Méthode inverse

Pour les performances recherchées égales à la méthode directe, Figure 45,Figure 46, la méthode inverse va consister à déterminer les caractéristiques de fonctionnement et les paramètres de la machine. F.Wurtz, dans sa thèse, [101], définit la notion de « problème inverse » comme la réciproque du « problème direct ». Aussi pour que le problème inverse puisse être résolu directement au sens de J.S Hadamard20 _{il se doit de vérifier trois}

propriétés.

Considérons alors X et Y deux espaces normés, ∀ K : X→Y, l’équation K.x = y (application linéaire ou non), le « problème est bien posé »21 _{si les hypothèses suivantes sont}

vérifiées

 Existence : ∀, y ∈ Y, il existe au moins un x ∈ X tel que K.x = y  Unicité : ∀, y ∈ Y, il y a au moins un x ∈ X tel que Kx = y

 Stabilité : La solution x dépend de manière continue de la donnée y, c’est-à- dire pour tout xn ⊂ X avec Kxn →Kx, alors xn → x pour n → ∞.

Il faut pour cette dernière propriété souligner le fait qu’elle doit tendre vers une solution convergente, en effet si une erreur existe la stabilité entrainera une solution proche de celle recherchée.

Le problème inverse ne peut se résoudre directement et se révèle plus compliqué à résoudre, compte tenu du fait que l’on peut déterminer plus d’une machine voire un nombre infinie de machines et de paramètres le plus souvent sous contraintes, [102]. La complexité du problème inverse impose donc pour le résoudre, d’utiliser un procédé itératif, dont les résultats sont issus d’essais qui aboutissent à une, ou plusieurs solutions.

Pour l’heure, l’exploitation de cette méthodologie appliquée à notre problème inverse non linéaire, nous appliquerons un calcul partant de l’amplitude d’une raie de pression afin d’obtenir les origines ou contributions correspondantes.

Aussi nous avons pu tester différentes approches assimilables à des modèles « prédictifs » que l’on pourrait considérer comme « démarche inverse ». Dans un premier temps, l’application du produit de la FFT de l’induction radiale spatiotemporelle par elle- même, plus connu sous l’appellation du « produit de convolution », nous permettra de « conserver » les origines de chaque harmonique.

20 _{Jacques Salomon Hadamard, Mathématicien Français, (1865-1963), connu pour ses travaux sur la théorie des nombres,}

analyse complexe, analyse fonctionnelle, géométrie différentielle, théorie des équations aux dérivées partielles. Il a également établi la notion de problème bien posé dans le domaine des équations différentielles.

21 _{Le concept mathématique du problème bien posé défini par J.S.Hadamard est qu’un modèle mathématique représentatif de}

phénomènes physiques doit vérifier les propriétés d’existence, d’unicité, stabilité ou convergence.

Performances Modèle direct Structure de la machine

Bobinage Outils de calculs

+ - Algorithme itératif D’optimisation Performances souhaitées

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Dans un second temps, nous utiliserons un outil construit à partir des formulations des raies de pression principales et existantes établies à partir du contenu harmonique de l’induction radiale, cet outil a été baptisé Analytical Calculation Harmonics Force Order (ACHFO),[96].

Enfin, une approche différente itérative d’optimisation du bobinage implanté au stator de la machine sera présentée afin de compenser l’apparition d’ordres faibles de la pression radiale, ordres faibles portés par des fréquences situées dans le domaine audible. L’objectif n’est pas de proposer une analyse des raies dans ce cas particulier, mais de neutraliser directement certaines raies de pression par une plateforme d’optimisation Sophemis.

La résolution de ce problème est de toute évidence Non Linéaire (NL) et ne vérifie pas les conditions évoquées précédemment, l’inversion « directe » est donc impossible. Dès lors afin de résoudre notre problème inverse, nous avons opté de considérer un chaînage directe associé à une boucle d’optimisation, d’où l’appellation « méthodes inverses ». Ce point sera présenté au cours de ce chapitre.

Notre objectif sera de compenser l’apparition d’un ordre spatial de pression radiale spécifique de rang faible, porté par des fréquences situées dans le domaine audible. L’objectif n’est pas de proposer une analyse des raies dans ce cas particulier, mais de neutraliser directement certaines raies de pression. Nous avons choisi de modifier le type de bobinage implanté au stator afin de minimiser les raies de pressions radiales dont les vibrations et le bruit dépendent pour les machines électriques étudiées.

