Convergence au sens de l’homogénéisation

Y

A(y) (ej+∇^ywj)·eidy. (7.16) De manière équivalente,A^∗ est défini par une formule plus symétrique

A^∗_ij =

Y

A(y) (ei+∇^ywi(y))·(ej+∇^ywj(y))dy, (7.17) qui s’obtient en remarquant qu’à cause de la formulation variationnelle de (7.10)

Y

A(y) (ej+∇^ywj(y))· ∇^ywi(y)dy= 0.

Les formules (7.16) ou (7.17) ne sont pas totalement explicites car elles dépendent des solutions wi des problèmes de cellule que l’on ne peut pas résoudre analytiquement en général. Le tenseur constant A^∗ décrit les pro-priétés effectives ou homogénéisées du milieu hétérogène A_x

ǫ

. Remarquons qu’il ne dépend pas du choix du domaine Ω, de la force f, ou des conditions aux limites sur ∂Ω. Nous donnerons des exemples de calcul explicite de A^∗ dans la Section 7.3.

7.2.3 Convergence au sens de l’homogénéisation

La méthode des développements asymptotiques à deux échelles est seule-ment formelle d’un point de vue mathématique. En général, elle conduit heu-ristiquement à des résultats corrects, mais elle ne constitue pas une preuve du procédé d’homogénéisation. La raison en est que la série postulée (7.6) n’est pas exacte après les deux premiers termes (ce sont les seuls que l’on peut pleinement justifier). Par exemple, cette série ne tient pas compte d’éventuels phénomènes de couches limites au voisinage du bord ∂Ω (qui sont pourtant présentes dans la plupart des cas). Nous renvoyons à [24], [103] pour plus de détails.

Néanmoins, il est possible de justifier rigoureusement que l’équation (7.15) est bien l’équation homogénéisée du problème d’origine (7.4), c’est-à-dire que

uǫ est proche de la solution homogénéisée u lorsque ǫ est petit. Nous nous contentons ici d’énoncer ce résultat.

Théorème 7.5.Soit uǫ la solution de (7.4). Soit ula solution du problème homogénéisé (7.15), et(wi)_1≤i≤N les solutions des problèmes de cellule (7.10).

On a

converge au sens de l’homogénéisationversA^∗. Il est bon de noter que si le terme correcteur est petit (de l’ordre deǫ) dans (7.18), il n’en est pas de même dans (7.19) où le terme correcteur est d’ordre 1.

On peut évidemment déduire de (7.19) une estimation similaire en termes de contraintesA_x

ǫ

∇uǫ(x). Le Théorème 7.5 se généralise facilement à d’autres types de conditions aux limites (Neumann par exemple) ou à d’autres types d’équations (celles de l’élasticité par exemple).

Un cas particulier important pour la suite est celui où le tenseur A(y) correspond au mélange de deux phases α et β. Autrement dit, il existe une fonction caractéristiqueχ(y)(qui ne prend que les valeurs 0 ou 1) telle que

A(y) =αχ(y) +β(1−χ(y)). (7.20) On noteθ=

Y χ(y)dy la fraction volumique de la phaseα:(1−θ)est donc la fraction volumique de la phaseβ.

Définition 7.6.On note Gθ l’ensemble de toutes les tenseurs homo-généisés A^∗ obtenus par homogénéisation du tenseur microscopique (7.20) avec la contrainte de volumeθ=

Yχ(y)dy. Autrement dit,Gθest l’ensemble des matériaux composites fabriqués par mélange des phasesαetβ en propor-tionsθ et(1−θ).

Le Théorème 7.5 et la Définition 7.6 se généralisent comme suit dans le cas non-périodique (voir par exemple [2], [135], [176]). Soit χǫ(x) une suite de fonctions caractéristiques dans L^∞(Ω;{0,1}) (ici ǫ est un paramètre qui tend vers zéro mais qui n’indique pas nécessairement une période ou même une longueur caractéristique). On introduit le coefficient de conductivité

Aǫ(x) =αχǫ(x) +β(1−χǫ(x)). (7.21) Pour f ∈L²(Ω)on introduit la solutionuǫ de

−div (Aǫ(x)∇uǫ) =f dansΩ

uǫ= 0 sur∂Ω. (7.22)

Théorème 7.7.Il existe une sous-suite, toujours notée ǫ, une densité θ ∈ L^∞(Ω; [0,1]) et un tenseur homogénéisé symétrique A^∗(x) ∈ L^∞(Ω;R^N2) tels que χǫ converge en moyenne (faiblement) vers θ,Aǫ converge au sens de l’homogénéisation vers A^∗, c’est-à-dire que, pour tout f ∈ L²(Ω), la solution uǫ de (7.22) converge dans L²(Ω) vers la solution u du problème homogénéisé

−div (A^∗(x)∇u) =f dansΩ

u= 0 sur∂Ω. (7.23)

De plus, pour presque toutx∈Ω,A^∗(x)appartient àGθ(x), introduit dans la Définition 7.6.

