Dans un premier temps, nous justifions le choix d’une résolution eulérienne de l’équa-tion cinétique dans le cadre des sprays réactifs fortement couplés à une phase gazeuse instationnaire. Nous rappelons aussi les principaux points d’améliorations nécessaires à une approche eulérienne à savoir la description de la polydispersion et la prise en compte des croisements de trajectoires des particules. Dans le contexte de cette thèse, nous pré-sentons un état de l’art des différentes stratégies eulériennes assurant un suivi précis de la distribution en taille au travers d’une représentation fidèle de la NDF. Dans la seconde partie, nous introduisons les méthodes Multi-Fluide (MF), aussi nommées mé-thodes sectionnelles, basées sur une approche continue des tailles. Nous détaillons alors les deux étapes de dérivation de l’approche sectionnelle : 1- les choix de fermeture pour la dispersion en vitesse et en température des gouttes d’une même taille. 2- Le niveau de description de la polydispersion via l’emploi d’un certain nombre de moments en taille. Nous présentons ainsi une hiérarchie des approches MF développées à ce jour. Finale-ment, nous choisissons la méthode offrant le meilleur compromis coût/précision ainsi qu’une grande flexibilité pour décrire les écoulements diphasiques en propulsion solide qui présentent de la combustion, de la coalescence et de la fragmentation.
4.1 Description cinétique et approches eulériennes
4.1.1 Résolution de l’équation cinétique
4.1.1.1 Rappel de l’équation de WB pour les sprays réactifs
L’équation de transport de type Williams-Boltzmann est choisie afin de décrire l’évolution de la NDF. En effet, elle a démontré son intérêt pour l’étude des sprays polydisperses dilués ou modérément denses [Williams, 1958; Williams, 1985; Doisneau, 2013]. En ne prenant pas en compte les interactions entre particules telles que la coalescence, la fragmentation secondaire et en se focalisant uniquement sur les échanges locaux de masse, de quantité de mouvement et d’énergie avec le gaz, l’équation d’évolution du spray s’écrit :
∂tf + u.∂xf + ∂u. Fp mp f + ∂T Hp mpcp,p f − ∂S(Kpf ) = 0 (4.1)
Les dépendances pour les termes Fp,Hpet Kp s’écrivent : Fp = Fp(u, ug, S) Hp= Hp(u, ug, S, T, Tg) Kp= Kp(u, ug, S, T, Tg) (4.2)
En conservant la notation des chapitres précédents, les termes ug et Tg correspondent au vecteur vitesse et à la température du gaz.
4.1.1.2 Les méthodes lagrangiennes
Deux stratégies sont envisageables pour résoudre de manière plus abordable l’équation cinétique : l’approche lagrangienne permettant une résolution de la NDF au travers d’une discrétisation de l’espace des phases et l’approche eulérienne basée sur des méthodes de moments et la résolution de quantités globales telles que la concentration massique, la quantité de mouvement et l’énergie. Les points clés de dérivation des méthodes eulériennes sont données par la suite dans §4.1.2. Ici, nous présentons synthétiquement les deux principales approches lagrangiennes statistiques rencontrées dans la littérature :
– Comme évoqué dans §3.2.2, la première méthode reprend le formalisme de la méthode DPS à la différence qu’une seule particule numérique représente un ensemble de particules physiques ; elle est alors nommée Stochastic Parcel method dans [O’Rourke, 1981]. Cette méthode est également appelée "discrete element method" dans [Crowe et al., 1998] ou encore "multicontinua method" dans [Sirignano, 2010] où les particules numériques sont définies comme des classes de particules. Le coût de la méthode est ainsi maîtrisé car le nombre de particules numériques est choisi de manière à être abordable pour une configuration donnée. La méthode est implémentée dans de nombreux codes tels que le code KIVA [Amsden et al., 1989] et est utilisée dans de nombreuses applications industrielles.
