méthode a été détaillée en évoquant la problématique de choix de la forme de K et le nombre de mesures à utiliser ainsi que le choix des orientations. Nous continuons par la suite avec l’explication des modélisations des mesure des autres capteurs, magnétomètre et gyroscope, ainsi que leurs méthodes de calibration.
4.2
Magnétomètre
Dans le contexte NPE, le magnétomètre, appelé également compas magnétique, est exploité afin d’estimer la direction du vecteur de champ magnétique terrestre. Ce vecteur directionnel est ensuite utilisé dans l’estimation de l’orientation du terminal mobile par rapport au nord magnétique. Néanmoins, le magnétomètre fournit la quantité de champ magnétique vrai qui est une résultante de la somme des champs magnétiques terrestre et local ; voir Figure 4.6. Le champ magnétique local est le champ magnétique ayant une norme constante et une orientation
FIGURE4.6 – Représentation vectoriel des champs magnétiques vrai, terrestre et local
fixe sur la zone de mesure ; par exemple le vecteur de champ magnétique local est un vecteur nul en milieu extérieur mais il est présent en milieu intérieur et dépendant de la zone de mesure. Le magnétomètre ne peut donc qu’extraire la direction du vecteur champ magnétique vrai. Comme le cas des accéléromètres, la quantité mesurée par le magnétomètre est affectée par des paramètres intrinsèques.
Nous expliquons dans cette section la modélisation de la mesure de champ magnétique et nous détaillons, ensuite, les procédures de calibration existantes.
4.2.1
Modèle de mesure d’un magnétomètre
Notons msla mesure de champ magnétique avec ms=m[x], m[y], m[z]
>
où m[x], m[y] et m[z] repré- sentent les quantités mesurées sur les axes Xs, Yset Zs, respectivement, du terminal mobile ; voir Figure 4.1. Le
modèle d’une mesure de champ magnétique est donné par [170] :
ms= Hmstrue+ bsm+ ηsm (4.25)
avec ms
truele vrai champ magnétique, H une matrice carrée qui prend en compte les paramètres intrinsèques de
facteurs d’échelleet de défauts d’alignement des axes du magnétomètre, bsmun vecteur représentant les paramètres
intrinsèques de biais du magnétomètre et ηsmun bruit qu’on considère - comme le cas de l’accéléromètre - gaussien
de moyenne nulle et d’écart type σηm. Pour la suite, nous supposons que la matrice H est inversible. Selon (4.25), le vecteur mstrues’écrit en moyenne :
mstrue= H−1(ms− bms) (4.26)
Nous avons vu dans le Paragraphe 4.1.1 que les mesures des capteurs inertiels sont affectées par des effets envi- ronnementaux. Ce constat s’applique également pour le magnétomètre. En outre, la mesure de champ magnétique est sensible à la présence des éléments perturbateurs du champ magnétique, passifs ou actifs, à proximité, comme une perceuse mécanique ou un radiateur électrique [171]. Ces perturbations magnétiques sont dues à la présence de deux phénomènes qui sont connus sous les noms de "fer dur", de l’anglais Hard Iron, et de "fer doux", de l’anglais Soft Iron. Les mesures issues d’un magnétomètre, dans le cas idéal, pour une position statique, présente une norme constante de champ magnétique. L’opération qui consiste à tourner le terminal de 360◦ autour de son centre de gravité sur plan fournit un cercle représentant la norme constante de champ magnétique ; voir Figure 4.7-a. Les
(a) Mesures parfaites (b) Effet fer dur (c) Effet de fer doux
FIGURE4.7 – Impact de présence des effets de fer dur et doux sur des mesures de la norme de champ magnétique
figures 4.7-b et 4.7-c montrent l’effet de présence des fers dur et doux, respectivement, sur les mesures idéales de la norme du champ magnétique. Nous expliquons en dessous chaque phénomène et l’auteur intéressé peut trouver d’autres détails sur ces phénomènes dans ces références [172, 173, 170].
Fer dur :
Le phénomène de fer dur provient de la présence des composantes électromagnétiques fixes au voisinage du cap- teur. Par exemple, les vis ou les écrous constitués de matériaux ferromagnétiques ou les composants électroniques présents sur le circuit imprimé du capteur inertiel. Ces composants affectent le vrai champ magnétique d’une ma- nière constante indépendamment de la direction de vecteur. Il se traduit ainsi sous forme d’un biais supplémentaire additif sur les mesures de champ magnétique.
