Modèle de calcul thermodynamique du gaz dans le puits

Annexe C Développement analytique du modèle

2. Modèle de calcul thermodynamique du gaz dans le puits

Dans cette section, le modèle thermodynamique du calcul de l’écoulement du gaz dans le puits est discuté. On cherche à calculer l’évolution des principaux paramètres thermodynamiques dont la température, la pression et le débit du gaz lors de l’écoulement à très grande vitesse (pendant l’éruption) dans le puits.

2.1. Principales hypothèses

2.1.1. Le puits

Le diamètre du puits, ,D est supposé être constant sur toute sa longueur, raison pour laquelle l’aire de

la section transversale du puits, _{ }__D2 _4,_{est aussi constante.}

2.1.2. Ecoulement adiabatique

Pendant l’éruption, la température du gaz diminue dans la cavité et dans le puits, avec des conséquences possibles non négligeables pour la stabilité du puits. Le cuvelage en acier, le ciment et la roche à proximité du puits subissent de grandes variations de température et la contraction thermique engendre des contraintes de traction. Inversement, la quantité de chaleur transférée de la masse rocheuse au gaz n'aura pas d’impact significatif sur la température du gaz lorsque le débit de gaz est extrêmement rapide. Le transfert de chaleur provenant de la masse rocheuse peut donc être négligé, au moins dans la plupart des cas, et l’écoulement du gaz dans le puits est alors considéré comme adiabatique.

2.1.3. Ecoulement turbulent

Au moins pendant les premières heures ou jours après le début de l'éruption, le débit de gaz est très rapide et l’écoulement est turbulent. Les effets du frottement sont confinés à une couche limite mince à la paroi du cuvelage en acier. La vitesse moyenne du gaz est uniforme dans toute la section transversale (sauf évidemment dans la couche limite). La température, la pression ou le volume spécifique du gaz sont des fonctions du temps et de la profondeur z (z au toit de la cavité ou au sabot du cuvelage, et 0

z H en tête de puits).

2.1.4. Ecoulement stationnaire

Le débit de gaz dans le puits est typiquement de quelques centaines de mètres par seconde32_{. En d'autres} termes, seules quelques secondes sont nécessaires au gaz pour se déplacer du toit de la cavité jusqu’à la tête du puits (en surface). Ce laps de temps est insuffisant pour que la pression et la température de la cavité changent de manière significative. L’état de l’écoulement est donc supposé stationnaire et, pour simplifier, la température du gaz, la vitesse du gaz, etc. seront notées T T z

 

,u u z

 

33_{, etc.} Ces hypothèses, qui font partie du modèle "d’écoulement de Fanno" ou "Fanno flow", sont communément acceptées par Vogel et Marx (1985), bien que Ma et al. (2011), supposent un écoulement isotherme dans le puits.

32_{Plus, pour le cas de l'hydrogène.}

Chapitre 3. Application du modèle thermodynamique à un cas extrême : l’éruption en cavité saline

2.2. Expressions analytiques

En plus de l’équation d’état et du potentiel thermodynamique du gaz stocké, le flux de gaz peut être décrit par le système d'équations suivant :

0 2 ( ) ( ) ( ) _p ( ) V u z z v z z          (3.6) 0 dh du u g dz  dz  (3.7)

 

dP du u g f u dz dz      (3.8) 0 dS u dz  (3.9)

 L’équation (3.6) est l’équation de conservation de la masse, où u et v définissent respectivement la vitesse et le volume massique du gaz, et u z v z

   

, débit massique par unité de surface, est une constante le long du puits.  est l’aire de la section transversale du _p puits et le volume de la cavité V est supposé constant. ₀

 L’équation (3.7) est l’équation de l’énergie où g est l’accélération de la pesanteur et h est l’enthalpie du gaz.

 L’équation (3.8) est l’équation de la quantité de mouvement. Les pertes de charges par unité de longueur sont décrites par f u

 

 , où 0 f  f u D



, , ...



est une fonction de la vitesse du gaz u , du diamètre du conduit D , de la rugosité de la paroi interne du puits  , etc…

 L’équation (3.9) est la condition de positivité de la variation de l’entropie S qui joue un rôle majeur dans le modèle d’écoulement de Fanno.

2.3. Conditions aux limites et écoulement subsonique

Les équations (3.6) à (3.8) ajoutées aux conditions à la limite permettent de calculer la pression et la température du gaz dans le puits. La pression et la température dans la cavité



P_c P z(  et 0)



( 0)

T T z sont supposées connues à tout instant et constantes tant qu’on décrit l’écoulement pendant des durées pas trop longues. En principe, la pression du gaz en tête de puits, P devrait être _wh

atmosphérique : P_wh P_atm.