– L’approche statistique est également vue comme une méthode de résolution de l’équation ci-nétique et est nommée Direct Simulation Monte-Carlo method (avec DSMC pour acronyme). Développée dans un premier temps pour l’étude des gaz raréfiés [Bird, 1994], elle repose sur la description et le suivi des quantités globales, appelés moments de la NDF, et sur un nombre suffisamment élevé de particules numériques pour obtenir une solution convergée. Le formalisme choisi, notamment dans [Hylkema, 1999] pour l’étude des collisions de particules, utilise une somme de fonctions Dirac pour décrire la NDF :
f (t, x, u, T, S) = Np X k=1
wkδ(x− xk(t)) δ(S− Sk(t)) δ(u− uk(t)) δ(T− Tk(t)) (4.3)
oùwkreprésente le poids de lak-ième particule numérique (constant car il n’y a ni fragmentation ni coalescence) et les termes xk, uk,SketTksont respectivement sa position, sa vitesse, sa surface et sa température. Ces derniers suivent les équations différentielles ordinaires suivantes :
∂txp= up, ∂tup= Fp, ∂tSp= Kp, ∂tTp= Hp (4.4) où Fp,HpetKpsont respectivement les termes de fermeture rappelés dans §4.1.1.1. Le poidswk de la particule numérique est un nombre réel représentant une fraction de la particule physique étudiée qui est établie en fonction du raffinement désiré. Le nombre de particules numériques peut donc être particulièrement élevé et apparaître comme une contrainte pour des configu-rations complexes et pour l’étude d’un grand nombre de phénomènes. Cependant, la méthode Monte-Carlo offre l’avantage de travailler sur des quantités moyennées assurant une projection fidèle des propriétés de la NDF sur un champ eulérien. Le niveau de représentativité spatiale des grandeurs projetées est similaire à celui des méthodes eulériennes où ces dernières sont rattachées à un repère fixe et non aux particules en mouvement. Une étude plus détaillée est proposée dans [de Chaisemartin, 2009] où la question du coût calcul est posée.
Sans prise en compte du phénomène de collisions, les deux méthodes lagrangiennes diffèrent par le niveau de raffinement atteint. En effet, la convergence de la solution pour la méthode Monte-Carlo requiert un très grand nombre de particules numériques alors que la méthode Stochastic Parcel revient à une approche grossière de la technique DPS et à n’étudier qu’une seule réalisation. Au final, le niveau de précision dépend du nombre de particules numériques qu’il est possible de suivre avec les moyens informatiques à disposition.
4.1.1.3 Choix de la résolution eulérienne
Dans ce paragraphe, nous établissons les avantages et les inconvénients des approches eulérienne et lagrangienne.
L’approche lagrangienne offre une rapidité et une précision de calcul notables pour les cas sta-tionnaires. Des phénomènes physiques tels que les rebonds aux parois sont restitués fidèlement. De plus, l’implémentation de nouveaux modèles à l’échelle de la goutte se fait très facilement et
bicomposants
naturellement avec le formalisme lagrangien alors qu’elle nécessite des développements numériques dédiés et parfois lourds avec les méthodes eulériennes. Malgré ces avantages, le nombre de parti-cules nécessaire pour assurer une bonne convergence de la simulation devient important en 3D. Cela est particulièrement coûteux pour des simulations instationnaires quand la distribution en taille doit être bien approchée et que l’on vise une bonne approximation de la répartition spatiale du spray.