Fer doux :
Le phénomène de fer doux est dû à la présence de sources magnétiques ou électromagnétiques dans l’environ- nement où le capteur se trouve. Plus précisément, il est généré par les matériaux de forte perméabilité, comme le Nickel ou le Fer, qui sont largement présents dans des objets ou des structures, comme les portes, ameublement métallique ou les radiateurs électriques. Son impact est d’ailleurs variable selon l’orientation du capteur par rapport à ces sources et il n’est pas additif comme le cas du fer dur [174]. En effet, le champ magnétique passe à travers l’air et la présence de ces matériaux, qui représentent un meilleur conducteur de champ magnétique par rapport à l’air, dévie le sens de propagation du champ magnétique [175]. Ce phénomène altère la contribution du champ magnétique existant sur les axes du capteur [173].
Nous nous intéressons dans la suite à la phase de calibration du magnétomètre.
4.2.2
Calibration du magnétomètre
L’approche d’estimation du vecteur bsmet de la matrice H résulte d’une opération de calibration à travers un ensemble de mesures de champ magnétique effectuées pour la même position, sous l’hypothèse que l’amplitude de champ magnétique demeure constante et que l’effet de fer doux est négligeable sur les mesures de champ ma- gnétique. Il existe deux méthodes de calibration des magnétomètres : par rotation sur un plan, appelée également swinging[176], et par rotation dans un volume, appelée ellipsoïde fitting [177, 178, 179, 180]. En NPE, nous re- marquons que les estimations de la matrice H sont affectées par des facteurs multiplicatifs qui sont différents d’un capteur à un autre ou d’une méthode de calibration à une autre. En effet, le système NPE requiert la direction du vecteur mstrue, notée esmtrue =
ms true kms
truek, lors de l’estimation de l’orientation du terminal mobile. En conséquence (la propriété 1), une version pondérée de la matrice H par un coefficient strictement positif c ∈ R∗+permet tou-
jours de retrouver le vecteur emtrue. Nous en déduisons que le résultat d’une version pondérée, par un coefficient strictement positif, de la matrice H ne perturbe pas le fonctionnement de NPE.
4.2. Magnétomètre 73 Propriété 1. Une version pondérée de la matrice H par un coefficient strictement positif c ∈ R∗+permet toujours
de retrouver le vecteuremtrue.
Preuve. Soit c un coefficient avec c ∈ R∗+et posonsH1= cH. le vecteur directionnel emtrues’écrit : emtrue= ms true kms truek (4.26) ⇐⇒ = H−1(ms−bms) kH−1(ms−bms)k ⇐⇒ = 1cH −1(ms−b ms) 1 ckH −1(ms−bms)k c>0 ⇐⇒ = (cH)−1(ms−bms) k(cH)−1(ms−b ms)k emtrue = H−11 (ms−bms) kH−11 (ms−bms)k (4.27)
L’éqn. (4.27) montre le vecteuremtrue peut être obtenu en remplaçantH dans (4.26) par une version pondérée avec un coefficient strictement positif. Nous retrouvons ainsi le résultat de la proposition
De plus, les mesures de champ magnétique pour la calibration peuvent être affectées par les effets fer dur et fer doux. Selon la définition de l’effet de fer dur, il s’agit d’un effet similaire à une présence d’un autre biais sur les mesures. Une calibration du magnétomètre ne peut pas ainsi distinguer entre les deux effets et accumule leurs contributions en un seul paramètre intrinsèque de biais. Par contre, l’effet de fer doux déforme la matrice H [173] et doit être compensé à part. Nous expliquons le comportement de chaque méthode de calibration face à la présence de l’effet fer doux. Dans la suite de cette sous-section, toutes les vecteurs utilisés sont exprimés dans le repère S, mais nous faisons abstraction de l’exposant {.}safin d’alléger les écritures.
4.2.2.1 Méthode swinging
Durant l’approche swinging, le terminal est mis à plat sur un plan parallèle à la surface de la terre et il est tourné par rapport à l’axe du orthogonal au plan utilisé ; voir Figure 4.8. Cette approche détermine les paramètres
FIGURE4.8 – Application de la calibration swinging pour le plan (Xs, Ys)
intrinsèques de facteurs d’échelle et de biais des deux axes, auxquels, du capteur, le plan de calibration est paral- lèle. Soit Xset Ysles deux axes du capteur concernés par la calibration, la variation du champ magnétique sur la
composante Z doit être nulle et les mesures de champ magnétique forment ainsi une ellipse dans le plan (XsYs).
Cette méthode a été proposée initialement par CARUSO[176] pour des magnétomètres en absence de source de fers dur et doux et, ainsi, la norme de champ magnétique mesuré sur les axes Xset Ysreste constante.
