La combustion d’une goutte placée dans un milieu gazeux multiespèce composé de gaz oxydants suit des mécanismes de diffusion d’espèces et de chaleur. La formulation sous la forme d’un modèle de flamme de diffusion semble la plus rigoureuse. Dans cette approche, l’aluminium liquide s’éva-pore et rencontre les éléments oxydants qui diffusent vers la goutte pour réagir dans une zone de réaction où s’établit finalement la flamme. La dynamique de la combustion est pilotée par la vitesse de diffusion des espèces combustible et oxydant. Trois éléments sont à prendre en compte : 1- La consommation des espèces au niveau de la flamme. 2- La production de produits de combustion. 3- Le dégagement de chaleur. L’effort de modélisation porte donc sur deux points : la loi d’évapo-ration de l’aluminium et la représentation de la flamme. Il existe aussi deux approches selon que la cinétique de réaction dans le front de flamme est infiniment rapide ou finie (respectivement les cas b) et c) de la Fig.(2.22)).
Dans le cas simplifié d’une approche monoespèce pour le gaz, il ne peut y avoir de diffusion d’espèces et d’étude de flamme (cas a) de la Fig.(2.22)). La stratégie consiste donc à relier la production de chaleur à la quantité d’aluminium liquide supposée avoir brûlé. Les grandeurs caractéristiques de l’unique espèce gazeuse, notée PC, se déterminent à partir de calculs d’équilibre thermodynamique et d’une moyenne faite sur l’ensemble des produits de combustion, des fumées et éventuellement des résidus d’alumine. La masse molaire et la capacité calorifique massique du PC sont fixées pour l’ensemble du calcul et correspondent à une composition unique du propergol et à un point de fonctionnement du moteur donné. Ces calculs d’équilibre thermodynamique sont obtenus à partir du code COPPELIA, développé à l’ONERA [Bourasseau, 1986]. Ce dernier fournit la composition et la thermodynamique du mélange en fin de combustion par une minimisation de l’énergie libre de Gibbs en s’appuyant sur les hypothèses suivantes :
– La combustion est adiabatique et complète. – La pression est constante.
– Il y a équilibre chimique.
– Le mélange gazeux est un gaz parfait.
L’élévation de la température du gaz s’établit en supposant une chaleur de réaction constante. Cette valeur est calculée de manière à retrouver la température de fin de combustion pour une certaine masse d’aluminium consommée. Nous utilisons dans cette thèse un modèle monoespèce, appelé ASSM. Ce dernier est présenté dans §2.4.1.2.
Figure 2.22 – Illustrations des différents modèles de flamme et d’interfaces : a) Pas de flamme, b) Flamme mince et cinétique infiniment rapide et c) Flamme épaissie et cinétique finie [Dupays, 2009]
L’approche multiespèce nécessite de résoudre le transport et la diffusion de chaque espèce, de connaître leurs propriétés mais aussi d’étudier le système réactionnel global. Ce dernier est par-ticulièrement difficile à mettre en place car il s’agit de décrire les réactions chimiques en phase gazeuse ainsi que la condensation dans la flamme et au niveau de la surface de la goutte. Une telle étude a été proposée dans les travaux de Beckstead [Beckstead, 2002]. Dans [Orlandi, 2002], Or-landi utilise un solveur cinétique pour ne traiter que les réactions en phase gazeuse en retenant 10 réactions et 13 espèces. Comme évoqué dans §2.1.3, des systèmes plus complexes existent [Swihart and Catoire, 2000]. La résolution d’un très grand nombre d’équations de réactions paraît encore trop lourde pour être utilisée dans le cadre d’un calcul moteur. On préfère alors une description simplifiée du gaz en introduisant des pseudo-espèces, encore nommées espèces globales. Dans cette approche, la cinétique de réaction est infiniment rapide (cas b) de la Fig.(2.22)) ; les réactions en phase gazeuse ne sont donc pas explicitement résolues. La zone comprise entre la surface de la goutte et la flamme n’est pas décrite par les équations régissant le gaz, l’aluminium gazeux n’est pas suivi en tant qu’espèce mais est utilisé au sein d’une équation de réaction globale (présentée en Eq.(2.23)).