Pour réaliser le couplage avec la phase porteuse, la projection des termes sources de masse, de quantité de mouvement et d’énergie correspondants aux positions des particules sur une grille eulérienne a longtemps été un challenge numérique car elle introduit de la diffusion numérique. De récents travaux [Capecelatro and Desjardins, 2013; Zamansky et al., 2014] basés sur une nouvelle stratégie de filtrage volumique assurent un couplage entre les phases quel que soit le raffinement du maillage. Cette technique est actuellement limitée aux maillages structurés. De plus, la pré-cision atteinte dans le cas d’un couplage fort n’est pas garantie, plus particulièrement quand la phase gazeuse est résolue à l’aide de méthodes numériques d’ordre élevé. Ces nouvelles approches lagrangiennes deviennent de plus en plus intéressantes à utiliser sur des architectures parallèles. Néanmoins, le rapport coût/précision reste encore à étudier. En effet, un tel modèle peut être coûteux dans des configurations où l’on cherche à décrire fidèlement les interactions entre un spray polydisperse et une phase gazeuse instationnaire.
La résolution eulérienne de la description cinétique du spray apparaît comme une alternative in-téressante car le couplage avec une description eulérienne de la phase gazeuse est naturel et son utilisation dans le cadre de calculs parallèles est particulièrement facilitée. Cependant, les méthodes eulériennes présentent deux difficultés par rapport aux approches lagrangiennes :
1. La description de la polydispersion du spray est loin d’être évidente alors qu’elle semble plus aisée avec les méthodes lagrangiennes même si le coût calcul peut sembler excessif pour des configurations industrielles.
2. Pour des écoulements présentant des nombres de Knudsen élevés, il est nécessaire de décrire les croisements des trajectoires de particules (PTC). Ces situations, naturellement prises en compte par les approches lagrangiennes, s’avèrent être un problème majeur pour les méthodes eulériennes qui considèrent une seule vitesse moyenne en un point de l’espace, autrement dit des distributions en vitesse monodisperses [de Chaisemartin, 2009].
Dans cette thèse, nous répondons aux attentes du premier point en proposant une famille de méthodes eulériennes aptes à décrire la polydispersion avec un niveau de résolution satisfaisant sans introduire un coût calcul rédhibitoire pour des calculs industriels. Concernant le second point, des solutions numériques pour le traitement des PTC ont récemment été apportées dans [Vié et al., 2015] où est considérée une fermeture Gaussienne anisotrope pour la distribution en vitesse locale des gouttes. Nous n’étudions pas ici ces nouvelles méthodes mais nous évoquons cependant dans §4.2.1 pour quelles situations ces dernières peuvent être appliquées et quels sont les développements numériques associés. La problématique de la polydispersion en vitesse fait l’objet de travaux récents et à venir [Doisneau et al., 2012; Vié et al., 2015; Dupif, 2017].
4.1.2 Stratégies eulériennes basées sur des méthodes de moments
La méthode la plus directe est la résolution exacte de l’équation cinétique reposant sur une dis-crétisation de l’ensemble des variables dont dépend la NDF à savoir l’espace des phases(u, S, T ). Cette méthode, appelée "Full Spray Method" dans [O’Rourke, 1981], est inaccessible pour des cas industriels. En effet, pour un cas 3D, le nombre de dimensions est de 8 ce qui porte à1016le nombre d’éléments à étudier pour une discrétisation de 100 éléments par dimension. Des cas d’études aca-démiques existent cependant et sont présentés dans [O’Rourke, 1981]. Un cas d’étude réduit à une seule dimension d’espace est proposé dans [Creta et al., 2008] pour une application moteur. Les autres méthodes eulériennes se basent sur la réduction de l’espace des phases via l’utilisation des équations sur les moments décrivant l’évolution de quantités globales de la NDF.
