La force magnétomotrice statorique

La fonction de bobinage sous sa forme matricielle (2.2.5) doit être envisagée pour les trois phases des machines considérées afin de calculer la force magnétomotrice statorique spatiotemporelle totale dans l’entrefer. L’impact de la discrétisation dans l’espace « npe » suivant αs et « npt » pour l’axe de temps t, est également pris en compte dans le respect du

théorème de Shannon qui impose une discrétisation suffisante.

𝐟_𝐦𝐦𝐬 _{[𝐧𝐩𝐞, 𝐧𝐩𝐭] = ∑} [ 𝐍𝐩𝐡𝛂𝐬=𝟎 𝐍_𝐩𝐡𝛂𝐬=𝛂𝐞 . . . 𝐍_𝐩𝐡𝛂𝐬=𝟐𝛑−𝛂𝐞 ] 𝟑 𝐩𝐡=𝟏 . [𝐈_𝐩𝐡𝐭=𝐭𝐢 _𝐈 𝐩𝐡𝐭=𝐭𝐢+𝐭𝐞 𝐈𝐩𝐡𝐭=𝐭𝐟−𝐭𝐞] (2.2.5)

Pour illustrer cette formulation, nous considèrerons trois exemples afin de montrer les possibilités offertes par notre outil. Pour ce faire, nous considèrerons une machine

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modulaire, MS 4p-6s, qui sera pour exemple premier dotée de quatre pôles et six encoches. Puis, la machine M1 qui sera dotée d’un bobinage dentaire double couche et distribué, respectivement exemples deux et trois. L’idée dans ce cas, est de montrer que notre outil offre la possibilité de paramétrer rapidement une machine, afin d’obtenir la représentation spatiotemporelle et spectrale de la FMMs ainsi que, la fonction de bobinage associé à la fonction de distribution. Notons dès à présent que les représentations tiennent compte de l’ouverture d’encoche.

 Exemple 1 : Machine MS 4p-6s

Le modèle considéré est doté d’un bobinage simple couche, Figure 69 b. Les courants sont considérés sinusoïdaux dans un premier temps, Figure 74 a et perturbés dans un second temps, Figure 75 a.

(a) (b)

Pour ce premier exemple, on retrouve au centre de la Figure 74 a suivant l’espace et le temps, l’effet des six encoches en vue de dessus pour la force magnétomotrice. On peut remarquer l’alternance de zones où la FMMs est nulles (1-3-5) et non nulles (2, 4, 6). La partie basse de la figure, en vert, représente l’allure spatiale de la FMMs matérialisée pour un point de référence [Espace (°), Temps (s)], ici, [180, 0.01]. La partie gauche de la figure, en orange, nous renseigne sur l’allure temporelle. Cette dernière nous indique que les courants injectés sont sinusoïdaux. La Figure 74 b illustre quant à elle la transformée de Fourier, (First Fourier Transform), FFT, également en vue de dessus, elle monte plusieurs harmoniques notamment, H=-1, H=5 et H=-7, portés par la fréquence porteuse fs, ici 50 Hz. Nous noterons également que l’exemple illustré Figure 75 et ceux qui suivent, sont exempts de toutes valeurs dimensionnelles et grandeurs physiques réelles en rapport avec nos machines candidates à l’étude.

Figure 75 a, montre la FMMs pour un courant perturbé avec, des harmoniques de courants injectés : les harmoniques H=5 H=7 souvent rencontrés. On remarque, pour le point d’observation considéré identique au relevé précédent, que la FMM présente une allure dont l’amplitude temporelle présente des déformations.

1 3

6 4

2 1

5

(a) (b)

Par voie de conséquence, le spectre de la FMMs, est quant à lui, beaucoup plus riche. On remarque que pour la fréquence porteuse fs les harmoniques sont identiques au cas précédent, pour des courants statoriques sinusoïdaux. En revanche, la réponse spectrale montre que d’autres harmoniques apparaissent à, 5fs et 7fs7fs en lien avec les harmoniques de courants injectés. Nous noterons que pour les deux cas exposés précédemment, les fonctions de bobinages sont identiques. Elles sont illustrées Figure 76 a et la configuration de la machine est quant à elle donnée Figure 76 b.

Pour conclure sur ce premier exemple et le bobinage dentaire simple couche présenté, il serait intéressant de la comparer, pour cette même configuration de machine (quatre pôles et six encoches-MS-4p-6s), à un bobinage distribué. L’intérêt étant de montrer la richesse du contenu harmonique au niveau de la FMMs et celui de la pression radiale qui en découle. Nous retrouvons donc, Figure 77 a-b les représentations respectives des FMMs spatiotemporelle et spectrale et FFT 2D correspondante.

1 3

6 4

2 1

5 _Zs

Figure 75 : Représentation de la force de FMMs (a)- Spectre 2D (b)- Courant perturbé

(a) (b)

74

(a) (b)

La comparaison de la Figure 77 a-b avec la Figure 74 a-b,montre dans l’espace une allure plus sinusoïdale (bobinage distribué), qui explique le spectre beaucoup moins riche et ne laisse apparaitre que les ordres spatio-temporels [-5, 1], [1,1] et [7,1]. La notation suivante : [-5,1] par exemple, correspond à l’harmonique « -5 » au niveau « ordre spatial » avec un sens de rotation de l’onde inversée (signe négatif) pulsant à 1*fs, donc 1 au niveau de l’ « ordre » temporel. Dès lors, on est en mesure d’affirmer que ces ordres sont bien générés par le stator bobiné ou « l’armature » et ce, quel que soit le bobinage implanté.

