Lois d’élasticité, équilibre mécanique et champs élastiques dus

α=−rot(¹

2 ^(α×V

_α

+ (α×V

_α

)

^t

)) + (θ×V

_θ

)

^t

−tr(θ×V

_θ

)I. (1.100)

L’équation ci-dessus est de la forme :

˙

α=−rotε˙

_p

+S

_θ

. (1.101)

L’équation1.101 est l’équation de transport des densités de dislocations dans la

théorie des champs de dislocations et de désinclinaisons [Fressengeas,2011a].

L’équa-tion1.101 montre l’apparition d’un terme source de nucléation ou d’annihilation de

densités de dislocationsS

_θ

dû à la mobilité des désinclinaisons. Ainsi, le mouvement

des désinclinaisons engendre une nucléation ou une annihilation de dislocations.

Nous allons montrer plus loin dans ce chapitre l’importance de ce terme pour la

modélisation des mécanismes de migration des joints de grains [Taupin,2014]. On

pense aussi que ce terme permet de modéliser la nucléation de dislocation depuis

les joints de grains ainsi que l’absorption. Ce terme peut également participer à

la relaxation des champs de contraintes internes au voisinage des désinclinaisons

[Romanov,1992, Kleman,2008].

1.2.5 Lois d’élasticité, équilibre mécanique et champs

élas-tiques dus aux désinclinaisons

Comme nous considérons non seulement les déformations élastiques mais aussi

les courbures élastiques, nous prenons maintenant une densité d’énergie élastique

sous la forme :

ψ =ψ(

_e

,κ

_e

). (1.102)

Le volume est donc vu comme continu et capable de transmettre des contraintes

et des moments de contraintes même à l’échelle inter-atomique. En différentiant la

densité d’énergie, on peut identifier les tenseurs de contraintes et de moments de

contraintes avec les dérivées partielles de l’énergie :

˙

ψ = ^∂ψ

∂

_e

^{: ˙}

^e

⁺

∂ψ

A cause de la symétrie du tenseur des déformations élastiques, seule la partie

symétrique du tenseur des contraintes contribue à l’énergie. C’est le tenseur des

contraintes de Cauchy. Le tenseur des moments de contraintes est déviatorique car

la trace du tenseur des courbures est nulle. Ainsi, les lois constitutives peuvent

s’écrire [Upadhyay,2013] :

T

^sym

= C:

_e

+D:κ

_e

(1.104)

M

^dev

= A:κ

_e

+B:

_e

. (1.105)

A, B, Cet D sont des tenseurs d’élasticité. Alors que les modules C

_ijkl

etA

_ijkl

ont la dimension d’une contrainte et d’une contrainte multipliée par une longueur

au carré, les modules B

_ijkl

and D

_ijkl

ont la dimension d’une contrainte multipliée

par une longueur. Ainsi, les relations 1.104 et 1.105 impliquent des longueurs

in-ternes caractéristiques et ont un caractère non local. En effet, le tenseur D induit

des contraintes dues à une inhomogénéité de rotation sur une faible longueur alors

que le tenseur B induit des moments de contraintes dues à une inhomogénéité de

déformation également sur une faible longueur. Dans le cadre de l’élasticité isotrope

homogène et linéaire, une forme pour ces tenseurs d’élasticité a été récemment

pro-posée [Upadhyay,2013]. Un résultat important est que les tenseursB etDsont nuls

si on fait l’hypothèse de centrosymétrie. Ceci suggère que ces tenseurs sont non nuls

au niveau des défauts cristallins, là où la centrosymétrie cristalline est rompue. Nous

reviendrons sur ce point et sur les lois d’élasticité lors du chapitre 3. En l’absence

de forces de volumes et d’effets d’inerties, les équations d’équilibre mécanique sont :

div T = 0 (1.106)

div M

^dev

+ 2T^~ = 0. (1.107)