Toutefois, cette condition à la limite ne peut pas toujours être satisfaite. On sait que





dh S P TdSdP ; par conséquent, _{dh S}



_,_



__{TdS c d}_ 2 _{ } _{, où}_{c est la vitesse du son}34_{. Lorsque} la gravité est négligée dans l’écoulement du gaz, dh udu  , et 0 _TdS_₍_c2__{u d }2₎ _{. Toutefois, le}

signe de dS ne doit pas changer le long de l’écoulement [équation (3.9)] ; en d'autres termes, lorsque

Chapitre 3. Application du modèle thermodynamique à un cas extrême : l’éruption en cavité saline

l'écoulement du gaz est subsonique au toit de la cavité



z0



soit



u_c c_c



, il doit demeurer subsonique dans le puits



u z

   

c z



sauf peut-être au niveau du sol



z H



Si l'application de la condition à la limite P_wh P_atmconduit à une solution telle que l’écoulement du gaz est supersonique dans une partie du puits (cela peut se produire lorsque la pression dans la cavité est suffisamment élevée), une autre solution doit donc être choisie35_{. Cette solution est construite de telle} sorte que u_wh c_wh. L'écoulement, qui est sonique au niveau du sol, est dit “de Fanno”. Dans un tel cas, aucune condition n'est appliquée à la pression du gaz en tête de puits ou P , qui, en général, est _wh

supérieure à la pression atmosphérique. Inversement, lorsque la pression dans la cavité est relativement faible, l'écoulement de gaz est dit "normal" : même au niveau du sol, la vitesse du gaz est plus lente que la vitesse du son, et la condition à la limite P_wh P_atm s'applique.

2.4. Simplifications

La version simplifiée suivante de cet ensemble d'équations permet d’obtenir une solution analytique.

Force de pesanteur

La force de pesanteur est négligée, g dans un premier temps. Cependant, le cas où 0, g est discuté 0 en section 6. Il est montré que dans la pratique, cette hypothèse ne conduit pas à des différences significatives.

L’équation de Colebrook

Notre principal intérêt réside dans les vitesses moyennes de gaz supérieures à u1 m s36_{. La viscosité} de l’air est de ___{1,3 10 m s}5 2 _{, le diamètre du puits}_D__{0, 2 m,}_{et en règle générale, le nombre de}

Reynolds



ReuD



est plus grand. Dans ce contexte, les pertes de charge peuvent être approximativement écrites _{f u}

 

__Fu2_,_où _F_ _f ₂_D_{est le coefficient de frottement et f est le}

facteur de frottement. En particulier, au début d'une éruption, lorsque la vitesse du gaz est élevée et le nombre de Reynolds très grand, l'équation de Colebrook qui lie f et D s'écrit :

10 1 2log 3,71D f      _ _    (3.10)

Où  est la rugosité du puits (0,02 mm est une valeur classique).

Équation d'état du gaz

L’équation d’état du gaz P P



,T



peut être simplifiée comme indiqué dans les deux cas suivants :  Dans le premier, le gaz (typiquement, du gaz naturel ou de l'air) est considéré comme idéal c'est-

à-dire que son équation d'état est P rT, r C _pC_v, C C_p _v, et son enthalpie peut être écrite h C T _p , où la chaleur spécifique du gaz à pression constante C est constante. _p

35_{Landau et Lifschitz, (1971), paragraphe 91.} 36_{Et jusqu'à plusieurs centaines de}_{m s.}

Chapitre 3. Application du modèle thermodynamique à un cas extrême : l’éruption en cavité saline  Dans le second, le gaz (typiquement, de l'hydrogène) est de van der Waals c’est-à-dire que son

équation d'état est :





2 _–

P a  RT  b (3.11)

où , a b sont deux constantes. Si sa chaleur spécifique à volume constant C est constante, les _v

formules de Schwartz donnent cette expression de son enthalpie en fonction de  et T :





h C T  arT b (3.12) Les propriétés des gaz utilisées dans ce chapitre sont présentées dans le Tableau 3.137_ci-dessous.

Tableau 3.1. Propriétés des gaz.

Gaz Cp J kg K





Cv J kg K







 

- M



g mol







3 2 J.m kg a _b_{m kg}





Air 1 010 719 1,402 28,95   CH4 2 237 1 714 1,305 16,043   H2 14 831 10 714 1,384 2,016 6 092 0,013

2.5. Evaluation du modèle thermodynamique du puits

Le but de ce chapitre est de donner une idée précise des principaux phénomènes qui influent sur l'écoulement du gaz au cours d'une éruption, même si les résultats sont plutôt qualitatifs qu’exacts. En fait, le modèle souffre des trois défauts suivants :

 Les pertes de charge sont assez grossièrement estimées par l'équation de Colebrook simplifiée. En fait, le coefficient de frottement F est fonction de la vitesse d'écoulement, en particulier lorsque cette dernière est faible ;

 L'équation d'état de van der Waals est insuffisante pour une description précise du comportement réel de l'hydrogène, et la chaleur massique C est une fonction de la température ; _v

 A la fin d'une éruption, les débits de gaz sont faibles et les simplifications envisagées à la section 2.4 ne tiennent plus. Une étude approfondie des effets observés en fin d’éruption pourrait s’avérer difficile, mais non sans intérêt.

Dans le document Stabilité mécanique d'une cavité saline soumise à des variations rapides de pression : Application au stockage souterrain de gaz naturel, d’air comprimé et d’hydrogène (Page 93-96)