Rappels d’optimisation
3.1 Minimisation
Ce chapitre est principalement constitué de rappels sur la théorie de l’op-timisation (voir [1], [26], [27], [34], [53] pour plus de détails). Les résultats sont donnés sans démonstration.
3.1.1 Définitions et notations
Soit V un espace de Banach, c’est-à-dire que V est un espace vectoriel muni d’une norme, notéev, etV est complet pour la topologie induite par cette norme (toute suite de Cauchy est convergente). On considère un sous-ensembleK⊂V où l’on va chercher la solution : on dit queKest l’ensemble des élémentsadmissiblesdu problème, ou bien queKdéfinit lescontraintes s’exerçant sur le problème considéré. Enfin, on veut minimiser uncritère, ou une fonction coût, ou une fonction objectif, J, définie sur K à valeurs dansR. Le problème de minimisation considéré est donc
v∈K⊂Vinf J(v). (3.1)
La notation (3.1) désigne aussi l’infimum deJ surK (ou, plus couramment, sa valeur minimum), c’est-à-dire la borne supérieure dans R des constantes qui minorent J surK. SiJ n’est pas minorée surK, alors la valeur de (3.1) est −∞. SiKest vide, par convention la valeur de (3.1) est+∞.
Lorsque l’on utilise la notationinfpour un problème de minimisation, cela indique que l’on ne sait pas, a priori, si la valeur du minimum est atteinte, c’est-à-dire s’il existev∈K tel que
J(v) = inf
v∈K⊂VJ(v).
Si l’on veut indiquer que la valeur du minimum est atteinte, on utilise de préférence la notation
v∈minK⊂VJ(v),
mais il ne s’agit pas d’une convention universelle (quoique fort répandue).
Pour les problèmes de maximisation, les notationssupetmaxremplacentinf et min, respectivement. Précisons quelques définitions de base.
Définition 3.1.On dit que u est un minimum (ou un point de minimum) local de J surK si et seulement si
u∈K et ∃δ >0, ∀v∈K , v−u< δ=⇒J(v)≥J(u).
On dit que uest un minimum (ou un point de minimum) global deJ sur K si et seulement si
u∈K et J(v)≥J(u) ∀v∈K.
Par définition de l’infimum (ou valeur minimum) de J sur K il existe toujours ce qu’on appelle des suites minimisantes.
Définition 3.2.Une suite minimisante du critèreJ sur l’ensembleKest une suite(un)n∈Ntelle que
un∈K ∀n et lim
n→+∞J(un) = inf
v∈KJ(v).
3.1.2 Existence d’un minimum
Lorsque V est de dimension finie on dispose d’un résultat d’existence de minima bien connu.
Théorème 3.3.SoitV un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit K un ensemble fermé non vide de V, et J une fonction continue sur K à valeurs dansRvérifiant la propriété, dite “infinie à l’infini”,
∀(un)n≥0 suite dansK , lim
n→+∞un= +∞=⇒ lim
n→+∞J(un) = +∞. (3.2) Alors il existe au moins un point de minimum de J sur K. De plus, on peut extraire de toute suite minimisante de J sur K une sous-suite convergeant vers un point de minimum surK.
Remarque 3.4.Notons que la propriété (3.2), qui assure que toute suite mini-misante deJ surK est bornée, est automatiquement vérifiée siK est borné.
Dans ce cas, l’idée principale de la démonstration du Théorème 3.3 est que les fermés bornés sont compacts en dimension finie. • Malheureusement, dans la plupart des situations de l’optimisation de formes, l’espace “naturel” V n’est pas de dimension finie. On ne peut pas géné-raliser le Théorème 3.3 car en dimension infinie les fermés bornés ne sont pas
compacts ! Dans ce cas les choses sont beaucoup plus compliquées comme le montre le contre-exemple suivant. Malgré son caractère simplifié, cet exemple est très représentatif de problèmes réalistes d’optimisation de formes (entre autres). On considère l’espace de Sobolev V = H1(0,1) muni de la norme v = 1
L’applicationJ est continue surV, et la condition (3.2) est vérifiée puisque J(v) =v2−2
ce qui impliqueraqu’il n’existe pas de minimum de J sur V :en effet, si (3.4) a lieu et siuétait un minimum deJ surV, on devrait avoirJ(u) = 0, d’oùu≡0et |u′| ≡1(presque partout) sur(0,1), ce qui est impossible.
0 k/n 1
1/n
Fig. 3.1.Suite minimisanteunpour le problème (3.3).
Pour obtenir (3.4), on construit une suite minimisante(un)définie pourn≥1 par
comme le montre la Figure 3.1. On voit facilement queun ∈V et que la dérivée (un)′(x) ne prend que deux valeurs : +1 et −1. Par conséquent, J(un) = 1
0 un(x)2dx= 4n1, ce qui prouve (3.4).
Pour obtenir des résultats d’existence en dimension infinie, on peut utiliser la notion deconvexité.
Définition 3.5.Un ensemble K ⊂V est dit convexe si, pour tout x, y∈ K et tout réel θ∈[0,1], l’élément(θx+ (1−θ)y)appartient àK.
Définition 3.6.On dit qu’une fonction J définie sur un ensemble convexe non videK∈V et à valeurs dansRest convexe surK si et seulement si
J(θu+ (1−θ)v)≤θJ(u) + (1−θ)J(v) ∀u, v∈K, ∀θ∈[0,1]. (3.5) De plus, J est dite strictement convexe si l’inégalité (3.5) est stricte lorsque u=v etθ∈]0,1[.
Pour les fonctions convexes il n’y a pas de différence entre minima locaux et globaux comme le montre le résultat élémentaire suivant.
Proposition 3.7.SiJ est une fonction convexe sur un ensemble convexeK, tout point de minimum local de J sur K est un minimum global.
Si de plus J est strictement convexe, alors il existe au plus un point de minimum.
Nous pouvons maintenant énoncer un résultat d’existence de minimum dans le cas d’un espace de dimension infinie.
Théorème 3.8.Soit K un convexe fermé non vide d’un espace de Banach réflexif V, et J une fonction convexe continue sur K, qui est “infinie à l’infini” dans K, c’est-à-dire qui vérifie la condition (3.2), à savoir,
∀(un)n≥0 suite dansK, lim
n→+∞un= +∞=⇒ lim
n→+∞J(un) = +∞. Alors il existe un minimum de J surK. Si de plusJ est strictement convexe sur K, alors son minimum dansK est unique.
Remarque 3.9.On dit qu’un espace de BanachV est réflexif si le dual de son dual, V′, est V, c’est-à-dire si(V′)′ =V. Cette propriété est vérifiée par les espaces de Hilbert, les espacesLp(Ω)ouW1,p(Ω)avec1< p <+∞.
Le Théorème 3.8 reste vrai siV est le dual d’un autre espace de Banach qui est séparable (c’est-à-dire qui contient une famille dénombrable dense).
C’est le cas, par exemple, pour les espaces L∞(Ω) et W1,∞(Ω). Le but de cette remarque est simplement de dire que le Théorème 3.8 s’applique à une très large classe d’espaces. En pratique, on pourra appliquer ce résultat à tous les espaces de Banach que nous rencontrerons dans la suite. •