Analyses et études des corrélations

Pour le filtre EKF-SLAM, que le véhicule soit stationnaire ou mobile, dès que l’incertitude sur l’orientation du véhicule n’est plus négligeable, les estimations du filtre deviennent incon- sistantes. En revanche, le filtre PEKF-SLAM répond aux théorèmes de convergence. Pourtant, cette approche calcule les matrices jacobiennes à partir d’estimations de paramètres. Comme ces estimations sont corrigées à chaque mise à jour du filtre, les valeurs des jacobiennes diffèrent d’une itération à l’autre du filtre. La linéarisation des équations est donc inexacte. Les mêmes phénomènes d’inconsistance rencontrés avec le filtre EKF devraient être observés. Mais, comme le montrent les résultats des simulations, le phénomène d’inconsistance des estimations n’est pas constaté. L’étude des matrices jacobiennes d’observation des deux types d’amers couplée à une analyse des corrélations permettent d’apporter une explication. Prenons comme exemple les corrélations obtenues lorsque le véhicule se déplace et observe un seul amer. Les résultats du filtre EKF et du filtre PEKF sont présentés sur la figure 3.9.

Résultats avec l’approche EKF-SLAM :

Dans le cas de l’application du filtre EKF-SLAM (figures 3.9 (a) et (c)), une forte corré- lation entre l’orientation du véhicule θv et les autres états de la carte estimée est constatée.

Cette corrélation est la conséquence de la non-linéarité des équations du système (prédiction, observation et cartographie). Elle est logique d’un point de vue mathématique mais accentue l’inconsistance des estimations due à la non-linéarité du système. En effet, les erreurs réalisées lors de la linéarisation sont synonymes d’informations incohérentes. Elles sont modélisées par des valeurs de jacobiennes différentes d’une itération à l’autre du filtre EKF. Lors de l’étape de mise à jour, ces informations erronées sur l’orientation du véhicule, θv, sont répercutées sur

les estimations de toute la carte via les corrélations précédemment observées. Après seulement quelques itérations du filtre, les estimations de l’incertitude sur la position du véhicule et des amers deviennent trop optimistes.

Linéariser les équations du système à partir de valeurs exactes est la solution idéale. Cepen- dant, cette hypothèse n’est pas concevable dans une application SLAM si aucune information sur l’environnement n’est disponible. Cependant, l’application PEKF-SLAM propose une al- ternative dans le but d’atténuer ce problème.

Résultats avec l’approche PEKF-SLAM :

Les matrices de corrélation obtenues avec le filtre PEKF-SLAM sont présentées sur les fi- gures 3.9 (b) et (d). Dans les deux cas d’étude, certains états ne sont que très faiblement corrélés entre eux. Pour le véhicule, les états z₁ à z₅, décrivant sa position dans la carte estimée, sont très faiblement corrélés avec les autres états z₆ à z₁₂ qui décrivent la non-linéarité des équa- tions du système. Comme pour le véhicule, les états zpi1et zpi2d’un amer point sont faiblement

corrélés aux états, dits non-linéaires, zpi3 à zpi6 (figure 3.9 (b)). De même pour l’amer ligne,

les états zli1 à zli5 sont faiblement corrélés aux états non-linéaires zli6 à zli17 (figure 3.9 (d)).

Ces décorrélations entre ces différents états proviennent de la réécriture des équations du filtre EKF en sommes de polynômes. En effet, les équations d’observation sont uniquement fonc-

(a) (b)

(c) (d)

Figure 3.9: Matrice de corrélation pour le cas d’étude où le véhicule se déplace d’un point A à

un point B et observe un point : (a) filtre EKF et (b) filtre PEKF. Matrice de corrélation pour le cas d’étude où le véhicule se déplace d’un point A à un point B et observe une droite : (c) filtre EKF et (d) filtre PEKF. Les cases de couleur foncée représentent une forte corrélation entre deux états et, inversement, une couleur claire représente une faible corrélation entre deux états.

tions des états z₆ à z₁₂ pour le véhicule, zpi3 à zpi6 pour un amer point et zli6 à zli17 pour un

amer ligne. Les erreurs introduites à cause de la linéarisation de ces équations n’affectent que les états non-linéaires. Les estimations des états décrivant la position du véhicule et des amers restent correctes comme le prouvent les résultats de simulation.

L’étude des fonctions d’évolution des états permet de compléter le raisonnement. Lors de cette étape, la matrice du système P est modifiée avec l’ajout du bruit sur les commandes du système. Comme le déplacement du véhicule est modélisé par une fonction non-linéaire, des corrélations entre les états du système sont créées. En particulier, des corrélations entre les états linéaires et ceux non-linéaires. Ce sont ces corrélations qui permettront une correction de la carte estimée qui sera donc uniquement proportionnelle au bruit sur les commandes du véhicule. Comme dans notre exemple, les bruits sur les données proprioceptives sont faibles, les corrélations entre ces différents états sont faibles également.

Le filtre PEKF-SLAM garantit une estimation correcte des incertitudes décrites dans la ma- trice de covariance P en comparaison à l’approche classique EKF-SLAM. Comme les incer- titudes sur les états des éléments de la carte sont très proches des valeurs idéales, il est donc envisageable d’améliorer l’étape d’association de données du filtre (cf. l’annexe D).

Nous venons d’étudier des résultats de simulation sur des scenarii simples. Ceci nous a permis de mettre en lumière les comportements des filtres dans des configurations différentes. Maintenant, leur comportement lors de la fermeture de la trajectoire du véhicule va être étudié.