Modèle acoustique

Nous connaissons désormais les modèles vibratoires analytiques de calcul des fréquences naturelles de la structure statorique, dès lors, nous pouvons aborder la dernière brique de la méthodologie directe d’étude du bruit magnétique. Aussi d’avant d’aborder la description du modèle acoustique, on se propose d’aborder quelques notions sur le son et les phénomènes de propagation d’une onde sonore. [75].

 Principe Physique

Le son est la conséquence d’une vibration, en effet tout élément ou particule qui se déplacent à la « vitesse particulaire16 _{» 𝑣(𝑡)}⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ , provoque dans l’air, dans un liquide, un solide

des compressions et des dilatations. Une machine électrique, généralement de forme cylindrique ou bien encore selon ses dimensions, pouvant s’apparenter à une forme sphérique est une source de vibrations qui peut parfois être préjudiciable. La littérature qui traite du sujet est très riche, globalement on y retrouve les modèles liés aux « ondes planes »

Figure 47 a à une dimension, « omnidirectionnelles » Figure 47 b ondes propagatives, stationnaires, ondes amorties, enfin diverses analyses des problèmes de propagation et diffractions dans une cavité ou en champ libre. Il n’en demeure pas moins que le problème lié à l’étude des ondes acoustiques et la résolution des équations aux dérivées partielles qui les régissent restent selon le cas compliquée!

On peut observer, Figure 47 a, les surpressions et dépressions du milieu, notamment des particules, ainsi que la longueur d’onde λ, traduisant une périodicité tributaire de la célérité c0 du son par rapport à la fréquence f. Elle représente en fait le nombre d’oscillations

par mètre, (1.4.12).

𝛌 =𝐜𝟎

𝐟 (1.5.3)

(a) (b)

16 _{La vitesse particulaire représente la vitesse instantanée des particules, elle caractérise le mouvement de matière, elle est}

d’environ (1m/s). Dépression Surpression x Particules

l

 Propagation de l’onde plane

On se propose dès lors d’établir la relation de propagation d’une onde plane, à une dimension. On considère pour ce faire ρ la masse volumique du fluide contenu dans le tube de section S, la pression p et la vitesse 𝒗⃑⃑ . Celle-ci est basée autour de trois grands principes, la conservation de la masse (1.5.4), conservation du mouvement l’équation d’Euler17_{, (1.5.5)}

et l’équation d’état, (1.5.6). 𝛛𝛒 𝛛𝐭 + 𝛒𝟎 𝛛𝒗⃑⃑ 𝛛𝐱 = 𝛛𝛒 𝛛𝐭+ 𝛒𝟎 𝐝𝐢𝐯( 𝒗⃑⃑ ) = 𝟎 (1.5.4) 𝛒_𝟎𝛛 𝒗⃑⃑ 𝛛𝐭 + 𝛛𝐩 𝛛𝐱 = 𝛒𝟎 𝛛 𝒗⃑⃑ 𝛛𝐭 + 𝐠𝐫𝐚𝐝(𝐩) = 𝟎 (1.5.5) 𝐩 = 𝛒𝐜_𝟎𝟐 _(1.5.6)

A partir de l’équation d’état en remplaçant 𝝆 dans la loi de conservation des masses,

(1.5.4) on obtient : 𝟏 𝒄_𝟎𝟐 𝛛𝐩 𝛛𝐭 + 𝛒𝟎 𝛛𝒗⃑⃑ 𝛛𝐱 = 𝟏 𝒄_𝟎𝟐 𝛛𝐩 𝛛𝐭 + 𝛒𝟎 𝐝𝐢𝐯( 𝒗⃑⃑ ) = 𝟎 (1.5.7)

En dérivant respectivement la relation (1.5.7) par rapport à 𝛛𝛒/𝛛𝐭 et la relation (1.5.5)

par rapport à 𝛛𝐩/𝛛𝐱 on obtient : 𝟏 𝐜_𝟎𝟐 𝛛𝟐_𝐩 𝛛𝐭𝟐 + 𝛒𝟎 𝛛𝟐_𝒗⃑⃑ 𝛛𝐭𝛛𝐱= 𝟎 (1.5.8) 𝛒𝟎 𝛛𝟐 _𝒗⃑⃑ 𝛛𝐭𝛛𝐱+ 𝛛𝟐_𝐩 𝛛𝐱𝟐 = 𝟎 (1.5.9)

La différence des relations obtenues donne l’équation unique pour la pression acoustique, l’équation d’onde

𝛛𝟐_𝐩 𝛛𝐱𝟐− 𝟏 𝐜_𝟎𝟐 𝛛𝟐_𝐩 𝛛𝐭𝟐 = 𝟎 (1.5.10)  La pression acoustique

La pression acoustique est une grandeur physique qui se traduit par une sensation de puissance, plus simplement encore par le « volume sonore ». Elle est variable d’un endroit à un autre suivant le milieu dans lequel l’onde sonore se propage. Dans l’air, la vitesse de propagation de cette onde est de c0 =340,29 (m/s) avec pour référence le niveau des mers à

20°C. C’est pourquoi, en champ libre, notamment à pression atmosphérique18 _{Pat stable, la}

17 _{L’équation d’Euler est encore nommée équation de conservation de la quantité de mouvement}

18 _{Pression atmosphérique : Sur terre la pression atmosphérique moyenne est donnée pour l’altitude zéro du niveau des mers.}

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puissance Pabs s’exprime par la relation (1.5.11), suivant les variations de la pression

acoustique p(t) émise par la source sonore que nous noterons p.

