4.1 Mesures des propri´et´es hydrodynamiques
5.1.8 Matrice de rotation
On introduit trois tableaux N(k, l, m), P(k, l, m) et Q(k, l, m). L’indice k = 1, 2 d´esigne la feuille A ou B, l’indicel= 1, 2d´esigne la facette et l’indicem=1,2,3d´esigne la composante suivant les axesx, y,z. Nous conviendrons d’orienter les vecteurs unitaires correspondant aux plus grandes pentes dans le sens des x d´ecroissants, vu le mouvement naturel du liquide sous l’influence de la pesanteur.
normation = p
(ab)2 + (bh)2/(b2+h2)
P(1,1,1 : 3) = [−ab, b2h/(b2 +h2),−h2b/(b2+h2)]/normation P(1,2,1 : 3) = −[ab, b2h/(b2 +h2), h2b/(b2+h2)]/normation P(2,1,1 : 3) = [−ab,−b2h/(b2 +h2), h2b/(b2+h2)]/normation P(2,2,1 : 3) = −[ab,−b2h/(b2 +h2),−h2b/(b2+h2)]/normation
normation = √
h2 +a2b2+h2a2 N(1,1,1 : 3) = [h, ab,−ha]/normation N(1,2,1 : 3) = [−h, ab, ha]/normation N(2,1,1 : 3) = [h,−ab, ha]/normation N(2,2,1 : 3) = [−h,−ab,−ha]/normation
Dans le tableauP, on v´erifie que
P(k,1,1) =P(k,2,1)
ainsi que
P(k,1,3) =P(k,2,3)
ce qui traduit le parall´elisme des lignes de plus grande pente pour la feuille k dans le plan x, z. Le tableau Q(k, l, m) est obtenu en effectuant les produits vectorielsN(k, l,1 : 3) x P(k, l,1 : 3). Les matrices de rotation sont des matrices carr´ees et normales de 3 x 3. Elles sont rang´ees dans le tableau A(i, j, k, l) i = 1 : 2, j = 1 : 2 d´esignant respectivement, la feuille et la facette. Elles sont obtenues par les relations
A(i, j,1,:) = N(i, j,:) A(i, j,2,:) = P(i, j,:) A(i, j,3,:) = Q(i, j,:)
5.2 Maillage cubique du volume compris entre deux feuilles oppos´ees du type Mellapak
TM250 Y
5.2.1 Principe
Nous d´esirons utiliser un mod`ele hydrodynamique pour d´ecrire le champ de vitesse du gaz. Un code suivant la m´ethode des r´eseaux de Boltzman a ´et´e d´evelopp´e et valid´e dans les cas d’´ecoulements monophasiques de gaz au sein d’une mousse m´etallique et d’un empilage structur´e (Chapitres3et4). Celui-ci fonctionne sur un maillage volumique cubique. Apr`es de nombreuses tentatives qui essayaient de raccorder le maillage cubique effectu´e suivant la m´ethode suivie jusqu’ici dans les simulations d’´ecoulement au maillage 3D, nous avons d´ecid´e de mailler le volume `a partir des surfaces. L’id´ee est d’interpoler la surface 2D des feuilles repr´esent´ee par les centres des parall´elogrammesyc(i, j)=f[(zc(i, j), xc(i, j)]sur une grille carr´ee de pas unitaire, puis de remplir le volume entre les deux feuilles ainsi interpol´ees par des cubes unitaires. Techniquement la fonction GRIDDATA de Matlab est utilis´ee. Malheureusement, cette fonction am`ene des effets de bords qui sont partiellement corrig´es en extrapolant lin´eairement les cˆot´es Est (z= 1) et Ouest (z= NPP) des feuilles, puis directement, en travaillant sur deux feuilles fictives dont les dimensions sont sup´erieures `a la feuille que l’on veut mod´eliser et que l’on recoupe aux bonnes dimensions. On obtient
5.3 Dynamique des particules fictives Chapitre 5. Conception d’un automate cellulaire
finalement un tableau bool´een `a trois indicesR(i, j, k)dont les ´el´ements donnent la pr´esence ou l’absence de solide. Celui-ci peut ˆetre directement utilis´e par les logiciels utilis´es pour simuler de l’´ecoulement de la phase gazeuse.
