Mise en évidence

L’idée de cette section est d’expliquer de manière générale l’origine mathématique de l’ap-parition de minima de Cooper. On s’intéresse à la photoionisation d’un atome par une onde lumineuse de polarisation linéaire. D’un point de vue quantique, cela correspond à réaliser une transition d’un état lié de fonction d’onde électroniqueψi et de nombres quantiques (n_i, l_i, m_i) vers un état du continuum de fonction d’ondeψf d’énergie" > 0 et de moment orbital lf et magnétique m_f. Le spin est négligé ici par simplicité. La probabilité de transition est souvent exprimée au moyen de sa section efficace d’absorptionσ, elle-même reliée au moment de

tran-sition M par :

σ ∝ |M |2= |〈ψf|T|ψi〉|², (4.1) avec T la partie de l’Hamiltonien représentant l’influence du champ électrique de l’impulsion lumineuse incidente. En jauge longueur et dans le cadre de l’approximation dipolaire électrique on peut l’écrire ainsi :

T= −q E.r = +qeE(t )z , (4.2)

avec le champ E polarisé linéairement selon l’axe z et q_ela charge élémentaire.

On se place à présent dans le cadre de l’approximation du champ central, qui suppose que l’électron étudié ressent la présence d’un potentiel moyen correspondant au potentiel du noyau écranté par les autres électrons et qui ne dépend que de sa distance au centre de masse r . En se plaçant dans un système de coordonnées sphériques, adapté à cette symétrie, on peut alors sé-parer les variables radiale r et angulaires (θ ,φ) lors de la résolution de l’équation de Schrödinger

et écrire les fonctions d’ondeψi etψf sous la forme d’un produit : ¨

ψi(r,θ ,φ) = Rnili(r )Ym_i li (θ ,φ)

ψf(r,θ ,φ) = R_"lf(r )Y^mf

Les fonctions Ym

l (θ ,φ) correspondent aux harmoniques sphériques. On note que pour l’atome d’hydrogène et les systèmes hydrogénoïdes, il n’y a qu’un seul électron interagissant avec le noyau de charge+Z qe. Le potentiel est donc réellement central et l’écriture des fonctions d’onde sous cette forme n’est donc pas une approximation.

Si maintenant on remarque que z = r cos(θ ) ∝ r Y0

1 (θ ,φ), le moment de transition peut également se séparer en une contribution radiale et une contribution angulaire, ce qui donne :

( Mr= 〈R_"lf(r )|r |Rn_il_i(r )〉 M_{θ ,φ}∝ 〈Y^mf l_f (θ ,φ)|Y0 1 (θ ,φ)|Ym_i l_i (θ ,φ)〉 ^(4.4)

Les conditions pour que M_{θ ,φ}soit non nul traduisent la conservation des moments orbital l et magnétique m et aboutissent aux règles de sélection dipolaires électriques∆l = ±1 et ∆m = 0.

Quant à M_r on peut l’écrire également :

Mr= Z ∞

0

dr R_"lf(r )r Rn_il_i(r )r2. (4.5)

Le facteur r2vient de l’intégration selon r en coordonnées sphériques. Pour s’en affranchir, on peut écrire aussi :

M_r= Z ∞

0

dr P_"lf(r )r Pnili(r ) (4.6)

avec P_nili(r ) ≡ r Rnili(r ) et P_"lf(r ) ≡ r R_"lf(r ). La valeur de Mrdépend donc du recouvrement de ces deux fonctions radiales. Or, ces dernières peuvent a priori changer de signe avec r , contribuant tantôt positivement tantôt négativement à l’intégrale de l’équation4.6.

La figure4.2, extraite de l’article deCarlson et al.(1986) permet d’illustrer ceci dans le cas de l’argon. Les fonctions des états initiaux P_2pet P_3py sont représentées, ainsi que quelques fonc-tions du continuum (l_f=2) pour trois valeurs d’énergie " exprimées en Rydberg (1 Ry ≈ 13,6 eV). De manière générale, le nombre de nœuds d’une orbitale (n , l ) est égal à n− l − 1. Ainsi les seules orbitales n’ayant pas de nœud sont celles pour lesquelles l = n −1, soit 1s , 2p, 3d , 4f , etc. Une orbitale 3p possède ainsi 3− 1 − 1 = 1 nœud. C’est ce que l’on observe sur la figure4.2. On constate par ailleurs que les fonctions du continuum oscillent d’autant plus que leur énergie est élevée.

Considérons à présent le recouvrement de P_3pavec P_"2à l’aide de cette figure. À faible éner-gie d’électron (" = 0,1 Ry), P_"2 est positif sur toute la gamme de r où P_3p est non nul et P_3p est majoritairement négatif. M_r est donc négatif. Lorsque l’énergie" augmente, le premier nœud

de P_"2se rapproche de r = 0 augmentant la région où P"2et P_3p sont tous deux négatifs, contri-buant positivement à M_r. À une certaine énergie la contribution positive l’emporte : M_rs’annule et devient positif, annulant de fait la section efficaceσ, qui passe donc par un minimum avant

d’augmenter à nouveau à plus haute énergie : c’est un minimum de Cooper.

Dans le cas de P_2p, on observe que le recouvrement avec P_"2 est toujours positif. M_r ne change donc pas de signe et la section efficace ne passe pas par un minimum.

4.1. Description du minimum de Cooper

FIGURE4.2 – Figure extraite de l’article deCarlson et al.(1986) montrant quelques fonctions radiales liées (argon) et du continuum.

D’aprèsCooper(1962), il semble nécessaire que P_nili(r ) change de signe et possède donc au moins un nœud (ailleurs qu’en r = 0). Ainsi, toutes les orbitales autres que 1s , 2p, 3d , 4f , etc. peuvent a priori présenter un minimum de Cooper. Cette condition a plus tard été affinée par une étude systématique du moment M_r(et de la fonction R_i) au sein d’une large variété d’atomes, menée parManson(1985) et débouchant notamment sur les conclusions suivantes :

— aucun minimum n’apparaît dans l’atome d’hydrogène (ou dans les atomes/ions hydro-génoïdes), que l’on parte de l’état fondamental ou d’un état excité, en raison de la nature purement coulombienne du potentiel d’attraction de l’électron (Fano et Cooper,1968) ; — l’ionisation depuis la couche 2s ne donne pas de minimum (Fano et Cooper, 1968),

ex-cluant ainsi le néon à l’état fondamental des candidats possibles ;

— dans un état initial de moment orbital l > 0 (p, d , f ou supérieur) la transition se fait par

deux canaux : l → "(l − 1) et l → "(l + 1). Il se trouve que seul le second canal peut donner lieu à un minimum (Fano et Cooper,1968) lorsque l’on part de l’état fondamental ;

— en partant de l’état fondamental de l’atome, il y a tout au plus un minimum par sous-couche considérée (Manson, 1985). Ce n’est pas le cas en partant d’états excités, où par exempleLahiri et Manson(1982) montrent que deux minima sont associés à la transition 9d → " f dans le césium. Ils montrent en même temps que la transition 9d → "p présente également un minimum.

On constate que parmi les gaz rares, le plus petit atome possédant un minimum de Cooper en partant de son état fondamental est l’argon, sur lequel un intérêt considérable a donc été porté (et continue de l’être), entre autres car il présente des effets relativistes moins importants que pour le krypton ou le xénon.