𝐏_𝐚𝐛𝐬= 𝐏_𝐚𝐭± 𝐩 (1.5.11)  L’impédance acoustique

La vitesse particulaire 𝑣 , fonction du temps et la pression acoustique sont liées à l’impédance acoustique Zac, (1.5.12) qui caractérise la réaction du matériau (intrinsèque au

matériau) réagissant à une onde acoustique.

𝐙_𝐚𝐜 = 𝐩

𝑣 (1.5.12)  Intensité acoustique

La pression acoustique ne permet pas décrire suffisamment une source sonore, en effet elle ne donne pas d’indication sur l’énergie émise. La notion d’intensité acoustique est donc ici introduite, (1.5.13). Il faut toutefois préciser que le calcul tient compte des hypothèses suivantes à savoir que la vitesse de vibration de la structure de la machine est identique à la vitesse particulaire, pour un rayonnement libre et non réflectif.

𝐈_𝐚𝐜 = 𝒑. 𝒗⃑⃑ = 𝐙𝐚𝐜 . 𝒗⃑⃑ ² (1.5.13)

Pour une machine électrique l’intensité acoustique est tributaire de la déformation de la structure (Annexe D), de la forme de la machine, de l’onde acoustique, des modes de déformations naturels et des fréquences porteuses. [63] dans son ouvrage, donne la relation de l’intensité acoustique Iσ(1.5.14), à la surface d’une machine pour un diamètre quelconque

donné. Elle est tributaire de l’amplitude des vibrations et prend en compte du coefficient de rayonnement σr

𝐈𝛔 = 𝟖𝟐𝟎𝟎 𝛔𝐫 𝐟𝟐 𝐘𝐦𝐝𝟐 (1.5.14)

Avec : σr : Facteur de rayonnement acoustique, f : Fréquence vibratoire, Ymd : Amplitude

déformation dynamique, (Annexe D-(D.14)).  Facteur de rayonnement

P.L Timar, [46], donne le facteur de rayonnement acoustique σr, ce dernier peut se

calculer, selon que l’on assimile le stator de la machine à une sphère (1.5.15), ou un cylindre infini (1.5.16). En d’autres termes, ce facteur traduit la capacité que possède la structure à émettre une onde acoustique, compte tenu de sa configuration.

Les Figure 48 a-b établies à partir des formulations énoncées précédemment, illustrent le rayonnement pour une machine de forme sphérique et cylindrique. Elle donne le coefficient de rayonnement suivant les dimensions de la machine et le mode naturel de déformation de la machine. Il apparait que pour une machine de forme cylindrique, le rayonnement acoustique est supérieur à son homologue de forme sphérique. Dans cette perspective [66] évoque le fait que l’éloignement croissant, donc la distance à parcourir pour l’onde sonore, tend à se réduire au fur et à mesure que ‘on éloigne, par voie de conséquence

océans, le champ magnétique terrestre, les échanges thermiques du relief etc… l’ensemble provoquent des variations autour de la valeur de référence de l’atmosphère normale, Pa=1013.25 hPa.

est « préférable de considérer un cylindre pour connaitre le facteur de rayonnement σr ». Enfin pour avoir une estimation du son qui se propage, considérer « un cylindre ou une

sphère suivant que l’on est proche ou éloigné de la machine ». Nous noterons cependant,

pour le cas des machines candidates à cette étude et leurs dimensions, nous pouvons d’ors et déjà choisir un facteur de rayonnement sphérique.

(a) (b) 𝛔𝐫= 𝐑 (𝒋𝝅. 𝑫 𝝀 . ∑ (𝒎 + 𝒗)! 𝒎! (𝒎 + 𝒗)! 𝒗! . (𝟐𝒋𝝅𝑫𝝀 )𝒎−𝒗 𝒎 𝒗=𝟎 ∑𝒎 (𝒎 + 𝒗)! 𝒎!_{(𝒎 + 𝒗)! 𝒗! . (𝟐𝒋𝝅}𝑫_{𝝀 )}𝒎−𝒗 𝒗=𝟎 (𝟏 + 𝒋𝝅. 𝑫_{𝝀 + 𝒗)} ) (1.5.15)

D : Diamètre extérieur du stator, R : Partie réelle, j : Opérateur complexe, λ : Longueur d’onde.