5.3 Dynamique des particules fictives
5.3.1 Hypoth`eses concernant la vitesse de d´eplacement
Consid´erons une particule fictive de masse unitaire, elle est soumise `a trois forces (voir section 5.1.1) : la gravit´e gg, le frottement du gaz~ kg ~vg que nous supposons en premi`ere approximation reli´e lin´eairement `a la vitesse locale du gaz v~g et le frottement du solide kf~v, suppos´e ´egalement lin´eaire avec la vitesse locale de la particule. Les coefficients de frottements kg et kf sont locaux et consid´er´es comme des param`etres, gg l’acc´el´eration de la pesanteur d´epend de l’unit´e de temps choisie. En chaque pas de temps, la particule localis´ee en un centre peut se d´eplacer vers un de ses huit voisins ou rester sur place. On n´eglige l’acc´el´eration, ce qui conduit simplement `a ´ecrire :
~
gg+kg ~vg =kf~v
Ce bilan de forces doit ˆetre ´ecrit dans la baseN, P,Q. Les param`etres ´etant connus, la vitesse du gazvg extraite de la simulation par la m´ethode des r´eseaux de Boltzmann, on obtient~vdans cette mˆeme base. Pour obtenir les d´eplacements sur le r´eseau, il faut retourner dans l’espace du laboratoire et utiliser les matrices de rotations inverses qui sont tr`es faciles
`a obtenir puisque ces matrices sont normales.
5.3.2 Mod´elisation du d´eplacement des particules sur le r´eseau
Supposons tout d’abord que le gaz n’exerce pas d’influence et que le mouvement soit totalement d´eterministe. Les particules seront alors anim´ees d’un mouvement uniforme suivant la ligne de plus grande pente et si le r´eseau a ´et´e d´etermin´e suivant les principes d´ecrits dans la section 5.1.7, la mod´elisation est imm´ediate et d´eterministe. Par contre, si le r´eseau ne dispose pas d’une liaison correspondant `a cette orientation, on mod´elise le d´eplacement en s’efforc¸ant d’emprunter certaines liaisons de sorte que, en moyenne, on suive l’orientation d´esir´ee. Dans ce cas, la mod´elisation du ph´enom`ene d´eterministe entraˆıne une certaine diffusion num´erique r´esultant de la discr´etisation.
Consid´erons la figure 5.5 repr´esentant l’indexation des liaisons et supposons une particule fictive localis´ee en son centre 0. Un choix judicieux du pas de temps permet de supposer que, apr`es ce pas de temps, la particule se trouvera quelque part dans ce parall´elogramme et pas n´ecessairement sur une de ses liaisons. Supposons que la direction de la vitesse r´esultante~vde la section pr´ec´edente (5.3.1) soit comprise entre deux liaisons.
SoitΩl’angle que fait la direction de cette vitesse avec l’axe horizontal (z), soitt=tan(Ω).
D´esignons partk, o`uk= 1. . .8, les huit liaisons cons´ecutives 1,5,3,6,2,7,4,8 de la figure5.5 et par ωk l’angle compris entre tk et l’axe z. L’angle Ω est compris entre ωk et ωk+1 et fixe ainsi une pairetk, tk+1. le d´eplacement s’effectue alors avec la probabilit´epsuivant la directiontketq = 1−psuivant la directiontk+1. Supposons que la particule se d´eplace de N pas en suivant ce sch´ema. Il s’agit d’une marche au hasard dont on sait que la probabilit´e d’obtenirnsucc`es (p) surN tirages est donn´ee par la loi binomiale
P(n) = CnNpnqN−n
La tangente de l’angle correspondant `and´eplacements suivanttkest de tan Ω(n, N) = nx1 + (N −n)x2
nz1 + (N −n)z1
La moyenne du nombre de d´eplacement suivanttk avec la probabilit´e pest bien connue et vautn¯=Npde telle sorte que
tan Ω(¯n, N) = px1 + (1−p)x2 pz1 + (1−p)z1
Lorsque N devient grand, le processus converge donc vers la direction moyenne Ω souhait´ee. En pratique, connaissantΩ on d´etermine la pairetk, tk+1, puis on calculep en le tirant de la relation pr´ec´edente, lesxk, zk ´etant les coordonn´ees des deux demi axestk, tk+1. On tire un nombre au hasard d’une distribution uniforme et si p est inf´erieur `a ce nombre on suit la direction correspondant `apsoittk. On peut noter que lorsque la direction choisie correspond `a l’un des tk alors p vaut 1, la variance de la distribution binomiale s’annule et la particule suit cette direction sans diffusion num´erique. Des effets al´eatoires suppl´ementaires peuvent r´esulter de la turbulence du gaz et de l’h´et´erog´en´eit´e de la surface solide (kf devenant une variable al´eatoire spatiale).