Ce sont des équations d’équilibre typiquement utilisées dans les milieux de

Cos-serat. Le tenseur des contraintes T contient une partie symétrique T

sym

qui est le

tenseur de Cauchy et une partie antisymétrique T

skew

. Cette dernière s’écrit

éga-lement sous forme de vecteur T^~ = −1/2T : X et permet d’équilibrer les moments

de contraintes. La partie antisymétrique T

skew

du tenseur des contraintes

n’inter-vient pas dans l’énergie et n’est pas constitutivement spécifiée. La résolution des

équations d’équilibre 1.106 et 1.107 fait intervenir les tenseurs de déformation et

de courbure totales. Ces deux tenseurs sont compatibles et dérivent du

déplace-ment matériel. Le vecteur déplacedéplace-ment matériel fournit donc trois degrés de liberté

indépendants pour résoudre six équations. Il manque donc trois degrés de liberté

[Shu,1999]. En se basant sur les travaux de Mindlin et Tiersten [Mindlin,1962], les

trois degrés de liberté nécessaires sont les composantes du vecteur contraintesT^~.

Au-trement dit, les composantes antisymétriques du tenseur des contraintes sont non

nulles lorsque la divergence du tenseur des moments de contraintes est non nulle

et servent donc à compenser ce déséquilibre [Hadjesfandiari,2011]. En prenant le

rotationnel de l’équation 1.107 et en éliminant T

^skew

dans l’équation 1.106, cette

dernière peut être réécrite comme une seule équation d’ordre supérieur :

div T=div T

^sym

+div T

^skew

=div T

^sym

+¹

2^{curl div M}

dev

=0, (1.108)

En termes de déformations et de courbures élastiques, on a :

div(C:e+D:κe) + ¹

2^{curl div(A :κe+B:e) = 0. (1.109)}

En utilisant finalement la décomposition de Stokes Helmholtz pour les

déforma-tions et les courbures, on obtient l’équation :

div(C: (

^k_e

+

^⊥_e

) +D: (κ

^k_e

+κ

^⊥_e

)) +¹

2^{curl div(A: (κ}

k

e

+κ

^⊥_e

) +B : (

^k_e

+

^⊥_e

)) =0,

(1.110)

où l’inconnue est le vecteur déplacement qui intervient dans les déformations et

courbures élastiques compatibles. Les courbures et les déformations élastiques

in-compatibles proviennent d’une distribution de densités de dislocationsαet de

dés-inclinaisonsθ non nulle. Enfin, dans un contexte dynamique, l’équation d’équilibre

1.109 peut aussi être écrite en remplaçant

_e

par (−

_p

) et κ

_e

par (κ−κ

_p

).

Ini-tialement, les déformations et les courbures plastiques sont purement incompatibles

et sont égales à l’opposé des parties élastiques. Les déformations et les courbures

plastiques évoluent ensuite avec le mouvement des densités de défauts. La figure1.8

montre le champ de contrainte et de moment de contrainte d’un dipôle de

désin-clinaison coin [Taupin,2013]. On retrouve bien un champ de contrainte proche de

celui d’une dislocation coin. En revanche, les moments de contraintes sont différents

car les courbures élastiques ne sont pas les mêmes et sont notamment incompatibles

alors qu’elles sont compatibles pour une dislocation.

Figure ^{1.8 – Champs élastiques induits par un dipôle de désinclinaisons coins}

[Taupin,2013]. La densité de dislocation est nulle. Le dipôle est constitué de densités

de désinclinaisons coinsθ

₃₃

négative (bleu) et positive (rouge). Les contours en noir

et blanc sur la figure de gauche montrent le champ de contrainte de tractionT

₁₁

(P a).

Les contours en noir et blanc sur la figure de droite montrent le champ de moment

contrainte de flexionM

₃₁

(P a.m).

Dans le document Modélisation de l’interaction des coeurs de dislocations et des joints de grains (Page 64-67)