𝛔_𝐫= (𝝅𝑫 𝝀) 𝟐 ( 𝑵𝒎𝑸𝒎+𝟏− 𝑸𝒎𝑵𝒎+𝟏 (𝒎𝑸_𝒎− 𝝅 𝑫_{𝝀 𝑸𝒎+𝟏})𝟐+ (𝒎𝑵_𝒎− 𝝅 𝑫_{𝝀 𝑵𝒎+𝟏})𝟐 ) (1.5.16)

Nm : Fonction de Neumann, Qm : Fonction de Bessel

1.5.2 Démarche proposée

Pour conclure sur le modèle analytique proposé Figure 46. Relativement simple à mettre en œuvre, il intègre les liens entre les différentes grandeurs physiques mises en jeu et offre la possibilité de prendre en compte de nombreux phénomènes, comme la saturation via la perméance d’entrefer et les phénomènes d’excentricité [76] .

Nous verrons au chapitre Il que l’intérêt majeur est de comprendre l’origine de certaines raies, notamment les raies d’ordres faibles, en ajoutant progressivement au modèle des phénomènes supplémentaires à différents niveaux. Tout particulièrement l’impact de la perméance globale liée aux effets de dentures rotorique et statorique sera présentée. La FMM totale sera construite à partir de la force magnétomotrice du stator (FMMs) et du rotor (FMMr). La FMMs est obtenue à partir de la fonction de bobinage implantée par le produit des courants injectés au stator. Le lecteur pourra apprécier l’exploitation faite de ces phénomènes au chapitre II.

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Afin d’appliquer cette démarche directe, un outil a été développé sous Matlab exploitant les FMMs et FMMr ainsi que la perméance d’entrefer. Il estime ainsi de manière qualitative l’induction et la pression radiale dans l’entrefer et leur contenu harmonique.

Cet outil analytique de calcul de la pression magnétique radiale sera présenté et exploité au chapitre II. Les résultats de calculs y seront comparés à des données issues de simulations menées par un logiciel de calcul par EF-(Flux 2D).

On retrouve Figure 49, le synoptique de l’outil analytique de calcul, pour le modèle électromagnétique.

1.6 Conclusion

Au travers de cet état de l’art, notamment sur la problématique des enjeux énergétiques en relation avec les changements environnementaux, conséquents aux activités anthropiques, nous nous sommes affairés de décrire les changements essentiels qui ont contribué à faire évoluer les machines électriques. Ces machines, présentes dans la plupart des domaines, les transports, l’industrie lourde et tertiaire, enfin domestique, représentent une part importante de la production énergétique Française. Les données connues à ce jour ont permis de chiffrer la consommation des moteurs, tous domaines confondus, à environ 30% de la production totale et représente environ 150 TWh/an. Par voie de conséquence afin de répondre aux exigences des accords internationaux, de nouvelles normes ont vu le jour et de surcroît ont contribué au développement d’une machine bien connue, la machine synchrone. Pour les concepteurs, cette machine dont la puissance massique est intrinsèquement supérieure à la machine asynchrone et la machine à courant continu, toutes deux baptisées de « classiques » et néanmoins encore largement utilisées.

C’est pourquoi la machine synchrone s’est très vite vue gratifiée de nombreuses innovations, par l’adjonction d’aimants terre rare pour le circuit d’excitation et de nouveaux types de bobinages implantés au stator, comme le bobinage dentaire. L’apport de ce type de bobinage a, entre autre permis de réduire considérablement les pertes par effet Joule et contribué également à augmenter la puissance massique.

De causes à effets, l’augmentation de la puissance massique de ces machines innovantes a engendré de nombreux problèmes multi-physiques tels que les phénomènes vibratoires et nuisances acoustiques associées. L’organisation du bruit généré par les machines, également

:Perméance moyenne :Perméance statorique : Perméance rotorique :Perméance mutuelle

Fonctions de bobinage et de distribution

Force magnétomotrice Totale

Pression radiale de Maxwell [-16, 4] Zs/2 [-2, 2] [-18, 6] [-8, 2] [-8, 4] Zs/2 [0, 2] [-14, 2] [ ] Modèle linéaire de la perméance globale. J.F.Brudny Induction radiale [ ] FMMs= [ ] * [ ] FMMr= Fr*cos(wt-p ±

d’utiliser un modèle multi-physique et le chaînage directe des grandeurs mises en jeu. Egalement dans ce premier chapitre une analyse harmonique de l’induction et de la pression radiale, d’un « cas école » a permis de présenter la notion d’ordre spatio-temporel et la validation analytique des amplitudes.

Puis la comparaison de deux machines à aimants enterrés et surfaciques, possédant le même nombre de pôles et d’encoches a été traitée. Les raies de pression spatio-temporelles obtenues sont identiques dans le temps et l’espace, cependant il s’avère que le fait d’enterrer les aimants ne modifie que l’amplitude.

Enfin, nous avons introduit notre méthodologie directe du modèle électromagnétique. Cette démarche permettra le calcul des raies de pression radiales qui donnent naissance aux nuisances sonores. L’origine de ces raies de pression seront développées au chapitre III à partir de deux approches inverses différentes.

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2 Etude harmonique de la pression radiale de