Afin de présenter sur un exemple simple le calcul de la pression radiale pour la MS 4p- 6s à bobinage distribué et dentaire, nous avons considéré une fonction de perméance d’entrefer simplifiée à l’effet de denture statorique et ceci afin d’estimer l’induction dans l’entrefer. Cette fonction de perméance sera détaillée dans le paragraphe suivant. Ceci permet de présenter dans un premier temps l’impact de ce bobinage dentaire sur les harmoniques de force.

La Figure 78 a-b expose les FFT 2D de la Pression radiale pour la machine MS-4p-6s pour un bobinage distribué, la Figure 78 c-d considère pour la même machine un bobinage dentaire. (a) (b) 1 2 3 4 5 6 1 Zs p

(c) (d)

Les allures spatiotemporelles et spectrales laissent apparaître pour le bobinage distribué, Figure 78 b, un spectre comportant des raies espacées du nombre égale au nombre Zs/3 et portées par des fréquences égales au nombre de paires de pôles. A contrario, pour le bobinage dentaire le spectre spatiotemporel est beaucoup riche avec les raies espacées d’un nombre égale au nombre d’encoches divisé par trois. Les fréquences porteuses sont elles aussi espacées par un nombre égale au nombre de paires de pôles pour ce cas particulier. On remarque également que le spectre comporte dans les deux cas les mêmes raies d’ordre pair notamment l’ordre [2,2] avec pour le bobinage dentaire un ordre [-1,2]. Cet ordre spatial 1 peut-être particulièrement néfaste et demande une étude spécifique au niveau mécanique.

Enfin, ces constations nous permettent de dire que le bobinage dentaire bien qu’il possède de nombreux avantages en termes de volume de cuivre et donc un meilleur potentiel énergétique se révèle, à fortiori, gratifié de potentiellement risqué en terme de bruit acoustique.

 Exemple 2 : Machine M1, M2, bobinage dentaire double couche

On retrouve la force magnétomotrice totale spatiotemporelle et sa FFT, respectivement

Figure 79 a-b.

Zs/3 p

Figure 78 : Pression radiale spatiotemporelle et FFT2D-Bobinage distribué (a-b) et dentaire(c-d)-MS-4p-6s.

(a) (b)

Figure 79 : Force magnétomotrice spatiotemporelle et FFT, des machines M1, M2

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L’outil développé nous offre également la possibilité d’associer la fonction de bobinage à la fonction de distribution, Figure 80. Cette dernière nous renseigne sur le sens de bobinage des brins élémentaires qui constituent les bobines élémentaires autour des encoches, également la position des brins dans les encoches respectives y est précisée. L’intérêt d’une telle représentation porte sur la facilité, par la suite, de programmer sous forme de fonction de distributions différentes configurations de bobinage, de permettre une analyse rapide, enfin de déterminer celles qui seront les plus prometteuses en termes de conception de machines silencieuses.

L’outil déjà cité « Koil », [88] permet d’évaluer les harmoniques de la FMMs tributaires de la fonction de distribution et par voie de conséquence celui du bobinage implanté dans les encoches. Cependant, l’outil Koil ne permet pas de traiter toutes les possibilités de bobinage dentaire, uniquement ceux maximisant la fem et par conséquent le couple. De plus, cet outil n’est pas exploitable dans une phase d’optimisation visant à déterminer les configurations optimales du bobinage comme nous le présenterons dans le chapitre III.

La Figure 81 a-b illustre pour une phase la FMMs donné respectivement par l’outil « Koil » et notre outil sans prendre en compte l’ouverture des encoches.

(a) [88] (b) Force magnétomotrice A m p li tu d e (A ) Angle (°)

Figure 80 : Fonction de bobinage et distribution M1, M2

L’outil Koil permet rapidement de déduire les harmoniques d’espace de la FMMs pour un courant supposé sinusoïdal, pour des bobinages dentaires. En comparaison, notre outil développé nous permet de considérer des bobinages dentaires et distribués comme nous l’avons vu précédemment. Egalement des ondes de courants qui peuvent être quelconques peuvent y être injectés afin d’observer leur impact sur le spectre spatiotemporel. Notre outil permet également en déplaçant le curseur sur la figure placé au centre de la représentation,

Figure 82 de connaitre l’amplitude de la raie et ses coordonnées dans le temps et l’espace. Notons que les réponses temporelle et spatiale se modifient en conséquence.

On retrouve les harmoniques [-7,5] ; [-1,5] et [5,5]. L’amplitude, la fréquence porteuse et l’ordre sont donnés. On peut également y observer les ordres [-1,5] et [1,1].

 Exemple 3 : Machine M1, bobinage distribué

Nous nous proposons dès lors de traiter un dernier exemple, celui de la machine M1 dotée cette fois d’un bobinage distribué dont la fonction de bobinage est donnée Figure 83.

[-5, 7] [-5, 1] [5, 7] [1, 7] Curseur [-7, 5] [-1, 5] [5, 5]

Figure 82 : Description de l’outil d’analyse harmonique de la FMMs

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(a) (b)

Le spectre, Figure 84, pour le bobinage distribué est beaucoup moins riche en harmonique, aussi, on obtient des harmoniques suivant l’espace [14,1], [-10,1] en relation avec le nombre de pôles et [2,1] pour les ordres prédominants.