5.4 Mod´elisation gaz-liquide Chapitre 5. Conception d’un automate cellulaire
5.4 Mod´elisation de l’´ecoulement gaz-liquide par automate cellulaire
5.4.1 Introduction
L’automate cellulaire d´evelopp´e doit d´ecrire l’´ecoulement gaz-liquide sur deux feuilles oppos´ees de MellapakTM 250 Y dont la g´eom´etrie simplifi´ee et le maillage sont d´ecrits aux sections 5.1.1, 5.1.2 et 5.1.3. L’´ecoulement du liquide est d´ecrit par le mouvement de particules fictives de massemet le temps est discr´etis´e. Les particules fictives sont suppos´ees ˆetre localis´ees au centre de certaines cellules en forme de parall´elogramme, obtenues par le maillage (cf. section5.1.3). Ces particules doivent avoir une taille suffisante pour ressentir les effets du gaz. Elles peuvent emprunter avec une certaine probabilit´e, une des huit liaisons qui relient le centre du parall`elogramme de d´epart `a ses plus proches voisins. Les particules se d´eplacent sous l’action de trois forces : gravit´e, frottement exerc´e par le gaz et frottement exerc´e par le solide (section5.3.1). C’est de la force r´esultante que d´ecoule la probabilit´e du mouvement de la particule. Le mouvement de liquide n’est donc pas d´ecrit par un mod`ele hydrodynamique classique. Le mouvement du gaz quant `a lui, est d´ecrit par un mod`ele hydrodynamique (´equation de Navier Stokes). On n´eglige l’action du liquide sur l’´ecoulement du gaz. Le mod`ele global conserve la masse et l’impulsion. Il est local, en ce sens que le mouvement du liquide en un point ne d´epend que de l’´etat de ce point et de ses voisins imm´ediats.
5.4.2 Donn´ees
Les param`etres g´eom´etriques de la section 5.1.3 et tous ceux qui r´esultent des maillages bi et tri dimensionnels (coordonn´ees des centres, intersections, indexation oblique, matrice de rotation, etc.) de mˆeme que les param`etres dynamiques ainsi que le champ de vitesse du gaz sont rang´es dans une structure. Celle-ci est lue au d´ebut du script de simulation. Ceci permet des modifications rapides des hypoth`eses de d´eplacement constituant les r`egles de l’automate.
5.4.3 Principe de la simulation
La structure contenant les donn´ees est lue. Deux tableaux `a trois indicesH1(i, j, f) et H2(i, j, f)sont initialis´es `a z´ero. L’indice f se rapporte `a la feuille (f = 1 ou f = 2).
L’indice j varie de 1 `a NPP (nombre de parall´elogrammes sur la largeur (axe z) des NP canaux simul´es (section 5.1.3), i varie de 1 `a SP nombre de parall´elogrammes choisi pour mod´eliser les deux feuilles dans la direction de l’´ecoulement (axe x). Le tableau H1 m´emorise la r´etention instantan´ee des particules au pas de temps t, tandis que le tableau H2 est un tampon qui m´emorise les r´esultats des mouvements des particules au temps t+dt `a partir de l’´etat du syst`eme au temps t contenu dans H1, il est r´einitialis´e `a z´ero apr`es chaque pas de temps. En chaque pas de temps, D particules sont aliment´ees en certaines positions (g´en´eralement au sommet des feuilles par rapport `a la direction de l’´ecoulement). On peut r´ealiser facilement des distributions ponctuelles ainsi que des lignes d’alimentations distribu´ees comme on le souhaite. En chaque pas de temps, on parcourt l’ensemble des centres des cellules du maillage des deux feuilles. Connaissant le nombre de particulesH1(i, j, f)situ´ees eni, j sur la feuillef et les composantes de la vitesse du gaz (section 5.2.1), on calcule la vitesse r´esultante (section 5.3.1) puis la liaison `a emprunter conform´ement `a la probabilit´e de d´eplacement (section5.3.2).