4.1.2.1 Principe des méthodes de moments
Dans la plupart des cas, la connaissance complète de la description cinétique du spray n’est pas nécessaire. Aussi, l’étude de quantités globales, les moments de la NDF, offre un niveau de des-cription suffisant. Rappelons que, pour une fonction arbitraireψ(y), le moment mk d’ordrek est
défini par : mk =
Z
ykψ(y)dy (4.5)
Le moment de la NDF, notéMl,n,i,j,k, est d’ordrel en taille, n en température et (i, j, k) en vitesse et s’exprime de la façon suivante :
Ml,n,i,j,k= Z S Z T Z u SlTnui xuj yuk zf (t, x, u, T, S) dudT dS (4.6) L’évolution de quantités globales décrivant le spray s’obtient par la dérivation d’équations sur les moments obtenues à partir de l’équation cinétique :
Z S Z T Z u SlTnui xuj yuk zEq.(4.1) dudT dS (4.7)
Cette étape de dérivation introduit une perte d’information à moins de connaître une infinité de ces moments. De plus, à moins de poser une hypothèse appropriée, le système d’équations sur les moments n’est pas fermé même si l’équation cinétique l’est. Par exemple, pour les équations sur les moments en vitesse, l’équation du moment d’ordrep (défini par p = i + j + k) nécessite d’étudier les moments d’ordrep + 1. Dans ce cas précis, l’étude du moment M0,0,1,0,0 passe donc par celle des momentsM0,0,2,0,0, M0,0,1,1,0 et M0,0,1,0,1. Des hypothèses sur la forme de la NDF doivent être établies afin de fermer le système de moments. Il existe deux familles de méthodes qui se distinguent par la façon de fermer le système.
Pour la première famille, la stratégie repose sur une représentation continue de la NDF en suivant deux étapes :
– Des distributions présumées en vitesse et en température pour chaque taille de particules per-mettant la dérivation d’un système intermédiaire d’équations de conservations, appelé système semi-cinétique, introduit dans [de Chaisemartin, 2009] à partir de [Laurent and Massot, 2001]. – La seconde étape repose sur le traitement de l’espace des tailles via une des différentes méthodes
et fermetures qui aboutit à l’obtention d’un système final d’équations de conservation.
Une seconde famille de méthodes repose sur une dérivation du système d’équations soit en réalisant un échantillonnage de la distribution en taille, c’est la méthode Multi-Classe que nous présentons plus en détails dans §4.1.3, soit en utilisant une technique de quadratures pour décrire la forme de la NDF conservant un couplage complet entre les variables taille, vitesse et température. Ces méthodes de quadrature ne sont pas traités ici ; un descriptif des approches QMOM [Marchisio et al., 2003] et DQMOM (acronyme anglais pour Quadrature Moment Method et Direct Quadrature Moment Method) ainsi que des études numériques menées dans le cadre de sprays coalescents et réactifs sont donnés dans [Marchisio and Fox, 2005; Fox et al., 2008].
Dans le cadre de cette thèse, nous étudions la première catégorie de méthodes eulériennes dont le point clé est le conditionnement de la NDF par la variable taille.
4.1.2.2 Dérivation du système semi-cinétique basé sur un conditionnement de la NDF par la variable taille
Au niveau cinétique, le choix de modélisation porte sur une représentation de la NDF pour les variables vitesse et température conditionnées par la taille menant ainsi à la résolution de corré-lations taille/vitesse et taille/température. La NDF s’écrit alors en fonction de distributions en vitesse et en température :
f (t, x, u, T, S) = n(t, x, S)Φu(t, x, u, S)ΦT(t, x, T, S) (4.8) oùΦuetΦT sont respectivement les distributions en vitesse et en température, supposées indépen-dantes respectivement de la température et de la vitesse. La grandeurn représente la concentration en nombre du spray et s’écrit :
n = Z T Z u f (t, x, u, T, S) dudT (4.9)
Les distributions en vitesse et en température s’établissent à partir de valeurs moyennes de vitesse et de température, respectivement notées u etT . La NDF s’écrit alors :
bicomposants
