2.4 Association de données
2.4.2 Mise en correspondance des amers et méthode des plus proches voisins
2.4.2.1 Mise en correspondance individuelle des amers
Lors de l’utilisation d’un filtre de Kalman, la carte estimée par le système et les observations de l’environnement sont supposées suivre des lois gaussiennes. Il est alors possible de mettre en correspondance, de manière statistique, les amers composant la carte estimée et les mesures de ceux-ci.
Cette mise en correspondance est réalisée dans l’espace d’observation. La projection des amers de la carte estimée, ˆXj, dans le repère associé à la position du robot est nécessaire. Cette
projection est modélisée par la fonction non-linéaire h. La position prédite de l’amer s’écrit
h(ˆXj).
Pour savoir si une entité estimée correspond à une mesure, les tests de validation s’appuient sur le calcul du carré de la distance de Mahalanobis12. Étant donnée l’innovation νij = Zi − h(ˆXj) et sa matrice de covariance associée Sij, le carré de la distance de Mahalanobis12 [12]
est définie par :
dij = νijT.S−1ij νij (2.31)
Cette distance dij suit une distribution du χ2. Cette distribution permet de déterminer un
seuil pour savoir si la mesure Zi correspond à l’amer de la carte estimée ˆXj. Pour prouver cette
correspondance, l’inéquation suivante doit être vérifiée :
dij < χ2n,α (2.32)
Les paramètres de la distribution n et α correspondent respectivement au nombre de degrés de liberté des entités comparées et au seuil de signification.
Un exemple simple de l’application de la distance de Mahalanobis est donné sur la figure 2.10. La carte estimée est composée d’un amer ˆX1 et l’observation de l’environnement nous donne deux positions d’amer Z1 et Z2. Les distances de Mahalanobis sont données par d11et
d21 et le seuil du χ2 est représenté par les ellipses sur la figure 2.10. Dans cet exemple, seule la mesure Z1 correspond à l’amer ˆX1. La deuxième mesure, Z2, sera considérée comme une nouvelle entité sur la carte estimée.
Maintenant que les notions de distances probabilistes et de seuils sont présentées, les pro- chains paragraphes vont présenter les différents types d’associations individuelles rencontrés lors de l’utilisation de cartes hétérogènes de l’environnement.
Figure 2.10: Application de la distance de Mahalanobis : les flèches noires représentent les
distances de Mahalanobis entre les deux mesures et la position estimée de l’amer, les ellipses en pointillés correspondent au seuil du χ2 employé pour la mise en correspondance des entités. Dans cet exemple, seul la mesure Z1 est associée.
2.4.2.2 Mise en correspondance d’amers de type cercle
La mise en correspondance d’un amer de type cercle est identique à celle d’un amer point. Soit l’innovation ν correspondant à la différence entre le vecteur de la mesure d’un cercle, Z, et le vecteur prédit, h(ˆX), d’un cercle de la carte estimée. Le carré de la distance de Mahalanobis,
d, de ce couple d’amers s’écrit :
d= (Z − h(ˆX))T.S−1.(Z − h(ˆX)) (2.33)
où la matrice S correspond à la somme des covariances de la mesure et de l’amer prédit. Ensuite, un test du χ2 (inéquation (2.10)) est réalisé avec un nombre de degrés de liberté égal à deux et un nombre d’écart-types égal à deux. Le seuil, obtenu à partir de la distribution
χ2 s’écrit donc χ22,0.95.
2.4.2.3 Mise en correspondance de deux droites
Le calcul de l’innovation entre deux droites est différent de celui calculé avec des amers de type point ou de type cercle. L’orientation de la droite doit être prise en compte lors de l’association de deux droites.
Soient deux amers de type droite, XWA et XWB définis dans le repère global W avec comme matrice de covariance CXW
A et CXBW. L’innovation entre la droite estimée A et la droite mesurée
B (figure 2.11), correspond à la transformation rigide entre les deux droites. Elle correspond à
la variable XABassociée à une matrice de covariance SAB. Le calcul de ce vecteur repose sur les
équations de composition (cf. l’annexe B) :
XAB= XWA ⊕ XWB = XAW ⊕ XWB (2.34) SAB = J1⊕(XAW, X W B).CXA W.J T 1⊕(XAW, X W B) + J2⊕(X A W, X W B).CXW B .J T 2⊕(XAW, X W B) (2.35) avec : CXA W = J(X W A).CXW A .J T (XWA) (2.36)
Si la transformation rigide XAB est nulle, ou quasiment nulle à une incertitude près définie dans SAB, les amers A et B représentent la même entité. Pour statuer sur l’association de ces
deux amers, une distance NIS (2.31) est calculée. Cependant, l’information utile apportée par une droite correspond à l’orientation et la translation latérale, respectivement θL et yL. Pour
n’utiliser que cette information, la théorie des symétries, définie dans l’article [145], est utilisée. La transformation rigide XABest multipliée par une matrice, dite de liaison, Bdroite définie par :
Bdroite = 0 1 0 0 0 1 (2.37) La distance NIS dAB est obtenue par le calcul suivant :
dAB= [Bdroite.XBA]T.[Bdroite.SAB.BTdroite]−1.[Bdroite.XBA] (2.38)
Ensuite, le test du χ2 est appliqué via l’inéquation (2.32). Le nombre de degrés de liberté de la distribution du χ2 est défini par la matrice de liaison, dans le cas des droites, il est égal à deux.
