Dimensionnement de l’essa

On n’a pas recherché une conception optimisée, l’objectif étant d’obtenir au plus vite un résultat d’ordre qualitatif et on s’est donc inspiré de quelques principes heuristiques :

 Dans un problème de ce type, les contraintes transitoires thermiques engendrées sont de l’ordre de grandeur de E_s _s , où E est le module de Young du sel, _s (E_s 20 000 MPa est typique),

s

 le coefficient de dilatation thermique (4 10-5_{/°C typiquement) du sel et  est l’écart de} température entre la température initiale du bloc de sel et la température du sel à la paroi refroidie par l’air. Comme le produit E_s_s est de l’ordre de 0,8 MPa/°C, il est certain que la résistance à la traction du sel, qui est de l’ordre de 1 à 2 MPa, est excédée quand l’écart de température est de quelques degrés Celsius au moins.

 L’ouverture de fractures perpendiculaires à la surface refroidie est donc certaine. Mais si la largeur de la zone refroidie est ,l l’ouverture maximale cumulée des fractures qui s’ouvriront

est  _s l. [Autrement dit, plus l’essai intéresse une large zone, plus l’ouverture cumulée des fractures est grande et plus on a de chance de les voir, au moins après un refroidissement assez long. Si des fractures visibles apparaissent aux parois d’un puits de mine (section 2.2.2), malgré des écarts de température été-hiver modérés (θ = 20°C typiquement), c’est notamment parce qu’il n’y a pratiquement pas de limite sur ,l la hauteur du puits étant de plusieurs centaines de

mètres]. On verra que, pour des raisons de disponibilité de bloc, la largeur de la zone refroidie ne pouvait guère excéder l10 cm : pour que des fractures soient observables, il faut que leurs ouvertures soient suffisantes et pour cela, il faut imposer un écart de température  le plus grand possible. Pour rester dans des valeurs de température réalistes pour les applications aux cavités souterraines, on s’est placé dans des conditions typiques de température de 90°C pour le bloc de sel et 0°C environ pour l’air, donc 90°C. On note qu’avec ces valeurs on a

0,36 mm

s l

   : on savait a priori que l’obtention de fractures suffisamment ouvertes pour être visibles ne serait pas facile.

 Du point de vue des contraintes thermiques, et donc de l’ouverture de fracture, ce n’est pas la température de l’air au voisinage de la paroi qui compte, mais la température du sel à la paroi. Or il n’y a pas de continuité des températures à la paroi : en effet une fine couche limite d’air (dite « thermique ») au contact de la paroi est le siège d’un gradient important de température, de sorte que la température du sel peut être distincte de la température de la masse d’air hors de la couche limite. On rend compte, de manière approximative, de l’existence de la couche limite par une condition de radiation :





Où h est la condition de radiation _r h_r   H K_s, H est le paramètre de conductance thermique68 _{de la} couche limite thermique, T est la température du sel, s T est la température de l’air hors couche limite. f

Grossièrement. Dans un problème particulier, on peut définir un nombre adimensionnel, le nombre de Biot m HL K  _s, en utilisant une longueur caractéristique du problème soit L. L’influence du nombre

Chapitre 4. Effets d’un soutirage rapide sur la stabilité mécanique des cavités salines

de Biot m et donc de la conductance thermique à la paroi ,, H sur l’évolution de la distribution des

températures et par conséquent sur l’intensité des contraintes thermiques est manifeste (Boley et Weiner, 1997).

Pour que le refroidissement par l’air froid soit « efficace », il faut donc avoir le nombre de Biot le plus grand possible, c’est-à-dire la conductance la plus grande possible. Ceci peut être obtenu en faisant circuler l’air avec une vitesse tangente à la paroi la plus grande possible. L’écoulement engendre à la paroi une couche limite « visqueuse » qui impose son épaisseur – d’autant plus faible que l’écoulement est rapide - à la couche limite thermique de sorte que la conductance grandit avec la vitesse de l’air. (Le refroidissement dans les puits de mine est efficace, du point de vue de la formation de fractures thermiques, parce qu’on fait circuler dans ceux-ci de l’air de ventilation avec des débits grands). On a utilisé un canon à air qui produit de l’air froid69 _{et on a dirigé le jet parallèlement à la surface à refroidir.} On n’a pas essayé de calculer le nombre de Biot pour l’essai envisagé.

On a vu que l’ouverture cumulée des fractures sur une distance l est de l’ordre de  _s l. Toutefois, au début du processus de refroidissement, un grand nombre de fractures peu profondes se développent et leurs ouvertures individuelles initiales sont donc très faibles. Quand le front froid pénètre dans le massif, une sélection s’opère et un nombre décroissant de fractures pénètrent en profondeur. Il y a donc une relation entre profondeur des fractures et espacement entre deux fractures70_{. Autrement dit, pour espérer} pouvoir voir des fractures ouvertes, il faut que leur nombre (par unité de longueur) soit réduit et donc que leur profondeur soit assez grande. La profondeur des fractures est approximativement donnée par la profondeur de la zone en traction, et donc aussi par la profondeur de la zone qui est sensiblement refroidie. Considérons le problème d’une plaque soumise sur une face à un écart de température a

après l’instant initial. Dans la direction z perpendiculaire à la face, la distribution de température prend la forme : ( , ) 4 a s z z t erfc k t   _ _   (4.16)

Où k est la diffusivité thermique du sel, qui vaut environ _{s 3 10 m s.}6 2

s

k   Cette relation fixe des ordres de grandeur. Si on souhaite que la température soit modifiée significativement à une profondeur de z1 cm, il faut attendre un temps supérieur à 2

s

tz k soit 30 secondes, mais deux minutes si l’on souhaite solliciter une profondeur de z2 cm etc. Il faut donc que l’essai de refroidissement dure plusieurs minutes.

On sait que si on applique deux températures distinctes maintenues constantes sur deux faces parallèles d’une plaque, on finit par obtenir une distribution de température avec un gradient uniforme dans la direction perpendiculaire aux faces. Si la plaque est complètement libre de se déformer71_{, le gradient} uniforme n’engendre aucune contrainte thermique. Les déformations thermiques    _s sont alors des fonctions linéaires des coordonnées : ce sont donc des déformations compatibles et il n’y a pas de contrainte thermique, voir équation (4.14). On voulait éviter que lors de l’essai on ne tende trop vite vers un tel état sans contrainte. On n’a pas fait de calcul complet, mais en choisissant de ne refroidir qu’une partie de la surface du bloc de sel, on a évité de se retrouver dans une telle situation. Un autre

69 _{Avec un débit malheureusement d’autant plus faible que l’air produit est plus froid.} 70 _{Un exemple typique est décrit par Bahr et al. (2010).}

Chapitre 4. Effets d’un soutirage rapide sur la stabilité mécanique des cavités salines avantage attendu d’un refroidissement partiel était de pouvoir comparer l’état de surface des parties refroidies et non refroidies.