oùψu et ψT sont respectivement les distributions définies autour des valeurs moyennes. Notons qu’à ce niveau de modélisation, ces valeurs moyennes u etT ne dépendent que de la variable taille à un instant et une position donnés. Considérant les moments d’ordre 0, d’ordre 1 en vitesse et en température, nous établissons finalement le système semi-cinétique suivant :
∂tn + ∂x(nu) = ∂S(nK) ∂t(nu) + ∂x(nu⊗ u + P) = ∂S(nKu) + nF
∂t(ne) + ∂x(neu) = ∂S(nKe) + nH
(4.11)
où e est la concentration en énergie interne. La dérivation d’une équation sur l’énergie interne plutôt que sur la température se justifie car l’énergie est une variable conservative. Une équation sur l’enthalpie peut être établie mais elle est équivalente à celle sur l’énergie interne sur la base d’un choix de modélisation justifié dans §2.3.3. La température moyenne T est calculée à partir de la concentration en énergie moyennee. D’une manière plus globale, les quantités moyennes obtenues dans les différentes équations du modèle semi-cinétique et notées(.) sont définies par :
∀φ, φ = n−1Z T Z u φf dudT = Z T Z u φ ψu(u− u)ψT(T− T ) dudT (4.12)
Notons que cette équation n’est a priori pas applicable pour la température moyenneT sauf pour des situations où la capacité calorifique massique des gouttes est constante [Doisneau et al., 2013]. Le terme P est un tenseur équivalent à un terme de pression qui caractérise la dispersion en vitesse des gouttes. Son expression est la suivante :
P= Z T Z u n ψu(u− u)ψT(T− T ) (u − u) ⊗ (u − u) dudT (4.13)
Ainsi, la détermination de ce terme et des autres grandeurs moyennes ne reposent que sur le choix de la forme des distributions en vitesse et en température. Ce point de modélisation est discuté dans §4.2.1.
4.1.2.3 Stratégies de discrétisation de l’espace des tailles
A ce stade, il ne reste qu’à traiter l’espace des tailles. Deux catégories de méthodes sont possibles : – L0approche bifluide basée sur une intégration globale de l’espace des tailles et du modèle semi-cinétique est réalisée en intégrant enS l’Eq.(4.11). Un système d’équations de conservation est obtenu : ∂tn + ∂x.(nu) = 0 ∂t(ρlαl) + ∂x.(ρlαlu) =− ˙ml ∂t(ρlαlu) + ∂x.(ρlαlu⊗ u) = − ˙mlu+ Fl ∂t(ρlαle) + ∂x.(ρlαleu) =− ˙mle + Hl (4.14)
oùρl est la masse volumique du liquide,αl est la fraction volumique de la phase dispersée. Les termesm˙l, Fl etHlsont respectivement le flux d’échange de masse dû à l’évaporation, le terme d’échange de quantité de mouvement et le transfert de chaleur. Ils sont obtenus par intégration sur tout l’espace des tailles des termes sources du modèle semi-cinétique.
Ce modèle bifluide ne considère aucune dispersion en vitesse et en température. Le spray est alors décrit par une seule taille, vitesse et énergie moyennes, uniquement dépendantes du temps et de la position. Au final, un seul système fluide d’équations de conservation est obtenu ; il est couplé via ses termes sources à un système d’équations de conservation représentant la phase gazeuse. Le rayon moyen du spray est défini par :
r = 3α l 4πn 1 3 (4.15) Ce modèle a notamment été étudié dans [Drew and Passman, 1999; Chanteperdrix et al., 2002; Murrone and Guillard, 2005]. Nous n’utilisons pas cette approche dans le cadre de nos études car l’information sur la dispersion en taille est perdue ce qui constitue une limitation forte.
– L0approche Multi− Fluide basée sur une discrétisation continue de l’espace des tailles. Cette stratégie est la base des méthodes Multi-Fluides ou sectionnelles qui assurent une représentati-vité de la distribution en taille du spray par la dérivation de systèmes d’équations de type fluide par gamme de taille discrétisée, appelée section. Une hiérarchie de méthodes existe et repose sur le choix de corrélations taille/vitesse et taille/température à résoudre pour chaque section. De plus, le niveau de description de la polydispersion dépend de l’utilisation d’un certain nombre de moments en taille. Ces méthodes, aptes à décrire la polydispersion d’un spray, sont donc choisies dans le cadre de ce travail et sont détaillées dans §4.2.