Remarque 7.8.On dit qu’une suite de fonctions χǫ converge en moyenne ou faiblement vers une limite θ dans L^∞(Ω) si, pour toute fonction test φ ∈ L¹(Ω), on a

ǫlim→0

Ω

χǫφ dx=

Ω

θφ dx.

Plus précisément d’un point de vue mathématique, il s’agit ici de convergence

“faible ⋆”. Il n’est pas nécessaire pour la suite de maîtriser la convergence faible... Pour plus de détails sur la convergence faible nous renvoyons à [28].

•

Application à l’optimisation de formes

Nous pouvons maintenant appliquer la méthode d’homogénéisation au pro-blème d’optimisation de formes (7.3). Soitχǫune suite (minimisante ou pas) de fonctions caractéristiques. Par le Théorème 7.7 on sait que, pour une sous-suite, la conductivitéAǫ=αχǫ+β(1−χǫ)converge au sens de l’homogénéi-sation vers un tenseur homogénéisé A^∗ ∈Gθ où θ est la limite faible de χǫ. Pour la fonction objectif

J(χ) =

Ω

j(u)dx avec |j(u)| ≤C(1 +|u|²), (7.24) ce même Théorème 7.7 nous dit queuǫ converge versudansL²(Ω), et donc par le théorème de convergence dominée de Lebesgue

J(χǫ) =

Ω

j(uǫ)dx→

Ω

j(u)dx=J(θ, A^∗), oùuest la solution du problème homogénéisé (7.23).

Au vu de ce résultat on décide d’élargir l’espace des formes admissibles en autorisant, dès le départ, les matériaux composites obtenus par mélange des deux phases (ou épaisseurs) αet β Une telle structure composite est déter-minée par deux fonctions : θ(x), la proportion volumique locale de matériau α(prenant ses valeurs entre0 et1), etA^∗(x), le tenseur homogénéisé corres-pondant à sa microstructure.

Les résultats précédents de la théorie l’homogénéisation nous permettent d’établir les faits suivants (pour plus de détails voir [2]). L’ensemble admissible homogénéisé est

Uad^∗ =&

(θ, A^∗)∈L^∞

Ω; [0,1]×R^N2 , A^∗(x)∈Gθ(x)dansΩ,

Ω

θ(x)dx=Vα

' , oùGθest introduit à la Définition 7.6. Le problème homogénéisé est

−div (A^∗∇u) =f dansΩ

u= 0 sur∂Ω. (7.25)

Le problème d’optimisationrelaxé ou homogénéisés’écrit ici

(θ,Ainf^∗)∈U_ad^∗ J(θ, A^∗) =

Ω

j(u)dx, (7.26)

où la fonction objectif n’a pas changé sous l’hypothèse (7.24). Nous verrons dans la Section 7.4 que le problème (7.26) admet toujours une solution optimale et qu’il existe des algorithmes numériques très performants pour sa minimisation. Par ailleurs, nous verrons aussi que toute solution optimale de (7.26) est limite d’une suite minimisante du problème d’origine (7.3), et réciproquement toute suite minimisante de (7.3) converge vers une solution optimale de (7.26).

Cependant, la formulation relaxée (7.26) n’est pas encore entièrement explicite puisque l’on n’a pas encore donné de caractérisation explicite de l’ensemble Gθ! Trouver une représentation simple deGθ est en fait un pro-blème très difficile que nous résoudrons dans la Section 7.3. Nous verrons aussi que l’on n’a pas besoin, en général, de minimiser sur l’ensemble de tous les matériaux composites, mais qu’il suffit de se restreindre à un sous-ensemble particulier, Lθ, de Gθ qu’on appelle les laminés séquentiels. Ces matériaux sont obtenus par mise en couches successives des phases αet β dans des di-rections et avec des proportions données. L’intérêt essentiel de ces matériaux laminés séquentiels est qu’ils ont des propriétés effectives optimales et que leurs tenseurs homogénéisés A^∗ sont donnés par une formule explicite plus simple que (7.17).