Cette stratégie est adoptée par l’IUSTI [Basset, 1997; Daniel, 2000] et Monavon [Monavon, 2005] ; elle consiste à définir une espèce OX, qui regroupe les principales espèces oxydantes telles queH2O etCO2 et une espèce PC qui représente les produits de combustion et les fumées d’alumine. Une espèce IN pour les gaz inertes est également employée. Dans le cadre de cette thèse, un modèle à deux espèces globales OX et PC est introduit et décrit dans §2.4.2. Il repose sur la détermi-nation d’un coefficient stoechiométrique pour la réaction globale et sur l’obtention de propriétés thermophysiques pour les espèces globales comme exposé dans [Dupays, 2013].
Il faut retenir que ce modèle permet de suivre l’évolution de la composition et des propriétés de la phase gazeuse, d’avoir une dynamique de la combustion régie par des mécanismes physiques. Il a également l’avantage de ne considérer que deux espèces pour la description du gaz ce qui limite significativement l’augmentation du temps de calcul par rapport à une approche basée sur un très grand nombre d’espèces impliquant la résolution d’un système réactionnel.
2.3.3 Choix de la thermodynamique et de la géométrie de la goutte
bicomposant
Nous définissonsmpcomme la masse totale d’une goutte ; les termesmaletmoxsont respectivement les masses d’aluminium et d’alumine contenues dans la goutte. Les fractions massiques de ces deux composants sont déterminées par :
Yal= mal mal+ mox
, Yox= mox mal+ mox
Le volume de la goutteV s’écrit : V = Val+ Vox= mal ρal +mox ρox (2.9) oùVal etVox sont respectivement les volumes occupés par l’aluminium et l’alumine au sein de la goutte. Les termesρal et ρox sont les masses volumiques des composants liquides. En raison des conductivités particulièrement élevées des deux composants, il est largement licite d’appliquer un modèle de conductivité infinie pour lequel la goutte ne présente donc pas de gradient interne et la température est la même pour les deux composants. De plus, sa température ne varie pas au cours de la combustion ce qui implique que les masses volumiques sont constantes et la masse volumique moyenne de la goutte bicomposant n’est fonction que de sa composition :
ρp=Valρal+ Voxρox Val+ Vox
= αalρal+ αoxρox (2.10)
oùαaletαoxreprésentent les fractions volumiques de chacun des composants rapportées au volume de la goutte. La masse volumique moyenne se calcule également en fonction de la taille de la goutte en cours de combustion et de celle du résidu. On note respectivementdreset rres le diamètre et le rayon du résidu qui est supposé sphérique à la fin de la combustion. On obtient alors :
ρp= 1−d 3 res d3 ρal+d 3 res d3 ρox (2.11)
Souhaitant prendre en compte précisément les transferts de masse avec le milieu environnant, un modèle géométrique est souhaitable. En effet, les modèles d’évaporation pour des gouttes mono-composants considèrent que toute la surface de la goutte interagit avec le gaz. Cependant, cette hypothèse n’est plus valable pour les gouttesAl/Al2O3 où la calotte d’alumine occulte une par-tie de la surface d’échange ce qui a pour conséquence de changer la dynamique de l’évaporation, notamment le temps de combustion. Comme évoqué dans §2.1.3, des observations expérimentales montrent que l’aluminium et son oxyde se présentent sous la forme de sphères partielles qui s’orga-nisent selon une géométrie complexe. Dans l’ensemble de ce travail, il est choisi un modèle simplifié basé sur le choix d’une calotte sphérique, comme illustré dans la Fig.(2.23). Nous supposons alors que le transfert de masse n’a lieu qu’au niveau de la surface libre. Pour ce modèle géométrique, la surface de la calotte, notéeSox, se détermine à partir de sa hauteurh et du rayon de la goutte r. Ces deux paramètres sont obtenus à partir des volumes occupés par l’aluminiumVal et l’alumine Vox, supposés connus [Temkin, 2005] :
Val=4π 3 r 3 −2 π3 h r2, Vox= π 6d 3 res (2.12)
Finalement, la surface d’échange entre la goutte et le gaz, notée Sal, est donnée par : Sal = 2πr(2r−h). Notons ici que S = Sox+Salest la surface totale de la goutte. L’évolution de la hauteur de la calotteh est obtenue en déterminant la racine du polynôme d’ordre 3 : 2h3
− 6rh2+ d2 res. Une résolution analytique du polynôme basée sur la méthode de Cardan est employée.
