique ne

peuvent plus être définis. On peut seulement évaluer les tenseurs de déformation

élastique et plastique qui possèdent des valeurs uniques. Ainsi, l’équation

d’incom-patibilité 3.8 devient [deWit,1970] :

rot

_e

= +α+κ

^t_e

−tr(κ

_e

)I (3.17)

rot

_p

= −α+κ

^t_p

−tr(κ

_p

)I. (3.18)

La discontinuité de rotation élastique due à la présence des désinclinaisons est le

vecteur de Frank défini par :

Ω=

Z

C

κ

_e

·dr. (3.19)

La discontinuité de déplacement élastique due aux dislocations est le vecteur de

Burgers b :

b=

Z

C

(

_e

−(κ

^t_e

×r)

^t

)·dr, (3.20)

où r est un vecteur position. Il est à noter que b contient une contribution non

locale de la déformation provenant de la non uniformité des courbures élastiques

dans la région de cøeur des défauts [deWit,1970]. Cependant, tout comme le vecteur

de Frank Ω, b est une mesure ponctuelle de l’incompatibilité de réseau. Soit S

la surface de normale unitaire n délimitée par la courbe fermée C. En appliquant

respectivement le théorème de Stokes au second membre des équations3.19et3.20,

on obtient successivement :

Ω =

Z

S

θ·ndS, (3.21)

b =

Z

S

(α−(θ

^t

×r)

^t

)·ndS. (3.22)

A l’opposé des vecteurs de Burgers et de Frank, les densités de désinclinaisonsθet

de dislocationsαsont des représentations tensorielles continues de l’incompatibilité.

Elles fournissent une régularisation naturelle des vecteurs de Frank et de Burgers

qui sont de natures discontinues et singulières. Le tenseur d’incompatibilité η est

défini comme :

η=curl curl

^t

_e

−curlκ

_e

. (3.23)

Ce tenseur est une mesure combinée de l’incompatibilité résultant des

disloca-tions et des désinclinaisons. En utilisant les équadisloca-tions 3.16 et 3.17, il peut encore

s’écrire en termes de tenseurs de densité de dislocations et de désinclinaisons :

η=curl(¹

2^tr(α)I−α

^t

)−θ. (3.24)

Dans le document Modélisation de l’interaction des coeurs de dislocations et des joints de grains (Page 124-128)