Comparaison avec les mod`eles de la litt´erature

Plusieurs approches sont propos´ees dans la litt´erature pour d´ecrire les ´ecoulements monophasiques de gaz dans les milieux poreux, en particulier dans les mousses (Du Plessis et al. (1994) ; Fourie & Du Plessis(2002) ; Liu et al. (2006) ; Topin et al.(2006) ; Khayargoli et al. (2004)). Cependant, il est `a noter qu’il existe toujours une controverse entre les approches th´eoriques et exp´erimentales pour la description des ´ecoulements dans ces milieux lorsque les effets inertiels sont pr´esents (Edouard et al. (2008)). Le tableau 3.3 pr´esente quelques ´equations de corr´elations de la litt´erature pour la perte de charge dans les mousses solides. Ces mod`eles sont compar´es aux r´esultats exp´erimentaux obtenus dans la mousse m´etallique.

Le concept de perm´eabilit´e a ´et´e introduit par Henry Darcy (1856). Il a propos´e une

´equation empirique pour estimer le d´ebit volum´etrique (J), pour un fluide unidimensionnel traversant un support poreux tel que :

J =KSdP

dx (3.18)

o`u K est la conductivit´e hydraulique (coefficient de perm´eabilit´e du milieu), dx est la longueur du milieu poreux, dP est la perte de charge hydrostatique et S est l’aire de la section d’´ecoulement du fluide.

En pr´esence des effets inertiels, la perte de charge du fluide peut ˆetre ´evalu´ee par l’´equation suivante (Forchheimer) :

K est le coefficient d’inertie, ∆P est la perte de charge, L est l’´epaisseur du milieu, Usup est la vitesse superficielle du fluide en ´ecoulement, ρ et µ, repr´esentent respectivement la densit´e et la viscosit´e dynamique du fluide.

od`eleshydrodynamiquesChapitre3.´Etuded’uneMousseM´etallique

3.3:Mod`elesdelalitt´eraturepourlapertedechargeenmilieuxporeux:lesmousses

Param`etres structuraux Surfaces sp´ecifiquesm²/m³ Perte de charge: correlations propos´ees r´ef´erences

ds=dp

3.3 Mod`eles hydrodynamiques Chapitre 3. ´Etude d’une Mousse M´etallique

Les param`etres K et ζ sont suppos´es ˆetre r´eli´es aux propri´et´es structurales de la mousse (la porosit´e ou la densit´e des pores, le diam`etre moyen des pores ou des particules solides, etc...). En consid´erant l’´equation 3.17, bas´ee sur l’´equation empirique de Ergun (1952) et l’´equation3.19, la relation entre structure et ´ecoulement peut s’´ecrire de la mani`ere suivante :

Par cons´equent, la perm´eabilit´e peut ˆetre prise comme une fonction lin´eaire du diam`etre moyen des pores au carr´e (d<sup>2</sup><sub>p</sub>) et le coefficient inertiel pris comme inversement proportionnel au diam`etre moyen des pores (d⁻_p¹) dans la mousse m´etallique (´equation3.14), soit :

K_exp = 2.664d²_e= 0.0282d²_p et ζ_exp= 0.0585d⁻¹_e = 0.5687d⁻¹_p (3.21) Les valeurs de ces deux param`etres sont r´eciproquementKexp= 1.0310<sup>−6</sup>m<sup>2</sup>etζexp= 298 m<sup>−1</sup>. Afin de valider les param`etres A et B d´etermin´es exp´erimentalement, ils sont compar´es aux valeurs exp´erimentales et th´eoriques deK etζ pr´esent´ees dans la litt´erature pour des mousses solides (figure3.27). Ces constantes ´etant du mˆeme ordre de grandeur que celles de la litt´erature, les coefficientsA et Bde l’´equation3.17sont donc valid´es au mˆeme titre que ceux obtenus en simulation (Beugre(2010)).Edouard et al.(2008) proposent dans leurs travaux une ´etude similaire sur un tr`es grand nombre de mousses solides (tableau3.4), leurs donn´ees ont ´et´e utilis´ees afin de r´ealiser l’´etude comparative.

Sur les figures3.27(a)et(b), les corr´elations propos´ees pourKexpetζexpen fonction ded_p montrent clairement une similitude entre les coefficientsK_expetζ_expcalcul´es parDu Plessis et al.(1994) et ceux calcul´es pour la mousse m´etallique ´etudi´ee ici.

od`eleshydrodynamiquesChapitre3.´Etuded’uneMousseM´etallique able3.4:Corr´elationspropos´eesdanslalitt´eraturepourlescoefficientKexpetζexp

Auteurs Echantillons´ Grandeurs caract´eristiques ε Kexp[m²] ζexp[m⁻¹] Kth[m²] ζth[m⁻¹]

dp[m] χ

G100 2.53x10⁻⁰⁴ χ= 1.1962 0.973 1.77x10⁻⁰⁹ 2252.96 8.81x80⁻⁰⁹ 1004.72 Du Plessis et al.(1994) G60 5.22x10⁻⁰⁴ χ= 1.1885 0.975 8x10⁻⁰⁹ 1025.29 3.91x10⁻⁰⁸ 463.21