Il existe deux méthodologies d’application selon la connaissance ou non des valeurs d’azimut pour les mesures enregistrées. Avec la connaissance des valeurs d’azimut, la méthode swinging enregistre un ensemble de mesures et compare l’azimut de chaque mesure avec sa valeur connue afin d’estimer les paramètres intrinsèques du cap- teur [172]. Par contre, sans connaitre l’azimut, on exécute une rotation de 360◦du terminal sur un plan parallèle à la surface de la terre et les mesures de champ magnétique forment une ellipse [176]. Nous expliquons dans la suite les détails du calcul par swinging sans connaissance de valeurs d’azimut lors des mesures.
Cette méthode suppose que les axes du capteur sont parfaitement orthogonaux. Autrement dit, la matrice de facteur d’échelle vaut H = diag(Hx, Hy, Hz). La valeur vraie de champ magnétique mtrue, dans (4.26), sur l’axe Xs
s’écrit :
mtrue[x] =
m[x] − bm[x]
Les paramètres intrinsèques de facteurs d’échelle et de biais estimés par l’approche de calibration swinging valent (voir Annexe E.1) :
ˆ
Hx= min(1,
δx
δy) & ˆHy= min(1, δy δx). (4.28) et ˆ bm(x) = maxmx+ minmx 2 & ˆbm(y) = maxmy+ minmy 2 , (4.29)
où δx = maxmx− minmx et δy = maxmy− minmy sont, respectivement, les plages de variation de champ
magnétique mesuré sur les axes Xset Yset maxmx, minmx, maxmyet minmysont les valeurs extrêmes de champ
magnétique mesuré sur chaque axe du plan de rotation.
À l’intérieur des bâtiments, les mesures de champ magnétique pour la calibration peuvent être affectées par l’effet de fer doux. Nous discutions, dans la suite, l’impact de cet effet sur la procédure de calibration avec la méthode swinging.
Présence de sources de perturbation magnétique à proximité :
L’approche précédente de calibration par la méthode swinging ne tient pas compte de la présence des effets de fer doux. Puisque l’effet de fer doux, causé par la présence de sources de perturbation magnétique, déforme la matrice H, la Figure 4.9-a illustre un exemple de cette déformation sur les mesures de champ magnétique enregistrées
(a) Estimation du point P1 = (x∗, y∗) et θdev
(b) Compensation de fer doux
FIGURE4.9 – Compensation de l’effet de présence de sources locales (fer doux) avec calibration par la méthode swinging
par rotation sur un plan de calibration. Comme solution, KONAVALIN[173] propose de trouver le point P1 de
coordonnées (x∗, y∗) ayant la plus grande amplitude de champ magnétique et déterminer l’angle de déviation θdev = arctan(y
∗
x∗) ; voir fig 4.9-a. Ensuite, toutes les mesures de calibration sont multipliées par une matrice de rotation avec l’angle θdevafin d’aboutir à une ellipse dont les axes majeur et mineur sont alignés avec les axes X
et Y ; voir fig 4.9-b. Finalement, l’éqn. (4.28) peut être appliquée aux mesures de champ magnétique compensées afin d’estimer la matrice H.
Nous expliquons dans la suite une autre méthode existante de calibration des magnétomètres. Cette méthode ne se limite pas à des mesures sur plan. Elle extrait les paramètres intrinsèques du capteur à partir d’un ensemble de mesures réparties dans l’espace.
4.2.2.2 Ellipsoïde fitting
La méthode ellipsoïde fitting suppose que les mesures de champ magnétique possèdent la même norme, dont la valeur est kmtruek, après calibration et qu’elles se trouvent sur la surface d’un ellipsoïde [170, 177, 174].
La méthode ellipsoïde fitting cherche à déterminer les paramètres de cette ellipsoïde, corrélés aux paramètres intrinsèques du capteur, qui minimisent l’écart entre l’ensemble des mesures et l’ellipsoïde. L’objectif est donc de vérifier cette propriété pour toutes les mesures enregistrées :
4.2. Magnétomètre 75 avec Hm la norme du vecteur de champ magnétique vrai, supposée connue (vers la fin de ce paragraphe nous
traiterons le cas où la valeur Hmest inconnue).
