2.3 Le dispositif optique de mesure de deplacement
3.3.2 Analyse des resultats
Maali et al. ont montre experimentalement que la force hydrodynamique etait une interaction purement dissipative, sans partie elastique [74]. Cette force ajoute donc un terme H@z
@t dans l'equation du mouvement du microlevier qui s'ecrit alors :
me@@t2z2 + ( 0+ H)@z@t + kz = F0ei!t (3.41) avec me la masse eective du levier, F0ei!t une force exterieure actionnant le levier a la frequence ! et 0 le coecient de dissipation du microlevier que nous avions deja introduit (avec 0 = me0). 0 est determine lorsque le levier ne subit aucune interaction, c'est-a-dire lorsqu'il est loin de l'echantillon. On a alors 0 = k
!0Q0 ou k est sa constante de raideur intrinseque, !0 sa frequence de resonance, Q0 le facteur de qualite du microlevier loin de la surface.
Dans le cas d'une cavite sphere-plan sans aucun glissement du uide sur la surface (i.e. b = 0), la force hydrodynamique agissant sur la sphere qui s'approche de la surface s'ecrit : FH = 6R2 D | {z } Hpour b=0 @z @t (3.42)
avec la viscosite du uide, R le rayon de la sphere et D la distance entre la sphere et la surface.
Pour prendre en compte un glissement (i.e. b 6= 0) en geometrie sphere-plan, Vinogradova [75] introduit une fonction de correction f(D; b) de sorte que :
FH = 6R2 D f(D; b) | {z } Hpour b6=0 @z @t (3.43) avec f(D; b) = D3b 1 + 6bD ln 1 + 6bD 1 (3.44) On remarque que f tend vers 1 lorsque b tend vers 0. On retrouve ainsi la relation de Taylor (3.42) s'il n'y a aucun glissement. De plus, (3.44) n'est valable
considerer nos mesures comme quasi-statiques.
On peut donc ajuster nos courbes experimentales par la fonction suivante (courbes rouges sur les graphiques 3.11 et 3.12) :
Q = ! k
0( H + 0) (3.46)
ou H est le seul parametre dependant de la longueur de glissement b et de la distance D. De plus, la viscosite de l'air est independante de la pression et vaut 1:8 10 5 kg.m 1.s 1 a 300 K. Les calculs de Maxwell montrent en eet que est proportionnel a la densite, au libre parcours moyen et a la vitesse moyenne des mo-lecules de gaz [77]. Or, le libre parcours moyen est inversement proportionnel a la densite. Une variation de pression n'a donc aucun eet sur la viscosite. Celle-ci ne depend que de la temperature.
On evalue 0 en determinant le facteur de qualite Q0 du microlevier lorsqu'il est en dehors de toute interaction. On a etabli ainsi que Q0 = 108 a pression ambiante, 685 sous pression partielle et 1849 sous vide. Le seul parametre ajustable est donc la longueur de glissement b et on trouve que :
{ pour une pression de 1 bar, la longueur de glissement est extr^emement petite : b < 100 nm ;
{ pour un vide partiel de 10 mbar, b 30m ;
{ et pour un vide secondaire de 4 10 2 mbar, la longueur de glissement est comprise en 550 et 700m.
En conclusion de cette etude, on peut dire que les conditions de glissement sont modiees avec la pression du uide environnant : la longueur de glissement b aug-mente lorsque la pression diminue. Tentons maintenant d'interpreter ce resultat.
D'un point de vue microscopique, la longueur de glissement b est liee aux interac-tions entre la surface oscillante et les molecules du gaz environnant. Historiquement, Maxwell a ete le premier a donner une analyse theorique de ce phenomene [73]. A sa suite, on peut considerer deux canaux de reexion des molecules sur les parois du solide [73, 76, 78, 79] :
3.3. Amortissement visqueux
Figure 3.13 { Reexion speculaire d'une molecule sur la paroi d'une surface. Sa vitesse tangentielle ~Vt est conservee. Si toutes les molecules ont ce comportement, on comprend intuitivement que la longueur de glissement b tend vers l'inni (cas du glissement parfait).
Pression et nature du
gaz environnant b [m] m [m]
1 atm - air < 0:1 0:06
10 mbar - helium 30 10
4 10 2 mbar - air 600 2500
Table 3.4 { Comparaison entre les valeurs du libre parcours moyen m et les longueurs de glissement b mesurees. On constate que ces deux longueurs suivent la m^eme tendance : elles augmentent lorsque la pression du gaz environnant diminue.
{ une reexion diusive qui est liee non seulement aux multiples collisions des particules avec la paroi mais aussi aux caracteristiques de la surface (rugosite, adsorption, chimie de surface) ;
{ une reexion speculaire : les molecules frappent elastiquement la surface. Leur vitesse tangentielle est conservee et conduit a une longueur de glissement innie (cf. gure 3.13).
La longueur de glissement dans ce modele statistique est donnee par la formule de Maxwell :
b 23 m 2 pdp
d (3.47)
ou m est le libre parcours moyen des molecules de gaz et pdla fraction des molecules frappant la surface de maniere diusive. On voit clairement que si pd dispara^t, b devient inni. En outre, le libre parcours moyen m represente la distance parcourue par une molecule entre deux collisions et varie avec l'inverse de la pression. Ainsi pour l'air, il s'echelonne de 60 nm a pression ambiante a 2.5 mm a 4 10 2 mbar, en passant par 10m pour une pression de 10 mbar. La relation (3.47) montre que b augmente avec m, ce qui est le cas pour nos mesures (cf. tableau 3.4).
Plus recemment, des analyses basees sur le theoreme uctuation-dissipation mon-trent l'importance de plusieurs autres parametres sur la dynamique des molecules
Dans notre cas, la surface de la sphere et celle de l'echantillon presentent une rugo-site RMS de l'ordre de 2 nm.
Ce que l'on peut retenir, c'est que les surfaces des solides sont caracterisees par leur rugosite, leur adsoption, leur chimie de surface. Le libre parcours moyen m, qui depend de la pression du gaz, va regir la maniere dont se comporte les molecules du uide a la surface. La diminution de la pression, qui entra^ne avec elle une aug-mentation de m, tend a augmenter la longueur de glissement b, comme on l'observe dans notre experience (cf. tableau 3.4).
En ce qui concerne la dynamique du microlevier, on remarque qu'a pression ambiante le connement du uide entre la sphere et la surface tend a geler ses vibra-tions. Rappelons ici que nous sommes dans une conguration dierente d'un AFM classique : une sphere de 40m est collee a l'extremite du levier. Un microlevier commercial possede une pointe de 15m de haut dont l'apex a un rayon de quelques dizaines de nanometres (typiquement 10 nm). Les mesures a l'air des AFM sont par consequent insensibles a cet amortissement drastique. Par contre, pour nos mesures de forces de Casimir realisees sous pression partiel d'helium (10 mbar a 300 K en sachant qu'a cette temperature la viscosite de l'helium est proche de celle de l'air : 1:9 10 5 kg.m 1.s 1), le connement du uide modie le facteur de qualite de notre oscillateur de l'ordre de 20% sans pour autant geler ses oscillations (Q 1). Cet amortissement n'est donc pas g^enant pour les mesures de forces faibles et cette conclusion est d'autant plus vraie que la mesure est realisee a basse temperature : la diminution de la temperature diminue en eet la pression du gaz et donc l'amor-tissement.