G45 7.14x10⁻⁰⁴ χ= 1.1756 0.978 1.60x10⁻⁰⁸ 696.46 7.84x10⁻⁰⁸ 311.92 NC 3743 5.69x10⁻⁰⁴ 0.870 2.13x10⁻⁰⁹ 1330 1.75x10⁻⁰⁹ 1386.58 Topin et al.(2006) NC 2733 8.31x10⁻⁰⁴ 0.910 4.44x10⁻⁰⁹ 1075 8.94x10⁻⁰⁹ 628.40

NC 1723 1.84x10⁻⁰³ 0.880 2.81x10⁻⁰⁸ 490 2.23x10⁻⁰⁸ 391.30 NC 1116 2.45x10⁻⁰³ 0.890 6.02x10⁻⁰⁸ 381 4.87x10⁻⁰⁸ 266.14 Sample 1 1.21x10⁻⁰³ 0.914 3.7x10⁻⁰⁷ 164.07 1.36x10⁻⁰⁷ 145.34 Sample 2 1.19x10⁻⁰³ 0.918 6.23x10⁻⁰⁷ 230.58 1.33x10⁻⁰⁷ 146.25 Sample 3 8.27x10⁻⁰⁴ 0.870 1.25x10⁻⁰⁷ 280.86 6.09x10⁻⁰⁸ 234.31 Liu et al.(2006) Sample 4 8.05x10⁻⁰⁴ 0.909 1.02x10⁻⁰⁷ 231.08 6.02x10⁻⁰⁸ 220.50 Sample 5 8.14x10⁻⁰⁴ 0.935 2.42x10⁻⁰⁷ 264.26 6.34x10⁻⁰⁸ 206.10 Sample 6 8x10⁻⁰⁴ 0.958 1.42x10⁻⁰⁶ 285.32 6.27x10⁻⁰⁸ 199.76 Sample 7 6.85x10⁻⁰⁴ 0.935 1.33x10⁻⁰⁷ 282.43 4.49x10⁻⁰⁸ 244.92 NC 4753 4x10⁻⁰⁴ 0.86 1.62x10⁻⁰⁹ 2274.44 3.09x10⁻⁰⁹ 2253.47 NC 3743 5x10⁻⁰⁴ 0.83 3.54x10⁻⁰⁹ 1748.12 4.66x10⁻⁰⁹ 1935.45 Khayargoli et al.(2004) NC 2733 6x10⁻⁰⁴ 0.9 5.01x10⁻⁰⁹ 1203.01 7.29x10⁻⁰⁹ 1371.74 NCX 1723 9x10⁻⁰⁴ 0.885 1.53x10⁻⁰⁸ 488.722 1.61x10⁻⁰⁸ 945.76 NCX 1116 1.4x10⁻⁰³ 0.9 2.74x10⁻⁰⁸ 357.143 3.96x10⁻⁰⁸ 587.89

82

3.3 Mod`eles hydrodynamiques Chapitre 3. ´Etude d’une Mousse M´etallique

(a)

(b)

Figure 3.27: Comparaison des coefficients K et ζ obtenus par l’´equation 3.21 avec les coefficients K et ζ th´eorique et exp´erimentaux de la litt´erature: (a) Coefficient de perm´eabilit´e; et(b)Coefficient inertiel

Parmi les ´equations de corr´elations de la perte de charge propos´ees dans la litt´erature (tableau3.3), celles de Khayargoli et al.(2004) etLiu et al.(2006) ont ´et´e choisies afin de les comparer aux r´esultats exp´erimentaux et ceux obtenus par simulation. Ces corr´elations ont tout d’abord ´et´e mises sous la forme :

fg =B(κ(1−ε)/Re+ 1) avec κ=A/B (3.22)

Soit les ´equations de corr´elation suivantes :

Dans les travaux de Khayargoli et al. (2004), la mousse NCX 1116 est ´egalement

´etudi´ee. Pourtant le coefficientB trouv´e dans ce travail diff`ere d’environ 25 %. Le diam`etre de pore moyen ainsi que la porosit´e utilis´es parKhayargoli et al.(2004) sont respectivement de 1.4 mm et 90 % (le fabricant annonce 1.4 mm et 95 % de porosit´e totale). Pourtant, les travaux deTopin et al. (2006) sont bas´es sur la tomographie `a rayons-X pour le calcul de la taille du pore moyen alors que Khayargoli et al. (2004) utilisent celui annonc´e par le fabricant pour les mˆemes ´echantillons de mousse. La connaissance pr´ecise des param`etres structuraux d’un empilage structur´e par la m´ethode de microtomogrphie `a rayons-X semble ˆetre un avantage pour la conception de mod`eles hydrodynamiques.

L’´equation (3.23) pr´esente un r´esultat tr`es int´eressant, car la seule diff´erence notable entre les quatres corr´elations est donn´ee par la constanteB qui d´epend du milieu. La faible diff´erence observable entre l’´equation obtenue par la mesure exp´erimentale et celle obtenue par simulation permet de valider les param`etres structuraux mesur´es par microtomographie ainsi que le code de calcul en lattice Boltzmann.