Annexe C Développement analytique du modèle
1. Hypothèse de la convection naturelle dans une cavité saline en gaz
L’objectif de cette partie est de montrer, sur la base de retours d’expérience, de mesures réelles et de calculs numériques qu’à l’échelle de la cavité, la température du gaz peut le plus souvent être considérée comme uniforme. En réalité, l’existence d’un gradient géothermique dans le massif conduit à s’interroger sur l’effet de la convection naturelle du gaz stocké. Un brassage continuel de gaz est opéré dans la cavité de stockage pendant lequel le gaz chaud qui se trouve au fond de la cavité remonte tandis que le gaz froid descend. Il est possible qu’en effectuant ce cycle, le gaz transporte de la chaleur du haut vers le bas de la caverne ce qui homogénéise la température de la cavité. Les mesures et calculs peuvent- ils prouver dans la majorité des cas qu’elle varie très peu sur la hauteur ? Les conditions de l’équilibre, la stabilité de l’équilibre et l’efficacité de l’écoulement sont analysées.
1.1. Les conditions de l’équilibre
L’équilibre d’un fluide dans un champ de gravitation exige que gradPg donc P P z
. Dans une caverne au repos, la pression du gaz est pratiquement uniforme car sa masse volumique est faible en comparaison de celle d’un liquide21. Sous la pression moyenne de 20 MPa, l’écart entre la pression au sommet et au fond d’une caverne de 300 mètres de haut n’est que de 0,6 MPa. De plus,
0rot P T g, équivaut à ggradP g gradT donc aussi à 0 T T z
. Ce qui veut dire que l’équilibre exige aussi T T z
(stratification horizontale). Les équations décrivant l’équilibre du gaz dans la cavité sont donc :0 P g (C.1)
0 div T (C.2)
,
et
,
P P T T (C.3)Considérons pour simplifier, un gaz parfait dont on négligera les variations de conductivité thermique. Maintenant qu’on a démontré que T T z
, l’équation de la température peut s’écrire :2 2 0 d T T dz (C.4)
Et donc la température du gaz T est une fonction affine de z Les conditions à la limite en température . sont fixées telles que dans la caverne, T 0 dans le massif, T 0 T T1 Gz à l’infini,
T 0 et
à la paroi, ce qui permet de retrouver la distribution de température. Et l’équation K T n
0 d’état des gaz parfaits PrT permet de retrouver les expressions des autres paramètres thermodynamiques. Mais en fait, il existe une possible instabilité due au gradient géothermique.
Annexe C. Développement analytique du modèle
1.2. La stabilité de l’équilibre
Dans une caverne remplie de fluide, une convection naturelle peut se mettre en place. L’origine de ce phénomène est l’existence d’un gradient géothermique qui est de l’ordre de G dT dz 0,015°C m à 0,018°C m, z vers le bas, dans un massif de sel. C’est donc moins que dans d’autres roches, car la conductivité thermique du sel est élevée, de l’ordre de KR 6 W m °C. Le fluide au fond de la caverne est un peu plus chaud, donc un peu plus léger ; il monte vers le sommet de la caverne où il se refroidit avant de redescendre vers le fond. Ce mouvement convectif est en principe ralenti par la dissipation visqueuse mais l’effet de cette dernière est faible dans des cavernes de très grandes dimensions. En effet, la stabilité de l’équilibre d’une atmosphère stratifiée lorsque dT dz z orienté vers le bas, 0, doit être prise en compte. Supposons un déplacement vers le haut
dz d’une particule de fluide. 0
Mécaniquement, elle se met instantanément en équilibre avec la pression à sa nouvelle profondeur, soit0.
dPgdz Elle subit donc une détente, se refroidit et sa masse volumique augmente. L’augmentation maximale est obtenue en supposant la détente adiabatique, on a alors
.
p ad ad
C dT dP gdz A la profondeur z dz , la température d’équilibre du gaz est
.T z dT T z Gdz Etant donné que le coefficient de dilatation thermique du gaz est positif, la particule après détente adiabatique est plus lourde qu’une particule dans l’état d’équilibre si dT dTad
donc si G g C p Gad. La particule revient alors à sa position d’équilibre. Pour l’air, 1000 J kg °C
p
C et le gradient « adiabatique » (dit sec) d’apparition de la convection est Gad g Cp
soit 1°C 100 m. Pour le gaz naturel, Cp 2345 J kg °C et Gad 0,4°C 100 m. Quand les conditions d’équilibre sont réunies, cet équilibre peut être facilement instable.
