Mesure en mode dynamique : mesure d'un gradient de force . 83

Lorsque la sonde AFM, excitee a sa frequence de resonance !₀, est amenee au voisinage de la surface de l'echantillon, elle est soumise a une force additionnelle F (z) qu'il faut ajouter au membre de droite de l'equation (3.27). Cette nouvelle equation n'est a priori pas soluble si on ne conna^t pas la dependance de F avec z. Cependant, dans l'hypothese de petites oscillations, on peut faire un developpement limite autour de la position moyenne z0 du levier :

F (z) F (z0) + z^@F_@z (z0) (3.35) L'equation (3.27) devient alors :

z + _z + !2 0 1 me @F @z ^(z0) z = _me^F0 ei!t+ ^{F (z0)}_me (3.36) Le terme F (z₀) est independant du temps et ne cree qu'une deexion statique du levier qui est negligeable pour ceux utilises (dans le cas de la force electrostatique, pour une distance de 100 nm separant la sphere et la surface et une dierence de potentiel de 500 mV, on obtient une deexion d'a peine 2 A pour les leviers de 8 N/m et de 3:5 nm pour les leviers plus souples de 0.4 N/m). En revanche, le terme en z provoque une variation de la frequence de resonance du systeme. Tout se passe comme si l'oscillateur prenait une constante de raideur eective k_e = k @F

@z(z₀). La nouvelle pulsation est donnee par :

!_m = r !2 0 1 m_e @F @z^{(z0) !0} 1 _2k^{1 @F}_@z (z₀) (3.37) ! = !_m !₀ = ^!0 2k @F @z^{(z0) (3.38)}

(a) (b)

Figure 3.8 { L'application d'une force exterieure fait varier la frequence de resonance d'une quantite f visible sur l'amplitude (a) et la phase (b) de l'oscillateur. Cette variation est negative dans le cas d'une force attractive. La phase est le signal le plus sensible a une variation de frequence. On choisit donc une boucle a verrouillage de phase pour mesurer f.

En mode dynamique, c'est-a-dire en faisant osciller le levier a sa frequence de resonance, nous ne sommes pas sensibles a la force elle-m^eme mais au gradient de cette force. Dans le cas d'une force attractive (comme la force electrostatique ou la force de Casimir) qui rend le gradient positif avec la convention que z augmente au fur-et-a-mesure que l'on s'eloigne de la surface, ! sera negatif.

En pratique, on mesure plut^ot f que ! et on a : f = ^! 2 ⁼ f₀ 2k @F @z ^{(z0) (3.39)}

On remarque sur la gure 3.8 que la phase de l'oscillateur est plus sensible a une variation de frequence que l'amplitude. On utilise une boucle a verrouillage de phase (ou PLL pour Phase-Locked Loop) pour mesurer f. Une PLL est un systeme d'asservissement sur la phase ' qui determine la nouvelle frequence d'excitation a appliquer de facon a retrouver la commande d'entree en sortie, a savoir une phase nulle.

3.3 Amortissement visqueux

On sait que la dynamique des oscillateurs mecaniques (NEMS, leviers AFM, ...) depend fortement du uide dans lequel ils vibrent [65, 66]. Pour s'en convaincre, on peut simplement voir la variation de leur facteur de qualite Q : alors que dans un environnement cryogenique et/ou sous vide, Q peut atteindre des valeurs de

3.3. Amortissement visqueux

Figure 3.9 { Denition de la longueur de glissement b qui denit les dierents regimes (glissement parfait, partiel ou aucun glissement). b correspond a la profondeur dans le solide pour laquelle l'extrapolation lineaire du prol des vitesses s'annule.

quelques dizaines de milliers [67, 68], il chute considerablement a pression ambiante ou en milieu liquide [47]. De plus, il a ete montre recemment, tant theoriquement qu'experimentalement, que l'approche d'un oscillateur pres d'une surface aecte ega-lement sa dynamique [69, 70]. Ainsi, A. Siria et al. ont prouve que dans l'air et a temperature ambiante, approcher une surface plane pres d'un microlevier fait chu-ter drastiquement le facteur de qualite de ce dernier et va m^eme jusqu'a geler ses vibrations mecaniques [70].

La mesure de Casimir consiste a approcher d'une surface une sphere collee a l'extremite d'un microlevier AFM. On peut donc se demander comment le uide place dans la cavite formee par la sphere et le plan modie la dynamique du micro-levier. Par ailleurs, la cavite est de taille micrometrique et pose donc le probleme de modelisation de la dynamique du uide. Depuis quelques annees, les experiences de micro- et nano-uidique montrent en eet que les proprietes des uides circu-lant dans un milieu conne (comme les nano-canaux [71]) sont tres dierentes de celles rencontrees a l'echelle macroscopique. En particulier, ils ont montre que la traditionnelle condition aux limites de non-glissement (la vitesse du uide a la surface d'un solide est la m^eme que celle de cette surface) ne s'applique plus dans le cas de cavite nano- ou micrometrique [72]. On peut noter que des le xixe siecle et la formulation de l'equation de Navier-Stokes, les scientiques se sont penches sur la question des conditions aux limites en hydrodynamique et ont suppose l'exis-tence d'un regime de glissement partiel. Maxwell a ainsi ete le premier a proposer l'idee que le uide peut glisser a la surface du solide [73]. Il a introduit une lon-gueur caracteristique qui quantie le glissement du uide sur la surface solide : la longueur de glissement b. Celle-ci est denie comme la distance dans le solide pour laquelle l'extrapolation lineaire du prol de vitesse dispara^t (cf. gure 3.9). Mais, du fait du bon accord theorie-experience pour les echelles macroscopiques, la condi-tion de non-glissement est restee la plus couramment usitee pendant plus d'un siecle. Le but que nous nous donnons dans cette section est de savoir si la dynamique de notre levier peut ^etre modiee par le gaz d'echange, les mesures a basse temperature

etant realisees a faible pression d'helium (pour obtenir une bonne thermalisation). Par la m^eme occasion nous verrons comment les conditions aux limites des proprie-tes du uide varient avec la pression.