Deux r`egles diff´erentes sont test´ees. Soit on suppose que l’on effectue ce calcul pour chacune des H1(i, j, f) particules, ce qui conduit `a calculer H1(i, j, f) d´eplacements et ceci correspond `a un automate sans interaction. Soit on effectue ce calcul une seule fois et on d´eplace l’ensemble desH1(i, j, f)particules.
Les particules peuvent ´egalement changer de feuilles aux points d’intersection. Dans le cas de l’angle α = π/4 adopt´e dans les simulations, les points d’intersections sont communs aux sommets de quatre parall´elogrammes. Il faut donc envisager de nombreuses possibilit´es ce qui introduit une diffusion num´erique entraˆın´ee par l’obligation de proc´eder
`a des choix al´eatoires.
5.4 Mod´elisation gaz-liquide Chapitre 5. Conception d’un automate cellulaire
5.4.4 Conditions aux bords
Les bords des feuilles ne sont pas justiciables des mˆemes r`egles, on peut consid´erer que des automates particuliers devraient y ˆetre d´evelopp´es. Dans cette ´etude nous avons pr´ef´er´e un choix simple, les particules qui voudraient quitter les feuilles par le bord sup´erieur ou les bords lat´eraux sont ramen´ees `a leur point de d´epart mais d´eplac´ees d’un dz vers le bas. Des conditions particuli`eres quant au frottement peuvent ˆetre impl´ement´ees facilement sur les bords inf´erieurs.
5.4.5 Discussion des r´esultats produits par l’automate sans interaction
Un exemple de simulation, sans gaz, est donn´e aux figures 5.9(a) et (b). Les param`etres g´eom´etriques sont fix´es aux valeurs qui suivent :dz = 1, dx = 1.5, hauteur du canal h = 12.73, nombre de canaux NP= 3, nombre de parall´elogrammes sur la largeur du canal 2b = 36, angle des canaux α = π/4, la pseudo gravit´e gg = 1, le coefficient de frottement liquide-paroikf = 1 et le coefficient de frottement gaz-liquide kg = 0. Il y a donc NPP = 3 x 36 = 108 parall´elogrammes suivant l’axe z et SP = 72 suivant l’axe x. Une diagonale de ces parall´elogrammes co¨ıncide approximativement avec la ligne de plus grande pente. Le champ de vitesse utilis´e est un champ artificiel. On suppose que l’´ecoulement du gaz est parall`ele aux feuilles et de composantesu = (1,0,1)dans les axes x, y,z pour la feuille dont les ordonn´ees sont positives etu = (1,0,−1)pour l’autre. Ce champ artificiel permet un grand nombre de v´erifications de l’algorithme. Les deux feuilles sont aliment´ees, au sommet et en leur centre par 5 particules par pas de temps. On notera, que vu l’impossiblit´e d’assurer une co¨ıncidence absolue des diagonales avec la plus grande pente (irrationnelle), une tr`es l´eg`ere diffusion num´erique peut se produire.
On simule 80 pas de temps pour une alimentation de 5 particules par pas de temps au sommet de chaque feuille. Les figures5.9(a)et(b)repr´esentent la somme des r´etentions en chaque point apr`es ces 80 it´erations. Le d´egrad´e de couleurs traduit qu’au total les cellules proche du sommet des feuilles ont rec¸u plus de particules. La cellule au sommet contient donc 400 particules et permet d’interpr´eter la carte de couleur ainsi norm´ee. On observe que les trajectoires sont sym´etriques, qu’elles suivent la direction de plus grande pente et qu’elles ne rencontrent pas de point de contact entre les feuilles. La diffusion num´erique est extrˆemement faible.