On peut remarquer au passage que, dans le cas de la saumure, on a C dTp ad sTdPad sTgdz et la condition est GsTg Cp Gad. Puisque sT est de l’ordre de 0,12 22 et que 2800 J kg °C,
p
C le
gradient « adiabatique » en saumure 4,7 10 °C m4
ad
G est 20 fois plus petit qu’en air et l’apparition de la convection y est bien plus certaine. La Figure C.1 montre le cas d’une caverne de 13 000 m3 creusée entre 440 et 560 m de profondeur et remplie de saumure. Le gradient géothermique naturel y est
0,018°C m
G dans la formation salifère, mais le gradient de température dans la saumure est extrêmement faible : la convection homogénéise la température de la saumure dans la caverne.
Enfin il faut noter que lorsque l’air est saturé d’humidité (comme cela doit être le cas dans une caverne au repos), le gradient adiabatique (dit humide) est plus petit. En effet, l’ascension d’une particule d’air s’accompagne d’un refroidissement qui est un peu atténué en raison de la condensation de l’eau23. Lorsque les conditions d’instabilité de l’équilibre G G ad sont réunies, il est important de savoir si cette convection est efficace ou pas.
22 Avec 4, 4 10 4
s C
et T300 K.
Annexe C. Développement analytique du modèle
Figure C.1. Profil de température dans une caverne remplie de saumure (Bannach et Klafki, 2009)
1.3. Efficacité de la convection
On réalise dans cette section une analyse dimensionnelle pour vérifier l’efficacité de la convection dans des cavernes de stockage d’air comprimé ou de gaz naturel. On introduit à cette fin les nombres de Prandtl, Pr24 et de Grashof, Gr25.
L’approximation de Boussinesq consiste à négliger toutes les variations de masse volumique exceptée celle du terme d’Archimède responsable du mouvement soit g ; le mouvement du gaz dans la cavité est considéré comme une perturbation d’un état d’équilibre. En supposant les coefficients de diffusion constants, les équations de continuité, de conservation de la quantité du mouvement et de l’énergie vérifiées par les perturbations seront donc (Rocard, 1967) :
0 eq s Dv P g v Dt D T v T k T Dt div v T (C.5)
24 Pr k, où v est la viscosité cinématique et k est la diffusivité thermique
.p
k K C
25 Gr g Gl 4 2 (g accélération de la gravité, l dimension caractéristique de la cavité, coefficient de
Annexe C. Développement analytique du modèle
Sous forme adimensionnelle, on effectue le changement de variable *x x l, T GlT *
x l ,
*
uu x l l et t l t 2 * . On peut donc écrire :
* * * * 2 * * * * * * * * * 0 Pr z Pr z div u Du p Gr e u Dt D u Dt (C.6)
Où * et p* sont les fluctuations sans dimension de température et de pression ; g est le champ de
gravité.
Le nombre de Prandtl est le rapport entre la viscosité cinématique et la diffusivité thermique, il sert donc à comparer la rapidité des phénomènes thermiques et des phénomènes hydrodynamiques dans un fluide. Il vaut à peu près 0,7 pour l’air et 7 pour l’eau (les valeurs ne sont pas très distinctes pour la saumure) ; les coefficients de viscosité dynamique valent environ pour l’air 1,57 10 m s 5 2 à 27°C et à
la pression atmosphérique (donc moins à pression élevée) et pour la saumure 10 m s.6 2
Le nombre de Grashof permet de caractériser le transfert thermique dû au déplacement naturel d’un fluide. Le coefficient de dilatation thermique vaut 4, 4 10 4
s C
pour la saumure, 1 300
b C
pour l’air. Il correspond au rapport des forces de gravité sur les forces visqueuses. On estime le nombre de Grashof pour une cavité de rayon (dimension caractéristique) l30 m et de volume
3 0 100 000 m .
V On a Gr6,4 10 ,11 ce qui veut dire qu’on est en turbulence pleinement développée
c’est-à-dire au-delà du régime turbulent qui est établi pour 2 10 7Gr 3 10 .10 Ainsi, compte tenu
des dimensions des cavités, les conditions sont en principe remplies pour le développement d’une convection turbulente (Klafki et al., 2003).
Figure C.2. Distribution calculée des températures dans un plan vertical et suivant une coupe horizontale d’une cavité en gaz naturel (Kneer et al., 2003).
Annexe C. Développement analytique du modèle Le calcul de Kneer et al. (2003) présenté sur la Figure C.2 confirme cette analyse, avec une température très nettement stratifiée suivant la verticale, un écart de 0,5°C entre le sommet et le fond d’une caverne de hauteur 200 m, et des écarts très faibles de température (inférieurs à 0,05°C) dans une même coupe horizontale.