2.4.2.4 Mise en correspondance d’une droite et d’un cercle
La représentation des droites utilisées [27] permet d’associer très simplement deux amers avec des géométries différentes, par exemple une droite et un point. L’amer de type point n’ayant pas d’information angulaire, la distance qui sera calculée correspondra au déplacement latéral entre le point et la droite (cf. la figure 2.12). Ce déplacement correspond tout simplement à la perpendiculaire à la droite passant par le point. Comme dans le cas de la mise en correspondance de deux droites, le calcul s’appuie sur la définition d’une matrice de liaison permettant de définir les symétries entre les deux amers :
Bdroite−point = 0 1 0 0 0 0 (2.39) Pour être cohérent avec les notations dans le calcul de la distance NIS, l’orientation de l’amer de type point sera nulle. La transformation rigide entre les deux amers est donnée par :
Figure 2.12: Mise en correspondance d’une droite et d’un point.
La distance de Mahalanobis s’obtient avec l’équation :
dAC= [Bdroite−point.XAC]T.[Bdroite−point.SAC.B T
droite−point]−1.[Bdroite−point.XAC] (2.41)
Si la condition du test du χ2 n’est pas remplie, la mesure du cercle est retenue. Si le test est validé, la mesure correspond à une fausse détection et sera donc supprimée.
2.4.3
Méthode des plus proches voisins
La mise en correspondance individuelle d’une mesure et d’une prédiction de position d’amer est simple. Dans une application SLAM, une carte, qu’elle soit mesurée à l’instant courant ou estimée, est composée de plusieurs amers. La mise en correspondance se révèle parfois délicate (cf. la figure 2.13). La position estimée de l’amer ˆX1 s’associe statistiquement avec les deux mesures Z1 et Z2. Pour résoudre cette ambigüité, la méthode la plus couramment utilisée est celle des plus proches voisins. Cette méthode correspond à une maximisation de la probabilité de l’association d’une entité i avec une autre entité j :
Λij = 1 (2π)( n2 ).√|S ij| exp−12 .νijT.S−1ij .νij (2.42) La variable νij, définie avec une matrice de covariance associée Sij, correspond à l’innovation
entre la mesure i et l’estimation j. La maximisation de la probabilité Λij revient à choisir la
mesure Zi qui minimise la distance normalisée Nij [12] :
Nij = νijT.S−1ij .νij + ln |Sij| (2.43)
La méthode des plus proches voisins donne de bons résultats lorsque la carte estimée contient peu d’amers. Lorsque l’environnement est composé d’un grand nombre d’éléments, ses perfor- mances se détériorent rapidement. En pratique, à cause de mauvaises associations, la carte es- timée diverge et la position du robot devient erronée. Plusieurs méthodes permettant d’atténuer ce problème existent dans la littérature.
Figure 2.13: Méthode des plus proches voisins : exemple de mise en correspondance ambigüe.
La méthode d’association de données PDA13[13] incorpore une incertitude induite par ces associations ambigües. Cette méthode combine l’information provenant de toutes les associa- tions candidates comme une moyenne pondérée de mises à jour individuelles. L’incertitude de cette mise à jour combinée est modifiée pour représenter l’incertitude de l’association. Une forme améliorée de cet algorithme nommée JPDA14 [65] permet un suivi de piétons à l’aide
d’un télémètre laser.
L’approche de suivi d’hypothèses multiples, MHT15 [138], permet de résoudre en partie le
problème. Cet algorithme retarde l’application d’assignation délicate entre une mesure et une prédiction en réalisant un suivi individuel pour chaque association ambigüe. Lorsque de nou- velles mesures sont réalisées, de nouvelles hypothèses sont créées et les anciennes sont mises à jour. L’apport de ces nouvelles informations permet de résoudre les associations ambigües obtenues avec d’anciennes mesures. Le problème de cette méthode est qu’elle réduit le nombre d’associations à chaque itération bien qu’elle résolve le problème des ambigüités de façon effi- cace.
Les deux méthodes précédentes essaient de réduire les ambigüités d’association des amers soit en retardant la décision de mise en correspondance ou en prenant en compte statistiquement l’ambigüité d’association. Ceci implique une réduction du nombre de possibilités d’associations et donc du nombre d’éléments de la carte mis à jour. Une solution plus pertinente correspond à l’algorithme JCBB11détaillé dans le chapitre suivant.