Mise en équations -;

Bien que nous traitions un cas de convection naturelle, nous admettrons, pour développer nos calculs, que nous sommes dans le domaine d'application de

l'hypothèse de BC'JSSINESQ : les variations des propriétés physiques du fluide i peuvent être négligées, à l'exception de la masse volumique dans le terme

caracté-'f':

risant les forces de volume. ; Cette hypothèse suppose que les variations de température auxquelles est soumis ^

le fluide sont petites devant la valeur absolue de la température. Or, les nom-bres de Grashof pour lesquels notre traitement numérique converge correspondent à de faibles écarts de température. Far contre, noua constaterons au Chapitre III la nécessité de tenir compte de la variation des propriétés physiques en fonction de la température, lors de nos essais expérimentaux où les écarts de température sont importants.

- Eguation_thermodvnami£ue

Le fluide étant considéré incompressible, nous avons :

(1.1) P' " p ^ -S(T'-T) h

P I i

6 : coefficient de dilatation volumique (à pression constante) < V

~ Equation de continuité

(1.2) ||£+ p. div V - 0 v qui peut encore s'écrire :

Four l e cas du fluide incompressible en mouvement permanent, nous

où (U,V) sont les composantes de la vitesse V selon (0X,0Y).

- Eguation_de l'énergie (1.6) g - a . A T ⁺ ^

-X P

avec a » ., diffusivité thermique du fluide et W terme source interne de

P P chaleur.

N'ayant pas ici de source interne de chaleur, nous avons en régime permanent :

( K 7 ) U

3 X

^{+ V}

3 Y - ° W + W*

(1.8) p? - p F - grad p + div ?

p : masse voulumique du fluide p : pression hydrostatique

T : tenseur des contraintes visqueuses F : force de volume

Le fluide est considéré isovolume, ce qui permet d'écrire : (1.9) div f - u UN

Nous avons d'autre part :

v • *• viscosité cinématique du fluide P ^M P + P gY pression

Four le régime permanent, l'équation de la dynamique s'écrit alors, en projection sur les axes :

19

Compte tenu des hypothèses faites, le phénomène est décrit par les équations simplifiées : (1.5), (1.7), (1.10a), (1.10b) auxquelles il faut ajouter les conditions limites propres à chaque cas :

. thermiques : température imposée ou condition de flux

. dynamiques : imperméabilité, vitesse nulle à la paroi dans le cas de la convection naturelle.

Nous sommes dans le cas d'un écoulement plan ; nous pouvons définir : . la fonction de courant ¥ telle que :

(1.11) d>F - U dY - V dX soit U - | Yet v * " f j . la vorticité fl telle que :

(1.12) U « rot v soit u * â~7 ~ 57f (composante non nulle de S) Ces définitions vérifient la relation :

(1.13) A"F - - u

Nous pouvons réécrire le système d'équations précédent avec les nouvelles variables (w,1?) :

- Equation de continuité 3 U 3 V

(1.14) ait ⁺ av " "^est identiquement vérifié - Equation de l'énergie

, . . . . 3¥ 3T 3¥ 3T ,3² T ^ 3²T\.

( 1'^{1 5 )} 3Y ' 3X " 3X * 3Y *^aW " ⁺ W>

- Equation de la dynamique

Dérivons (1.10b) par rapport à X et (l.IOa) par rapport à Y ; retran-chons membre à membre ; nous obtenons :

(K ]6 ) S T • 3 X " 3 X - 3 Y " - 8e3 X ( T_ T) +V ' (3JF + 3JF>

- Les conditions limites du problème s'écrivent :

. thermiques : T - constante pour les parois à température imposée

Dans le cas de la convection mixte, les grandeurs caractéristiques liées au phénomène sont :

. une longueur : L . une vitesse : U

. un écart de température : AI

Ces trois grandeurs caractéristiques permettent de définir une adimensionnalisation telle que : '

-V .

^x

v

¹

.

^Y

Dans le cas de la convection naturelle, nous avons seulement deux grandeurs caractéristiques du phénomène :

. une longueur : L

. un écart de température : AT

Il nous faut choisir une vitesse caractéristique. Un raisonnement aux dimensions nous conduit à trois possibilités de vitesse adimensionnelle

- 21

V, « V.— habituellement utilisée pour les fluides à Prandtl faible

l a r

(métaux liquides)

V» > V . — habituellement utilisée pour les fluides â Frandtl 2 v

élevé (huiles)

1 habituellement utilisée pour les fluides V8-P- • classiques (eau, air)

Evaluons, pour les cas qui nous intéressent, l'ordre de grandeur des trois paramètres.

