Le modèle électrique : le modèle de Butterworth-Van Dyke (BVD)

Le modèle de Butterworth-Van Dyke est un modèle simple n’exploitant qu’un seul port électrique. Il est valable uniquement autour des fréquences de résonance. Une version améliorée de ce modèle, appelé MBVD pour Modified Butterworth Van Dyke, a également été développée afin de prendre en compte l’influence des résistances d’accès au résonateur. Nous n’utiliserons cependant ici que le modèle BVD, suffisant dans un premier temps pour montrer la fonctionnalité de notre dispositif.

Le modèle BVD utilise uniquement des éléments électriques pour décrire le comportement électroacoustique de la structure. Comme l’illustre la Figure 2.14, ce modèle est composé de deux branches en parallèle : une branche statique correspondant au comportement électrique de la structure et une branche dynamique, dite motionnelle, correspondant au comportement mécanique de la structure autour de la résonance.

Figure 2.14 – Circuit équivalent de Butterworth van Dyke du résonateur à vide

2.5.3.1 La branche statique

Cette branche matérialise le comportement électrique de la structure. Comme l’illustre la Figure 2.5 B, la structure peut être modélisée d’un point de vue électrique par une capacité du fait que l’on applique une différence de potentiel aux bornes d’électrodes séparées par un diélectrique. La valeur de la capacité formée dépend à la fois de la permittivité du matériau ε dans la direction choisie (comportement anisotrope du matériau), du diamètre des électrodes de, de l’épaisseur de la plaque

C0

Cm

Lm

Rm

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ep ainsi que de l’écartement des électrodes g. Dans la configuration présentée Figure 2.5 B, l’expression de la capacité statique est la suivante :

(2.65)

La Figure 2.15 A montre l’évolution de la capacité statique C0 en fonction de la distance entre les électrodes sur une plage [0.1mm, 1.2mm]. Comme attendu, la capacité statique C0 diminue lorsque l’écartement entre les électrodes augmente. La courbe présentant l’amplitude de l’admittance du circuit équivalent en fonction de l’écartement des électrodes (Figure 2.15 B) suit la même évolution car, hors de la fréquence de résonance, le circuit équivalent peut être approximé par le comportement de la capacité statique.

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A) B)

Figure 2.15 – Valeur de la capacité statique et de l’admittance en fonction de l’écartement des électrodes (ep=50µm,

de=2.8mm).

2.5.3.2 La branche motionnelle

La branche motionnelle correspond à la partie acoustique du résonateur. Le modèle mécanique d’un résonateur, un système masse-ressort-amortisseur (Figure 2.16 A), est ici associé par analogie à un schéma électrique équivalent bobine-capacité-résistance (Figure 2.16 B).

Figure 2.16 - Modélisation équivalente d’un oscillateur suivant un modèle mécanique (A) ou électrique (B).

Le système vibrant est donc associé à un circuit résonant d’impédance électrique équivalente Zm. La

capacité motionnelle Cm et l’inductance motionnelle Lm sont reliées à l’élasticité du matériau et

définissent la fréquence de résonance du système. Les expressions de ces deux composants, dans la configuration Figure 2.5 B, sont données par :

( ) ( ) (2.66) C L R b k m B) A)

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La résistance motionnelle Rm inclue l’ensemble des pertes mécaniques du transducteur liées à la

viscosité dynamique du matériau, aux effets de bords lors de sa fixation ainsi qu’à la qualité des contacts électriques. Expérimentalement, cette grandeur peut varier de manière importante. Plus elle sera faible, plus la sensibilité du capteur sera élevée. Son expression théorique est, dans la configuration considérée (membrane (100), électrodes orientées <110>) :

(2.67)

où w est la largueur de la plaque considérée et η le facteur viscoélastique du matériau.

Notons ici que les équations (2.66) et (2.67) s’obtiennent :

o 1) en faisant l’approximation que nous sommes proches des fréquences de résonance, avec :

o 2) en substituant cette approximation dans l’équation (2.64) o 3) en développant l’équation ainsi formée en

o 4) en identifiant les termes A, B, et C obtenus avec les composants de l’impédance équivalente à la branche motionnelle [15, 16]

2.5.3.3 Comportement

Le modèle BVD illustré Figure 2.14 permet une représentation du résonateur autour de ces deux fréquences fondamentales :

- la fréquence de résonance série, la résonance fr, induite par la branche motionnelle :

√

(2.68)

- la fréquence de résonance parallèle, l’antirésonance fa, induite par la branche motionnelle et

la capacité statique :

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(2.69)

Les harmoniques d’ordres supérieurs peuvent être également prédits en complétant le circuit précédent par des branches séries (Lm, Rm, Cm) montées en parallèle. Les fréquences de résonance et

d’antirésonance correspondent respectivement au minimum et au maximum de l’amplitude de l’impédance. La résonance et l’antirésonance forment donc deux pics caractéristiques sur le tracé d’impédance (Figure 2.17 A) ou d’inductance. A ces deux pics, on associe les facteurs de qualité respectifs Qr et Qa, qui sont inversement proportionnels à Rm et qui définissent la sélectivité

fréquentielle du dispositif.

{

(2.70)

où r et a sont les pulsations associées aux fréquences de résonance et d’antirésonance.

Sur le tracé de phase (Figure 2.17 B), le comportement initial essentiellement capacitif (Cm, déphasage de -90°) passe progressivement vers un comportement inductif (Lm, déphasage de +90°) après la fréquence de résonance. A la fréquence de résonance, l’impédance est alors minimale et égale à . A la fréquence d’antirésonance, l’impédance est alors maximale et vaut

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Figure 2.17 – Simulation du comportement du résonateur constitué d’une membrane de GaAs de 50µm d’épaisseur : A) tracé du module de l’impédance, B) tracé de la phase de l’impédance.

Les amplitudes et par conséquent le coefficient de qualité sont fortement dépendants du coefficient viscoélastique du matériau. Malgré nos recherches bibliographiques, nous n’avons pas pu obtenir le coefficient viscoélastique du GaAs. Comme première approximation, nous l’avons estimé à 10-2 kg.m-1.s-1 (coefficient viscoélastique du quartz ηq=3.5 10-2 kg.m-1.s-1 [16]) et déterminé ainsi la valeur de 1/Rm, i.e. l’amplitude de l’admittance à la fréquence de résonance (Figure 2.18 A). Le coefficient de qualité calculé est environ de 25600 et l’amplitude de l’admittance environ 3,6.10-4 S avec ce coefficient viscoélastique. Les Figure 2.18 B et C montrent l’évolution du facteur de qualité ainsi que de l’amplitude de l’admittance en faisant varier le coefficient viscoélastique sur une plage comprise entre 1.10-2 et 1.10-1. fa fr comportement capacitif comportement inductif comportement capacitif B) Zmin Zmax A)

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Figure 2.18 – A) Evolution du module de l’admittance autour de la fréquence de résonance fr=33.424MHz ; B) évolution du facteur de qualité et C) de l’amplitude de l’admittance en fonction du coefficient viscoélastique η. (ep= 50µm,

g=0.8mm).