(a) (b)
Figure 5.9: R´esultats de la simulation de l’´ecoulement de liquide. Mod`ele sans interaction et sans gaz,kg= 0:(a)Feuille A; et,(b)Feuille B
Dans les mˆemes hypoth`eses et avec les mˆemes param`etres, mais en supposant que le champs de vitesse artificiel exerce un effet sur l’´ecoulement du liquide en prenantkg = 0.2 et 200 it´erations on obtient les figures5.10(a)et(b). Les maxima de r´etention correspondent
`a 760 et 762 particules pour les feuilles A et B. Les r´etentions totales des deux feuilles sont similaires (488 particules sur A et 412 sur B, 1100 particules sont sorties par le bas).
On remarque imm´ediatement qu’il y a une forte dispersion num´erique. Elle pourrait ˆetre diminu´ee en augmentant le nombre de particules mais on se heurte alors `a la dimension acceptable pour une particule. Ceci ne nous a donc pas sembl´e conforme aux observations exp´erimentales et nous avons abandonn´e ce mod`ele sans interactions.
(a) (b)
Figure 5.10: R´esultats de la simulation de l’´ecoulement de liquide. Mod`ele sans interaction et sans gaz,kg= 0.2:(a)Feuille A; et,(b)Feuille B
5.4 Mod´elisation gaz-liquide Chapitre 5. Conception d’un automate cellulaire
5.4.6 Discussion des r´esultats produits par l’automate avec interactions
Dans ce mod`ele nous consid´erons que toutes les particules d’une cellule se d´eplacent ensemble, ce qui est suppos´e traduire l’existence de forces de coh´esion li´ees `a la tension superficielle gaz-liquide. De plus, nous supposons que lorsqu’une liaison a ´et´e irrigu´ee, elle sera suivie pr´ef´erentiellement. Le cas o`u le gaz n’a pas d’effet sur l’´ecoulement du liquide est similaire `a celui des figures 5.9(a) et (b) pour les mˆemes hypoth`eses avec les mˆemes param`etres :kg= 0.2et on alimente 2 particules par feuille et par pas de temps (il ne sert `a rien d’en alimenter plus puisque elles voyagent de consert).
Les figures 5.11(a) et (b)concernent deux feuilles de mˆemes param`etres, mais avec un nombre de canaux NP = 6 correspondant `a 216 parall´elogrammes suivant l’axe z.
Le coefficient kg = 0.2 . On remarque imm´ediatement que la dispersion num´erique est beaucoup plus faible que pour les figures5.10(a)et(b). Les particules semblent simuler un
´ecoulement en filet, ce qui est observ´e exp´erimentalement. L’´ecart par rapport `a la verticale est moindre que celui correspondant `a un ´ecoulement suivant la plus grande pente, car le gaz (du champ de vitesse artificiel pr´ec´edent) a tendance `a repousser le liquide vers la verticale.
L’accumulation visible sur la derni`ere ligne tient surtout `a la rusticit´e de la condition de bord adopt´ee.
(a) (b)
Figure 5.11: R´esultats de la simulation de l’´ecoulement de liquide. Mod`ele avec interactions, avec gaz,kg = 0.2:(a)Feuille A; et,(b)Feuille B
La figure 5.12 montre l’´evolution au cours du temps de la r´etention des particules sur les deux feuilles des figures5.11(a) et(b). On remarque que des particules s’´echangent entre les deux feuilles et que l’on n’est pas encore `a l’´etat stationnaire apr`es 400 it´erations.
Le maximum de r´etention par feuille correspond `a 400 x 2 = 800 particules.
Figure 5.12: R´etentions en fonction du temps, rouge feuille A, bleu feuille B
La figure 5.13 montre la comparaison de la dispersion radiale d’un ´ecoulement de liquide, sans interaction avec du gaz. La figure5.13(a)correspond au r´esultat de simulation obtenu par l’automate cellulaire pour une structure ´equivalente aux figures 5.11(a) et(b), avec le mˆeme pas de temps mais sans interaction du gaz (kg = 0). L’injection du liquide est r´ealis´ee en cinq points, sur chaque sommet de chaque feuille, en son centre ((NPP/2-2) :1 :(NPP/2+((NPP/2-2)), `a raison de deux particules par pas de temps. La figure 5.13(b) quant `a elle repr´esente la dispersion radiale, obtenue par cam´era CCD, d’un ´ecoulement de liquide de d´ebit 50 l/h (cf. chapitre4, figure 4.12(d)). Sur ces deux figures, on retrouve le mˆeme profil d’´ecoulement du liquide. Celui est d´elimit´e, `a l’ext´erieur du cˆone de dispersion, par la ligne de plus grande pente et des motifs en forme de losange apparaˆıssent quand le liquide passe d’une feuille `a l’autre. L’automate cellulaire donne donc une bonne interpr´etation de l’´ecoulement du liquide sans gaz.