A fortiori, à partir des performances de la machine, on veut obtenir ses paramètres structurels et plus particulièrement le(s) bobinage(s) qui garantissent un fonctionnement donnant un niveau acoustique acceptable.

L’analyse harmonique menée au chapitre II a montré l’existence d’ordres faibles pour la pression radiale potentiellement dangereux en termes de nuisances acoustiques. En effet ces ordres faibles sont susceptibles d’entrer en résonance avec les modes mécaniques faibles, propres à la structure mécanique de la machine. Cette dernière selon les conditions de fonctionnements peut vibrer à des fréquences communes au spectre des fréquences audibles humaines et de surcroît à un niveau de puissance acoustique inacceptable. Notre méthode, illustrée Figure 149 va donc consister à supprimer ou bien encore réduire l’amplitude d’une raie de la pression radiale dans l’entrefer qui mènent à un niveau sonore à risque suivant les conditions d’exploitation. Pour ce faire, l’algorithme d’optimisation devra évaluer la ou les solutions suivant les critères définis qui génèrent le moins d’harmoniques de pressions radiales. Bien évidemment, il est impossible de supprimer l’ensemble des raies de par les « défauts ou source d’harmoniques » rencontrés sur une machine comme l’effet de denture ou la réaction magnétique d’induit.

Une approche itérative par plans d’expériences sera menée et présentée avec pour objectif de compenser ou neutraliser l’apparition d’un ordre spatio-temporel de pression radiale. Pour cela, nous utiliserons de la plateforme d’optimisation « Sophemis » couplée à notre outil.

3.2.2 Choix de la configuration du bobinage à optimiser.

Au chapitre précédent nous avons, Figure 59, présenté trois configurations de bobinages obtenues par la méthode de l’étoile des encoches. En guise d’exemples avant d’exploiter l’outil d’optimisation, nous avons donné les résultats au niveau des harmoniques de pressions pour ces 3 configurations. On retrouve Figure 150 a-f, respectivement la pression radiale associée à son spectre pour les trois configurations de bobinage.

Configuration 2-2

(a) : Pression radiale (b) : FFT Pression radiale Performances Modèle direct Structure de la machine

Bobinage Outils de calculs

+- Algorithme itératif D’optimisation Pression radiale de Maxwell Raie de pression à supprimer ou atténuer Raie de pression à supprimer ou atténuer Performances Zs/2 Zs/2 Zs/2 Zs/2

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Configuration 3-1

(c) : Pression radiale (d) : FFT Pression radiale Configuration 4-0

(e) : Pression radiale (f) : FFT Pression radiale

L’observation des figures de la pression radiale, dans le temps et l’espace montre des aspects relativement proches pour un point choisi identique (t, αs) .Si l’on observe les Figure

150 e-f, on remarque que les spectres sont identiques en dehors des amplitudes plus faibles, en particulier pour l’ordre [2,2] de la configuration 4-0. On notera cependant que l’amplitude l’ordre [-1,2] est à contrario plus importante. La configuration 2-2, présente Figure 150 b, un spectre globalement moins riche mais un ordre [2,2] d’amplitude élevée, ordre de la pression radiale pour lequel nous nous sommes jusqu’à présent focalisé. Bien que notre outil offre la possibilité de considérer un ordre différent, nous choisirons l’ordre faible [2,2] en vue d’optimiser le bobinage et tenter ainsi de résoudre notre problème inverse.

Si on observe les allures de la FMM, Figure 151 a-c pour les configurations proposées, on remarque qu’elles présentent des allures spatiotemporelles quasiment identiques. On se propose de comparer les FFT, Figure 151 d-f.

Zs/4

Zs/4

Zs/4

Zs/4

Configuration 2-2 (a) (d) Configuration 3-1 (b) (e) Configuration 4-0 (c) (f)

Les spectres présentent pour les configurations 3-1 et 4-0 un spectre riche en harmoniques pairs et impairs en lien avec le balourd magnétique. Cet exemple a permis de montrer l’importance du type de bobinage sur l’amplitude de la raie [2,2]. Ainsi, au vu du nombre de combinaisons possible, il est important de laisser l’outil d’optimisation générer tout type de bobinage afin de minimiser l’amplitude de cette raie.

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