4.1.3 Extension polydisperse de l’approche bifluide : La méthode
Multi-Classe
Pour la description des sprays polydisperses et en parallèle de l’approche Multi-Fluide, une ex-tension du modèle bifluide est envisageable. Cette approche, nommée méthode Multi-Classe (MC) (ou Sampling en anglais), consiste en un échantillonnage de la distribution en gardant une ap-proche eulérienne. La NDF est approximée par une somme de fonctions de Dirac comme illustré par la Fig.(4.1). Cette discrétisation de l’espace des phases est faite au travers deNsample classes (samples en anglais) pour certaines valeurs{S1, ..., SNsample} de l’espace des tailles pour lesquelles des vitesses moyennes u(k) et des températures moyennesT(k) sont considérées :
f (t, x, u, T, S) = Nsample
X k=1
n(k)(t, x) δ(S− Sk(t, x)) δ(u− u(k)(t, x)) δ(T − T(k)(t, x)) (4.16)
Pour chaque classe/sample, nous définissons la concentration en nombre de gouttesn(k) ainsi que la densité massiquem(k) = n(k)(ρlSk3/2)/(6√
π). Il résulte Nsample systèmes liquides d’équations de conservation couplés à un système pour la phase gazeuse :
∂tn(k)+ ∂x.(n(k)u(k)) = 0 ∂tm(k)+ ∂x.(m(k)u(k)) =− ˙m(k) ∂t(m(k)u(k)) + ∂x.(m(k)u(k)⊗ u(k)) =− ˙m(k)u(k)+ F(k) ∂t(m(k)e(k)) + ∂x.(m(k)e(k)u(k)) =− ˙m(k)e(k)+ H(k) (4.17)
oùm˙(k), F(k) et H(k) sont respectivement le terme de transfert de masse, la force de traînée et le terme d’échange de chaleur pour une classe de particules de taille Sk de température T(k) et de vitesse u(k).
Figure 4.1 – Illustration de la méthode Multi-Classe
Contrairement à l’approche continue en taille des méthodes Multi-Fluide (cf. §4.2.2), les interac-tions entre tailles de gouttes pour la description de phénomène tel que la coalescence sont par-ticulièrement difficiles à prendre en compte. Les couplages entre les différentes classes mènent à de nombreux problèmes numériques tels que la création de nouvelles tailles de particules dont l’apparition n’est pas possible à prendre en compte à coût modéré le plus souvent.
bicomposants
En propulsions liquide et solide, la méthode MC a déjà été employée pour des calculs diphasiques réactifs dans le contexte d’étude d’instabilités moteur [Lupoglazoff et al., 2002; Gallier and Godfroy, 2009] et récemment exploitée dans le code CEDRE [Murrone and Villedieu, 2011; Le Touze et al., 2013]. Prise ici comme méthode eulérienne de référence pour les simulations diphasiques mettant en jeu des modèles d’évaporation ou de combustion avancés, la méthode MC est utilisée pour effectuer des calculs comparatifs et de validation pour les nouveaux développements réalisés pour les méthodes MF.
Il est à noter que la méthode MC est précise pour le suivi de l’évolution de distributions discrètes (multi-Dirac) mais s’avère moins efficace lorsque des distributions continues sont à représenter [Laurent and Massot, 2001]. Or, en propulsion solide, des distributions de type lognormale sont courantes.
4.2 Méthodes eulériennes Multi-Fluide ou sectionnelles
Nous présentons dans cette partie les deux principales étapes de dérivation des méthodes Multi-Fluides dont le principe a été introduit dans [Greenberg et al., 1993] et le formalisme fixé dans [Laurent and Massot, 2001] : 1- Le choix des fermetures pour les distributions en vitesse et en température du modèle semi-cinétique. 2- La discrétisation de l’espace des tailles et le niveau de