On définit aussi l’enthalpiehp ou l’énergie interneep de la goutte par :
hp= Yalhal+ Yoxhox, ep= Yaleal+ Yoxeox (2.13) Il est possible de faire le lien entre l’énergie interne de la goutte et son enthalpie par la relation : hp = ep + pp/ρp où pp est la pression interne de la goutte. Cette pression a pour origine la compressibilité des particules. Si on néglige la compressibilité et qu’on suppose la particule rigide (démarche valable pour des particules dans un gaz par exemple) alors cette pression "particulaire" tend vers zéro [Temkin, 2005], ce qui nous conduit à assimiler l’enthalpie à l’énergie interne. Ce choix de modélisation est le même quelle que soit la nature des gouttes étudiées dans cette thèse. La capacité calorifique moyennecp,ps’écrit :
cp,p= Yalcp,al+ Yoxcp,ox (2.14)
où cp,al et cp,ox sont les capacités calorifiques massiques de chacun des composants, constants au cours de la combustion (la température de la goutte ne variant pas). Par contre, la capacité calorifique moyenne évolue car la composition de la goutte varie.
Figure 2.23 – Modèle géométrique pour le lobe d’alumine d’une goutte d’aluminium oxydée [Sibra et al., 2013]
2.4 Présentation des modèles de combustion et améliorations
Nous présentons dans cette partie trois modèles de combustion valables à l’échelle d’une goutte isolée et de taille micronique. Les deux premiers, développés dans le cadre du programme ASSM, adoptent une approche monoespèce pour le gaz et une description monocomposant de la goutte. Dans le cadre de cette thèse, une amélioration majeure est proposée en prenant en compte la bicomposition de la goutte. Puis, nous introduisons un nouveau modèle de combustion piloté par une loi d’évaporation basée sur la diffusion des espèces. Ce modèle se caractérise par une réduction du nombre d’espèces à deux espèces globales. Les principales hypothèses et étapes de dérivation sont exposées. Il est ensuite établi la démarche à suivre pour la mise en données des calculs de combustion proposés par la suite dans cette thèse. Notons également que ces modèles sont compatibles avec l’approche cinétique de type spray qui est présentée dans le chapitre §3.
2.4.1 Approche monoespèce : modèles existants avec prise en compte
de la bicomposition
2.4.1.1 Traitement séquentiel des phases de chauffage, d’allumage et de combustion Pour les deux modèles de combustion monoespèce, plusieurs situations sont à considérer selon que : – La goutte a atteint la taille souhaitéedres pour les résidus d’alumine, elle ne peut que chauffer
ou refroidir comme le ferait une particule inerte. Il n’y a alors pas d’échanges de masse avec l’environnement. Le terme d’échange de chaleur pour une goutte isolée est notéHp.
– La goutte n’a pas atteint la taille des résidus, plusieurs configurations sont possibles : soit la température de la goutteT est au moins égale à sa température de saturation Tsatce qui signifie que nous sommes dans la phase de combustion, soit elle a une température inférieure, il reste alors à discriminer deux cas qui sont : la température de la goutte est inférieure à la température d’allumageTallum, la goutte n’échange pas de masse, seulement de la chaleur à la manière d’une goutte inerte. La goutte a une température supérieure à celle d’allumage, elle échange alors de la masse avec le milieu environnement. Le taux d’évaporation massique est notém˙p pour une goutte isolée.
Dans le contexte d’étude que nous nous sommes fixés, les phases de chauffage avant allumage et d’allumage ne sont pas traitées. En effet, les gouttes sont supposées avoir atteint leur température de saturation dès qu’elles quittent la surface. Deux situations sont alors possibles :
Si d = dres, Chauffage/Refroidissement inerte : m˙p= 0 Hp6= 0 Si d > dres, T = Tsat⇒ Combustion : m˙p6= 0 Hp= 0
(2.15)
Nous présentons dans cette partie uniquement les lois qui régissent les transferts de masse. Le traitement de la phase de chauffage du résidu en fin de combustion est présenté dans le cadre classique d’une goutte inerte dans §3.4.1.2.
