Modèle de la mesure d’accélération

La mesure d’accélération est un vecteur, noté as = as[x], as[y], as[z]

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, fourni par l’accéléromètre du terminal mobile. Ses composantes représentent les accélérations mesurées sur chaque axe du repère S. Ce vecteur peut se décomposer sous la forme générale [154] :

as= K(as_true− gs_{) + b}s acc+ η

s

acc, (4.1)

où as

true est l’accélération propre au mobile due à la force spécifique, gsla contribution de la force de pesanteur

appelée également vecteur de gravité, K une matrice carrée qui prend en compte les paramètres intrinsèques de facteurs d’échelle et de défauts d’alignement des axes23 _{de l’accéléromètre, b}s

acc le vecteur représentant les

paramètres intrinsèques de biais et ηs

accun bruit affectant la mesure d’accélération. Nous expliquons dans la suite

la caractérisation du bruit pour le signal issu d’un capteur inertiel.  Caractérisation du bruit :

Le bruit ηsacc affecte la mesure d’accélération et des travaux existants s’intéressent à la caractérisation de ce

bruit [155, 156]. La norme IEEE recommande d’utiliser la Variance d’Allan pour l’estimation de la caractéri- sation du bruit pour un capteur [155]. Cet outil statistique permet non seulement de quantifier l’erreur sur les mesures mais aussi de différencier tous les types de bruits (bruit de marche aléatoire de fréquence, bruit de scin- tillation de fréquence, bruit blanc de fréquence, bruit de scintillation de phase et bruit blanc de phase) affectant les mesures [155]. On trouve quatre modèles souvent utilisé pour le bruit [156] : modèle aléatoire constant, modèle de marche aléatoire, modèle Gauss-Markov et modèle auto-régressive. Pour ce travail de thèse, nous supposons - sans calculer la Variance d’Allan - que le bruit est représenté par le modèle de marche aléatoire où le bruit est considéré gaussien de moyenne nulle et d’écart type σηacc.

L’expression vectorielle du vecteur de gravité est connue dans le repère de navigation N (voir l’annexe A.1 pour la différence avec le repère S). En utilisant l’exposant {.}n _{pour indiquer une écriture dans le repère N , le} 23. Les défauts d’alignement peuvent être exprimés de deux manières : en degré ou en pourcentage. Une valeur en degré signifie l’angle d’alignement de l’axe par rapport à sa position idéale. La valeur en pourcentage ou un réel dans l’intervalle [0, 1] représente le sinus d’angle entre l’axe et sa position idéale.

4.1. Accéléromètre 65 vecteur de gravité s’écrit :

gn=0 0 −g> (4.2)

où g représente la force de pesanteur qui varie entre 9.78 et 9.83 m/s2_{selon l’altitude et a pour valeur convention-}

nelle g = 9.80665 m/s2_{. En utilisant ce modèle de la mesure d’accéléromètre, l’objectif de la phase de calibration}

de l’accéléromètre est de déterminer des estimateurs de la matrice K et du vecteur bs_acc. Dans la suite nous utili- sons l’exposant ˆ{.} pour désigner un paramètre intrinsèque estimé à partir d’une phase de calibration. Par exemple, la matrice ˆK et le vecteur ˆbsaccreprésente, respectivement, les estimations de la matrice K et du vecteur b

s accà

partir d’une phase de calibration. La mesure d’accélération calibrée, que nous noterons as_calib, s’écrit :

as_calib= ˆK−1(as− ˆbs_acc) (4.3)

En injectant l’éqn. (4.1) dans (4.3), on trouve :

as_calib= as_true− gs_{+ η}s

acc (4.4)

En utilisant l’accélération calibrée, le système NPE nécessite l’estimation du vecteur de gravité lors de l’estimation de l’orientation de déplacement (voir Paragraphe 5.3.2.2). Nous expliquons dans la suite l’approche d’estimation du vecteur gs_.

