Impact des désinclinaisons sur la théorie des champs de dislo-

θ =rot f =−rot(θ×V

_θ

). (1.85)

L’équation1.85est l’équation de transport des densités de désinclinaisons.

Com-parée avec la dérivée par rapport au temps de l’équation1.73, on en déduit que :

˙

κ

_p

=θ×V

_θ

. (1.86)

˙

κ

_p

est le tenseur des vitesses de courbures plastiques engendré par le mouvement

des densités de désinclinaisons. C’est une relation de type Orowan généralisée, mais

pour les désinclinaisons et les courbures. On peut facilement comprendre d’après

cette relation, en imaginant un joint de grain composé de désinclinaisons, que le

mouvement de ces dernières lors d’une sollicitation mécanique par exemple, va créer

des courbures et donc modifier les champs de rotations au niveau du joint de grain.

1.2.4 Impact des désinclinaisons sur la théorie des champs

de dislocations

Lorsque le circuit C englobe à la fois des dislocations et des désinclinaisons,

les équations d’incompatibilités rot U

_e

= −rot U

_p

= α de la théorie des champs

de dislocations sont modifiées [deWit,1970]. En effet, comme les vecteurs rotations

élastique et plastique (ω~

e

, ~ω

p

) sont discontinus en présence de désinclinaisons, les

tenseurs de distorsions élastique U

^e

et plastique U

^p

sont alors indéfinis et seules

les déformations élastique et plastique peuvent être définies. En remplaçant dans les

équations1.32 et1.33 (gradω~

^e

, gradω~

^p

) par les courbures élastique et plastique

(κ

_e

, κ

_p

) qui comportent maintenant des parties incompatibles, on doit écrire :

rotε

_p

=−α+κ

^t_p

−tr(κ

_p

)I, (1.87)

rotε

_e

=α+κ

^t_e

−tr(κ

_e

)I, (1.88)

L’équation1.87définit la déformation plastique incompatible associée au tenseur

de densité de dislocationαdans la présence simultanée d’une courbure plastique

tan-dis que l’équation 1.88 détermine la déformation élastique incompatible nécessaire

pour assurer la continuité de la matière en présence de dislocations et de

désinclinai-sons. Les équations 1.73 [Beausir,2013] et 1.88 [Pantleon,2008] ont été récemment

utilisées pour estimer respectivement les tenseurs de densité de désinclinaisons et

de dislocations dans les matériaux cristallins à partir des cartes EBSD, c’est à dire

à partir des cartes de rotations élastiques (les déformations élastiques sont

négli-gées). Quelques résultats sont présentés sur la figure 1.7 [Beausir,2013]. A l’échelle

de résolution de l’EBSD, on voit que les joints de grains sont décorés de densités

de dislocations qui accommodent les gradients de rotations au travers des interfaces

et de densités de désinclinaisons qui accommodent des variations de rotations le

long des interfaces. On observe également des désinclinaisons au niveau des nœuds

triples.

Nous ré-exprimons maintenant le tenseur d’incompatibilité η. L’action de

l’opé-rateur rotationnel sur l’équation 1.39 donne :

rotκ

_p

=rot rot

^t

ε

_p

−rot K, (1.89)

où boldsymbolη = rot rot

^t

ε

_p

et K =

¹₂

tr(α)I−α

^t

. En présence de

désincli-naisons, on a maintenant θ=−rotκ

p

, ce qui conduit à :

η =rot K−θ. (1.90)

Le tenseur η est donc une mesure de l’incompatibilité du réseau due à la fois

aux dislocations et aux désinclinaisons. On ré-exprime maintenant la condition de

continuité sur les dislocations. En prenant la divergence de l’équation 1.88 et en

définissant le vecteur Θ^~ = −

1

2

θ : X, la condition de continuité sur les dislocations

divα=0 est modifiée et devient :

Figure^{1.7 – Estimations des densités de dislocations et de désinclinaisons à partir}

des cartes d’orientations mesurées par EBSD dans du cuivre pur déformé par ECAP

[Beausir,2013]. (a) : Mesure scalaire de la densité de désinclinaisons^qθ

2

13

+θ

2 23

+θ

2

33

.

(b) : Densité de désinclinaisons coinθ

₃₃

le long d’un joint d’un grain. (c) : Variation

de la désorientation le long du joint de grain. (d) : Mesure scalaire de la densité

de dislocations ^qα

2

13

+α

2

23

, le vecteur de Burgers local associé à ces densités de

dislocations est représenté par les flèches sur (b). (e) : Densité de désinclinaisons

coin θ

₃₃

le long de joints de grains de faibles désorientations.