2.4.1.2 Modèle ASSM basé sur la diffusion thermique
Ce modèle de combustion utilisé dans [Lupoglazoff et al., 2002; Gallier and Godfroy, 2009] et développé au cours du programme ASSM est dérivé d’une loi d’évaporation dud2. L’unique espèce gazeuse correspond au produit de la combustion d’une espèce oxydante et de la vapeur d’aluminium. Le terme de transfert de massem˙p ne repose que sur la diffusion de chaleur entre la goutte et le gaz. Un terme représentatif de la production d’énergie Qr due à la combustion de la goutte est pris en compte : ˙ mp= π d λg cp,g Shc ln(1 + BT), BT =cp,g(Tg− T ) + Qr Lv (2.16) oùλg est la conductivité thermique du gaz,cp,gest sa capacité thermique à pression constante,Lv est la chaleur latente de vaporisation de l’aluminium,Tsest la température de surface de la goutte etBT est le nombre de Spalding ; il témoigne du taux de transfert de chaleur. Le termeShc est le nombre de Sherwood qui rend compte des effets convectifs de l’écoulement autour de la goutte. Il s’exprime de la manière suivante :
Shc= 2 + 0.552 Re1/2
p Sc1/3 (2.17)
oùShc est le nombre de Sherwood correctif et Rep est le Reynolds particulaire défini par :Rep= ρgdkug− uk/µg. Plus de détails sur les régimes d’écoulements autour de la goutte sont donnés dans §3.4.1.1.
La température de surface est supposée constante au cours de la combustion et égale à la tempéra-ture de saturation de la goutte. La températempéra-ture du gaz augmente grâce à une définition appropriée des enthalpies de l’aluminium liquide et de l’espèce produit de combustion, notée PC. Cela assure ainsi un apport correct d’énergie à la phase gazeuse. C’est de cette manière que le terme d’énergie produiteQrest déterminé ; il est constant pour une configuration donnée.
2.4.1.3 Modèle en dn ou loi empirique ONERA
Le modèle endn, appelé aussi loi ONERA, consiste à améliorer le modèle ASSM en déterminant le temps de combustion de la goutte à partir de la corrélation de Beckstead [Beckstead, 2002] qui est fonction des valeurs de la pression, de la température et de la composition des gaz oxydants entourant la goutte. Cette corrélation empirique est valable pour des gouttes de taille micronique et est établie par rapport à un ensemble d’expériences et de simulations numériques. Le temps de combustion de la goutte, notéτcomb, s’exprime de la manière suivante :
τcomb= d n 0 k Xn1
ef fpn2Tn3, Xef f = aXO2+ bXH2O+ cXCO2 (2.18) oùd0 est le diamètre initial de la goutte, k est une constante du modèle et Xef f est la fraction molaire efficace des oxydants pondérée des coefficientsa, b et c sur les espèces O2, H2O et CO2 considérées comme les principaux oxydants. Les valeurs des coefficients n1, n2 et n3 donnés en Tab.(2.2) soulignent le fait que le temps de combustion est moins sensible à la pression et à la température qu’à la composition gazeuse. L’appauvrissement en oxydants impacte donc significa-tivement le temps de combustion. Cela montre au passage qu’une approche multiespèce semble incontournable.
Table 2.2 – Coefficients du modèle en dn selon Beckstead [Beckstead, 2002]
n k
1.8 6.26510−7
a b c n1 n2 n3
1 0.6 0.22 1 0.1 0.2
Il existe deux variantes de ce modèle : La première détermine le temps de combustion en fonction des valeurs initiales de pression, de température et de composition ce qui est finalement assez peu représentatif de l’environnement au sein d’un MPS mais plus conforme à la façon dont a été
déterminée cette loi. La seconde utilise des valeurs réactualisées. Dans une approche monoespèce, ces espèces ne sont pas explicitement suivies mais peuvent être déduites d’une corrélation mettant en jeu une évolution de la composition fonction de la température ambiante.