5.4 Mod´elisation gaz-liquide Chapitre 5. Conception d’un automate cellulaire
(a) (b)
Figure 5.13: Comparaison des r´esultats de simulation et exp´erimentaux dans le cas d’un
´ecoulement de liquide, aliment´e de mani`ere ponctuelle: (a) Simulation, mod`ele avec interactions, sans gaz, kg = 0, feuille A et B confondues; et, (b) Dispersion radiale d’un
´ecoulement de liquide de 50 l/h (10 m3/m2h), r´ealis´ee par cam´era CCD (cf. figure4.12(d)) Dans le cas de la dispersion radiale, pour la mˆeme structure mais avec interaction du gaz (kg = 0.2), on peut constater sur figures5.14(a)et(b)que lorsque le d´ebit de particules est ´elev´e, leur ´ecoulement n’est pas affect´e par le gaz, elles suivent alors la plus grande pente. Un filet de plus faible d´ebit correspondant `a une tˆete de filet de plus faible masse, subit par contre une nette d´eviation.
(a) (b)
Figure 5.14: R´esultat de la simulation pour la dispersion de liquide avec du gaz:(a)Mod`ele avec interactions, avec gaz,kg = 0.2, feuille A; et,(b)Mod`ele avec interactions, avec gaz, kg = 0.2, feuille B
5.5 Conclusions
Les algorithmes d´ecrits dans cette partie constituent une premi`ere tentative de mod´elisation de l’´ecoulement gaz-liquide `a contre-courant sur des tˆoles de MellapakTM 250 Y. A la diff´erence d’une description hydrodynamique classique, les param`etres introduits ne peuvent ˆetre d´etermin´es que par la comparaison des r´esultas de simaltion avec l’exp´erience. Dans une mod´elisation hydrodynamique classique, par la r´esolution de l’´equation de Navier Stokes par exemple, la viscosit´e peut ˆetre obtenue par des mesures ´etrang`eres `a la simulation.
L’automate a ´et´e d´evelopp´e, ex nihilo sans base exp´erimentale pratiquement jusqu’au dernier semestre de ce travail. L’´ecoulement en filets anisotropiques et le ph´enom`ene de l’engorgement progressif qui intervient “semble t’il” d`es l’apparition d’interactions gaz-liquide (point de charge) nous a surpris. Si la notion de filet a pu ˆetre introduite dans l’automate, nous n’avons pas encore pu rendre compte de l’engorgement de mani`ere satisfaisante. Le manque de temps et la difficult´e d’obtenir l’information exp´erimentale ad´equate ne nous a pas permis d’aborder l’aspect quantitatif de cette mod´elisation et d’´evaluer ainsi les param`etres introduits. Il s’agit d’une part des grandeurs telles que la masse d’une particule, l’´echelle de temps et les cofficients de frottement kf et kg.
Toutefois, il serait logique de penser que l’´echelle de temps doit ˆetre fix´ee en consid´erant les fluctuations temporelles de la r´etention d’un filet (Chapitre4, section4.1.5) et que l’odre de grandeur de la masse d’une particule soit ´equivalente `a un volume de10−9 m3.
Conclusions et Perspectives
Le premier volet de cette ´etude a port´e sur l’analyse des ´ecoulements dans une mousse m´etallique. L’utilisation de la microtomographie `a rayons-X a permis de mesurer avec pr´ecision les param`etres structuraux de cette mousse m´etallique, tels que la porosit´e interne,
Le premier volet de cette ´etude a port´e sur l’analyse des ´ecoulements dans une mousse m´etallique. L’utilisation de la microtomographie `a rayons-X a permis de mesurer avec pr´ecision les param`etres structuraux de cette mousse m´etallique, tels que la porosit´e interne,