En réinjectant l’éqn. (4.26) dans l’éqn. (4.30), on obtient :
kH−1(m − bm)k2− Hm2 = 0 (4.31)
⇔ [H−1(m − bm)]>H−1(m − bm) − Hm2 = 0
⇔ (m>− bm>)H−>H−1(m − bm) − Hm2 = 0
⇔ m>H−>H−1m − bm>H−>H−1m − m>H−>H−1bm+ bm>H−>H−1bm− Hm2 = 0
⇔ m>H−>H−1m − 2m>H−>H−1bm+ bm>H−>H−1bm− Hm2 = 0 (4.32)
En utilisant l’éqn (4.32), le problème de minimisation s’écrit : ( ˆH, ˆbm) = arg min
H,bm
m>H−>H−1m − 2m>H−>H−1bm+ bm>H−>H−1bm− Hm2 (4.33)
La résolution du problème de minimisation (4.33) est effectuée avec une approche de résolution de type : maximum vraisemblance [178], moindres carrés linéaires [177], moindres carrés non-linéaires [163], et heuristiques [180]. Nous détaillons dans l’Annexe E.2 une méthodologie de résolution, simple à implémenter, par moindres carrés linéaires, proposées dans [177]. En effet, cette méthodologie de résolution propose un changement de variable suivant : Q = H−>H−1et u = −2H−>H−1bm= −2Qbm. La résolution par moindres carrés linéaires ; voir
l’Annexe E.2, détermine des estimateurs de Q et bm, notés ˆQ et ˆbm. Un estimateur du vecteur bms’écrit :
ˆ bm= − 1 2 ˆ Q−1u.ˆ (4.34)
Afin de déterminer un estimateur de la matrice H, il faut résoudre Q = H−>H−1en utilisant Q = ˆQ. Une approche courante est d’utiliser la décomposition en valeurs propres de la matrice ˆQ :
ˆ
Q = L>DL (4.35)
avec L est une matrice orthogonale (L> = L−1), dont les colonnes sont les vecteurs propres de ˆQ, et D une matrice diagonale composée des valeurs propres de ˆQ. Un estimateur de la matrice H vaut :
ˆ
H = L>√DL−1
. (4.36)
Cas de valeur Hminconnue :
La valeur de Hmest variable à cause de la quantité inconnue de champ magnétique local et de la variabilité de
champ magnétique terrestre sur la surface du globe. Pour remédier à cette contrainte, nous cherchons à estimer une version pondérée de la matrice de facteur d’échelle par un coefficient c strictement positif et ceci ne change pas l’estimation du vecteur directionnel emtrue; voir la propriété 1. Sachant que Hm> 0, nous récrivons l’éqn. (4.31) :
kH−1(m − bm)k2− Hm2 = 0 ⇔ 1 H2 m kH−1(m − bm)k2− 1 H2 m Hm2 = 0 H2 m>0 ⇐⇒ k 1 Hm H−1(m − bm)k2− 1 = 0 ⇔ k(HmH | {z } H∗ )−1(m − bm)k2− Hm∗ 2 = 0
avec H∗ est une version pondérée de la matrice H par H1
m et H
∗
m = 1. On retrouve la même forme que dans
l’éqn. (4.31) en remplaçant H par H∗ et Hmpar Hm∗ avec Hm∗ = 1. Nous pouvons donc appliquer les calculs
(de l’éqn. (4.31) jusqu’à l’écriture du problème de minimisation (4.33)) afin d’obtenir le même vecteur ˆbmet une
Présence de sources de perturbation magnétique à proximité :
La méthode précédente ne prends pas en compte la présence de l’effet de fer doux lors de la phase de calibration. Les travaux existants, qui prennent en compte l’effet de fer doux, modifient le modèle 4.25 en remplaçant H par HsiH avec Hsiune matrice exprimant l’effet de fer doux [170]. Cependant, l’approche de résolution considère
un changement de variable A = HsiH et détermine un estimateur de A [170]. Ce raisonnement permet d’esti-
mer une matrice qui combine l’effet de fer doux et les paramètres intrinsèques estimés de facteurs d’échelle et de défauts d’alignement.
Dans notre étude expérimentale (c.f. Section 4.4), nous appliquerons la méthode de calibration ellipsoïde fit- tingdans des endroits où on suppose que l’effet fer doux est absent. Nous comparons également, dans la Sous- section 4.4.3 dédiée aux études expérimentales, les résultats de calibration par les deux méthodes swinging et ellipsoïde fitting.
Conclusion
Dans cette section, nous avons expliqué le modèle d’une mesure de champ magnétique. Nous avons évoqué, ensuite, les méthodes de calibration existantes qui se basent sur l’hypothèse de norme constante du champ magné- tique vrai pour les mesures enregistrées lors de la phase de calibration. Nous avons remarqué que chaque méthode estime une version pondérée de la matrice K. Ce résultat n’affecte pas l’extraction du vecteur directionnel emtrue qui est employé par NPE afin d’estimer l’orientation de déplacement. Nous continuons par la suite avec l’explica- tion de la modélisation de la mesure du capteur gyroscope ainsi que ses méthodes de calibration.