La combustion étant stoppée quand la taille de la goutte atteint celle du résidu, une loi de régression spécifique est établie :
dn= dn 0− (dn 0− dn res)t− t0 τcomb (2.19) où t0 est le temps correspondant au début de la combustion. Cette relation ne permet pas de rendre compte d’une géométrie complexe de la goutte, par exemple de sa non sphéricité due au lobe d’alumine. Le débit massique d’une goutte d’aluminium peut être calculé de la manière suivante :
˙
mp = −dt(ρalVal). La masse volumique de l’aluminium est constante car la température de la goutte n’évolue pas au cours de la combustion. Le débit massique s’exprime donc de la manière suivante : ˙ mp= Shc 2 π 2 nρal dn 0 − dn res τcomb d3−n (2.20)
En définitive, les données d’entrées du modèle sont les diamètres d0 et dres, la température de la goutte qui conditionne la masse volumique de l’aluminium constante pour le reste du calcul et Xef f fixé ou non au début de la simulation selon que l’évolution de la composition des oxydants est prise en compte ou non.
2.4.1.4 Point d’amélioration : Prise en compte de la bicomposition de la goutte La bicomposition de la goutte a deux conséquences :
– La thermophysique de la goutte, à savoir sa capacité calorifique massique et sa masse volumique, évolue au cours de la combustion.
– La prise en compte du lobe inerte d’alumine impacte la dynamique de la combustion, nous ob-tenons notamment un temps de combustion plus long.
Nous présentons donc nos choix de modélisation en deux temps :
1. Pour un grand nombre d’études numériques MPS, une approche simplifiée de la thermo-physique est choisie ; les grandeurs caractéristiques des gouttes demeurent constantes pour l’ensemble du calcul. La goutte est donc monocomposant et des valeurs moyennes sont dé-terminées de telle manière à concilier un bilan énergétique correct ainsi que des temps de combustion réalistes. Cependant, ce choix de modélisation est restrictif pour un calcul mo-teur complet car si la combustion semble être correctement reproduite, l’approche faite sur les résidus n’est pas appropriée. En effet, comme illustré dans Tab.(2.3), les écarts entre les grandeurs thermophysiques de l’aluminium et de son oxyde sont importants. Par exemple, pour une masse volumique moyenne égale à 2000kg/m3, une erreur de plus de 29% est com-mise sur la valeur réelle de la masse volumique du résidu d’alumine. Donné en Eq.(3.46), le temps de relaxation de la particuleτudépendant proportionnellement de la masse volumique, le comportement dynamique du résidu s’en trouve significativement modifié. Les interactions entre les particules et l’hydrodynamique, et donc la dispersion des résidus dans la chambre, ne sont pas correctement restituées.
Table 2.3 – Exemples de grandeurs thermophysiques pour l’aluminium et l’alumine liquides à T=3000K
Aluminium Al Alumine Al2O3 Capacité calorifique massique (J/kg/K) 1284 1888
Masse volumique (kg/m3) 1424 2824
Dans le cadre de cette thèse, nous prenons systématiquement en compte la thermophysique d’une goutte bicomposant. Cette approche est compatible avec les modèles ASSM et endnet ne nécessite aucun développement particulier. En effet, nous utilisons les Eq.(2.11) et (2.14) qui sont fonction des tailles de la particule à un instant donné et de celle du résidu final. Pour les deux modèles de combustion, ce sont des grandeurs connues.
2. La prise en compte du lobe d’alumine est applicable au modèle ASSM et ne revient qu’à ajouter un terme correctif sur le débit massique d’aluminium évaporé :
˙ mp= π Sal S d λg cp,g Shc ln(1 + BT) (2.21)
Le termeSal/S tend à décroître au cours de la combustion car la surface d’échange Sal entre l’aluminium et le gaz diminue. Une valeur minimale est fixée afin que la combustion ne soit pas infiniment longue. Des résultats de calculs utilisant ce terme correctif sont proposés dans §8.3.3. Ils ne tiennent cependant pas compte d’un éventuel grossissement du lobe au cours de la combustion car le modèle utilisé pour décrire le spray ne permet pas de suivre la com-position en aluminium et en alumine des gouttes. Nous développons donc dans le chapitre 6 des méthodes numériques dédiées à cette problématique.
Pour le modèledn, aucun terme correctif n’est à considérer car c’est au travers du calcul du