 Estimation du vecteur de gravité gs:

Selon le modèle de la mesure d’accélération, le vecteur gss’écrit : gs= K−1(bs_acc+ ηs_acc− as_{) + a}s

true (4.5)

Nous supposons que l’effet de bruit ηs

accest négligeable en présence de la composante d’accélération as. L’éqn (4.5)

devient :

gs= K−1(bs_acc− as_{) + a}s

true (4.6)

En combinant les éqn. (4.6) et (4.4), on trouve : as calib= a s true− gs ⇔ gs_{= a}s true− ascalib (4.7)

Puisque l’accélération de l’utilisateur, as

true, varie selon la nature de mouvement, nous définissons l’accélération

statique, as

static, avec :

as

static= ascalib− astrue (4.7)

⇐⇒ gs_{= −a}s

static (4.8)

Dans la suite, nous considérons deux configurations : période sans mouvement (astrue = 0) et avec mouve-

ment (astrue 6= 0). En période statique (i.e. sans mouvement), l’accélération due à la force spécifique est nulle

(astrue = 0) et l’éqn (4.7) donne :

gs= −ascalib (4.9)

En période de mouvement, l’accélération due à la force spécifique est variable selon les mouvements du corps et l’extraction du vecteur de gravité devient plus difficile. Sachant que la quantité gsest présente en permanence dans l’accélération calibrée, nous proposons d’appliquer un filtre exponentiel passe-bas à la kème_{itération, avec :}

gs[k] = α1gs[k − 1] − (1 − α1)ascalib[k], (4.10)

où le facteur empirique α1possède une valeur comprise entre 0 et 1.

En résumé, le vecteur de gravité gs_{s’écrit :}

avec αg=

 0 terminal est statique

α1 sinon

Le fonctionnement d’un capteur inertiel est affecté par des effets environnementaux, comme l’effet thermique, mécanique ou électrique [157], ce qui impacte la mesure fournie par le capteur inertiel. Cet impact se traduit par des changements dans les paramètres intrinsèques et le bruit [158]. Nous nous intéressons dans la suite à l’effet thermique, que nous jugeons le plus important dans le contexte des capteurs inertiels d’un smartphone ou d’une tablette.

 Effet de l’environnement sur les mesures d’un capteur inertiel :

Dans [158], une étude d’évaluation de changement de température de −30◦C à 70◦C avec un pas de 5◦C pour deux accéléromètre 3D - commercialisés par deux constructeurs différents, supportant cette plage de variation de température. En mettant les capteurs en position statique, cette expérience a montré que les valeurs estimées des paramètres intrinsèques sur chaque axe du capteur sont corrélées avec le changement de la température. De plus, les variations des valeurs estimées sont plus accrues sur les paramètres intrinsèques de biais et elle sont différentes sur les trois axes et d’un capteur à l’autre sur chaque axe. La variation la plus élevée obtenue sur le paramètre intrinsèque de biais atteint une valeur de 0.3 m.s−2avec le premier le capteur industriel et 0.05 m.s−2avec l’autre capteur industriel. Des observations similaires sont également retrouvées dans d’autres travaux comme [159, 160]. Dans [30], cette problématique est évoquée pour les capteurs inertiels embarqués dans un smartphone. Sous l’hy- pothèse que l’impact principal sur les mesures des capteurs inertiels se trouve sur les paramètres intrinsèques de biais, KOSet al. [30] effectue un changement brusque de la température, à laquelle un smartphone est soumis, de 8◦C à 21◦C. Il note une fluctuation aléatoire sur les valeurs estimées des paramètres intrinsèques de biais sur une durée d’enregistrement de 30 minutes après le changement de température. De plus, il a fallu une heure à tempé- rature constante pour retrouver des valeurs estimées stables pour les paramètres intrinsèques de biais [30].

Nous expliquons dans le paragraphe suivant les méthodes existantes de calibration des accéléromètres.