Si nous prenons, pour une température moyenne de 40"C, dans l'eau : L « 0,3 m

a .

0 , 15 . l u "⁶ m . s ^{2 -1} V

.

0 , 6. 10"⁶ m². s - '

S -

^{4 . 10 •4K "}

AT

-

50 K

Nous obtenons donc pour les trois paramètres

~a c ,_-7 -1 T- = 5.10 m.s

£ « 2.10"

⁶

m.s"

¹

\/g.B.AT.L «\/9,81.4.10"4.50.0,3 = 0,24 m . s "1

Si nous prenons, pour une température moyenne de 400°C, dans le sodium L » 0,3 m

Nous obtenons donc pour les trois paramètres j - = 2,3.10^{- 4} m . s -¹

Nous remarquons que, aussi bien pour le sodium que pour l'eau, la vitesse caractéristique de la forme,/g.8.AT.L est de l'ordre de grandeur des vitesses de convection naturelle. La vitesse caractéristique de la forme =-est de l'ordre de grandeur des vitesses de diffusion thermique ; celle de la forme =- est de l'ordre de grandeur des vitesses de diffusion visqueuse.

L'objectif essentiel de nos calculs étant l'étude de la convection naturelle en fluide classique, nous avons choisi la vitesse caractéristique de convection naturelle./g.0.AT.L pour l'ensemble des cas étudiés.

Nous retiendrons donc l'adimensionnalisation liée aux trois grandeurs caractéristiques de longueur, de vitesse et de température :

L, ./g.B.AT.L , T

1.2.3.2 E2uations_adimensionnelles

Les grandeurs adimensionnelles précédentes nous permettent d'écrire le système d'équations précédent sous forme adimensionnelle.

- Equation de définition de la vorticité : M • - w Cette équation devient :

3 3? 3 Y

2

- Equation de l ' é n e r g i e

L'équation (1.15) devient :

(1 i s ) 2 ^ 3_3f _ 3 ? _ 31? _ et _

⁽

3fjf

⁺

3f!

^}

3$ 3% 3$ 3 $ L./g.g.AT.L 33? 3Y2

- Equation de l a dynamique

L'équation (1.16) devient :

, , . . . 3 ? 3w 3 ? 3w , 3T , v . , 3²u! . 3^Jw , 3Y 3X 3X 3Y 3X L^/g.g.AT.L 3 # 3Y² Nous retrouvons l e s deux groupements adimensionnels :

23

-. Pr • — : nombre de Frandtl

Ce nombre traduit le rapport de la diffusion visqueuse sur la diffusion thermique. Il est caractéristique des seules propriétés physiques du fluide.

3

. Gr » &&—:— : nombre de Grashof V²

Ce nombre tra'duit le rapport des forces de volume aux contraintes visqueuses.

Le système d'équations - avec ses conditions limites - décrivant le phénomène de convection naturelle en cavité ne dépend que de ces deux groupe-ments adimensionnels : Gr et Fr.

- Equation de définition

- Equation de l'énergie

(121) 3$ 3Ï _ 3? 3% , 1 / 3 f l

⁺

3 i i Û ' 3$ & ' 3$ Pr. Jëv"[& &

- Equation de la dynamique

(1.22) 3^ . 3" - 3^ . 3" -. 1.3^ i ' .f3'" i 3' "

3$ 3$ Û 3$ Û \fâr \& 3^

Les conditions limites sont de la forme :

. thermiques: T - constante pour les parois à température imposée

—- » 0 pour les parois à flux nul

Pour l'intégration numérique du système d'équations précédent, nous avons travaillé sur le code de calcul mis au point par GRAND et LATROBE (1973).

Ce code a été élaboré pour résoudre un problème de convection mixte et étudier les courants de recirculation dans une cavité. Certaines modifications permettent

de l'appliquer au cas de la convection naturelle auquel nous nous intéressons.

Dans le document THESE L'UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD DE LYON. pour obtenir te titre de DOCTEUR - INGÉNIEUR. Denis TENCHINE. Ingénieur diplômé de l'e.n.s.e.m. (Page 22-29)