Cette nouvelle équation de continuité suggère l’existence d’interactions entre les

lignes de dislocations et les lignes de désinclinaisons vis [deWit,1970]. Plus

précisé-ment, les lignes de dislocations peuvent se terminer dans le cristal mais sur des lignes

de désinclinaisons. Les lignes de désinclinaisons ne peuvent pas elles se terminer dans

le cristal d’après1.79. Maintenant, nous allons réécrire le vecteur de Burgers et

mon-trer qu’il inclut une dépendance aux courbures et à la densité de désinclinaisons. En

connaissant le vecteur déplacement en un point r

₀

, on peut intégrer le long d’une

trajectoire la distorsion élastique pour connaître le vecteur déplacement en un point

r :

u

^e

(r) =u

^e

(r

₀

) +

Z

r r0

du

^e

(r) =u

^e

(r

₀

) +

Z

r r0

U

^e

(r)·dr. (1.92)

u

e

(r

₀

) est connu. La décomposition de la distorsion élastiqueU

e

en une déformation

élastiqueε

e

et en une rotation élastiqueω

e

(équation1.12) nous permet de réécrire

successivement l’équation 1.92 sous les formes :

u

^e

(r) = u

^e

(r

₀

) +

Z

r r0

(ε

^e

(r) +ω

^e

(r)) ·dr (1.93)

u

^e

(r) = u

^e

(r

₀

) +

Z

r r0

(ε

^e

(r)·dr+ω^~

e

(r)×dr) (1.94)

u

^e

(r) =u

^e

(r

₀

) +

Z

r r0

(ε

^e

(r)·dr+d(ω^~

e

(r)×r)−dω^~

e

(r)×r) (1.95)

u

^e

(r) =u

^e

(r

₀

) +ω^~

e

(r)×(r−r

₀

) +

Z

r r0

(ε

^e

(r)−(κ

^t_e

(r)×r)

^t

)·dr (1.96)

Lorsque l’intégrale ci-dessus est définie le long d’un circuit ferméC (r=r

₀

) qui

englobe des lignes de dislocations et de désinclinaisons, on obtient une discontinuité

de déplacement élastique :

[u

^e

] =b =

I

C

(ε

^e

(r)−(κ

^t_e

(r)×r)

^t

)·dr (1.97)

Soit de nouveau la surfaceS de vecteur normal n délimitée par la courbe fermée

C. Le théorème de Stokes appliqué à l’équation 1.97 permet finalement d’écrire :

b=

Z

S

(α−(θ

^t

×r)

^t

)·n dS (1.98)

On voit donc que les désinclinaisons ont une contribution non locale au

vec-teur de Burgers. Notamment, on peut montrer qu’un dipôle de désinclinaisons coins

donne un vecteur de Burgers équivalent à celui d’une dislocation coin. Nous

mon-trerons au chapitre 3 que cette non localité permet de formuler des lois d’élasticité

non locales pour décrire le comportement élastique des cœurs de dislocations et de

désinclinaisons. Pour terminer, nous réécrivons maintenant l’équation de transport

des densités de dislocations. La dérivée par rapport au temps de la relation 1.87

donne :

˙

qui s’écrit encore en fonction des mobilités des dislocations et des désinclinaisons :

˙

α=−rot(¹

2 ^(α×V

_α

+ (α×V

_α

)

^t

)) + (θ×V

_θ

)

^t

−tr(θ×V

_θ

)I. (1.100)

L’équation ci-dessus est de la forme :

˙

α=−rotε˙

_p

+S

_θ

. (1.101)

L’équation1.101 est l’équation de transport des densités de dislocations dans la

théorie des champs de dislocations et de désinclinaisons [Fressengeas,2011a].

L’équa-tion1.101 montre l’apparition d’un terme source de nucléation ou d’annihilation de

densités de dislocationsS

_θ

dû à la mobilité des désinclinaisons. Ainsi, le mouvement

des désinclinaisons engendre une nucléation ou une annihilation de dislocations.

Nous allons montrer plus loin dans ce chapitre l’importance de ce terme pour la

modélisation des mécanismes de migration des joints de grains [Taupin,2014]. On

pense aussi que ce terme permet de modéliser la nucléation de dislocation depuis

les joints de grains ainsi que l’absorption. Ce terme peut également participer à

la relaxation des champs de contraintes internes au voisinage des désinclinaisons

[Romanov,1992, Kleman,2008].

Dans le document Modélisation de l’interaction des coeurs de dislocations et des joints de grains (Page 60-64)