Méthodes numériques

Seule une description succincte des méthodes numériques utilisés dans AVBP sera donnée ici. Pour plus d’informations, le lecteur est invité à se reporter au manuel d’AVBP [27] ou au manuscrit de thèse de Nicolas Lamarque [87].

Schémas numériques

AVBP résout les équations de conservation de manière explicite en temps et centrée en espace. Les schémas centrés sont peu diffusifs mais sont inconditionnellement instables. Ils font en effet apparaître des ondes parasites, appelées wiggles, d’origine purement numérique, dans les zones de fort gradient. De la viscosité artificielle numérique est donc ajoutée aux endroits idoines afin de stabiliser le calcul. Deux types de viscosité artificielle sont utilisés : la viscosité artificielle de second ordre qui permet de lisser les forts gradients, et la viscosité artificielle d’ordre 4 qui agit directement sur les oscillations nœud-à-nœud. La première est appliquée uniquement au niveau des forts gradients grâce à un capteur approprié, alors que la seconde est appliquée sur l’ensemble du domaine de calcul. L’avance en temps est réalisée au moyen d’une décomposition de Taylor en temps d’ordre 3 qui permet d’écrire les dérivées temporelles sous forme d’une combinaison de dérivées spatiales. La

stabilité est assurée par le respect de la condition CCF L< 12.

Dans ces travaux, les flux convectifs sont discrétisés à l’aide du schéma TTG4A (Two-step Taylor-Galerkin 4A) [43]. Il s’agit d’un schéma éléments-finis de type Taylor-Galerkin en deux étapes d’ordre 3 en espace et d’ordre 4 en temps. Il présente l’avantage d’être stable lors de la simulation d’écoulements complexes, notamment en présence de chocs intenses comme ceux qui peuvent êtres rencontrés dans ces travaux. Il est peu dispersif3 _{et peu dissipatif}4 _{à toutes les échelles, mais est} légèrement plus dissipatif aux nombres d’onde moyen que sur le reste du spectre. Il s’agit cependant d’un schéma coûteux en termes de temps de calcul. Le choix de ce schéma numérique parmi ceux disponibles dans AVBP a été motivé par sa grande précision alliée à sa bonne robustesse. Parmi les autres schémas disponibles, bien que non utilisés au cours de cette étude, citons le schéma de Lax-Wendroff qui est certes moins coûteux (2 à 3 fois moins) mais qui est beaucoup plus dissipatif. Il n’a été utilisé que pour le dimensionnement des cas à simuler. Citons également le schéma TTGC (Two-step Taylor-Galerkin C), un schéma de la même famille que TTG4A, moins dissipatif mais moins robuste et qui supporte mal les forts gradients de pression considérés ici.

Les flux diffusifs sont, quant à eux, discrétisés à l’aide d’un opérateur de type éléments-finis permettant d’éliminer les oscillations numériques point à point. Il est décrit dans [34].

Les simulations font également intervenir, en plus des deux types de viscosité artificielle présentés plus haut, de la viscosité en compression qui sert au traitement des chocs. Cette viscosité est introduite selon les formules données par Cook et Cabbot [37].

Maillages

Les maillages utilisés par AVBP sont non structurés. Ils sont composés de tétraèdres, d’hexaèdres et de prismes pour les maillages tridimensionnels, et de triangles et de quadrilatères pour les cas bidimensionnels.

AVBP est un code en volumes finis qui utilise une approche Cell-Vertex et non pas une approche Cell-Center plus classique. Les informations sont ainsi stockées aux nœuds du maillage et non pas aux centres des cellules, et les relations de conservation sont appliquées dans les cellules [87]. Cette approche a été choisie pour sa précision et sa robustesse aux distorsions du maillage.

En terme de taille de maillage, AVBP a déjà été testé sur des cas comptant jusqu’à un milliard d’éléments. Il offre donc une très bonne capacité de simulation et permet une étude détaillée de phénomènes tridimensionnels complexes.

Conditions aux limites

Comme AVBP est un code utilisant les approches DNS et LES, il permet la propagation d’ondes acoustiques dans le domaine de calcul. Les conditions aux limites doivent donc les prendre en compte. En effet, des conditions aux limites classiques imposant en dur une valeur à un paramètre sont parfai-

2. Du nom des mathématiciens Courant, Friedrichs et Lewy. Condition nécessaire de stabilité pour la résolution des systèmes d’équations aux dérivées partielles hyperboliques par la méthode des différences finies. Pour un maillage donné, cette condition fixe une valeur limite maximale du pas de temps au-delà duquel on observe une instabilité du calcul due à un accroissement de l’erreur à chaque itération. Pour cela, elle garantit que l’onde la plus rapide permise par les équations ne parcourt pas une distance supérieure à la taille des mailles entre deux instants discrets consécutifs. La valeur maximale admissible du nombre CCF Ldépend du schéma numérique utilisé.

3. Le caractère dispersif d’un schéma traduit sa capacité à conserver le spectre de l’écoulement. Plus un schéma est dispersif, plus il tend à décaler en fréquence les phénomènes présents dans l’écoulement.

4. Le caractère dissipatif d’un schéma traduit sa capacité à conserver les structures de l’écoulement (chocs, tour- billons, etc.). Moins un schéma est dissipatif, mieux il conserve ces structures.

tement réfléchissantes d’un point de vue acoustique. Leur utilisation provoque alors une accumulation de l’énergie acoustique dans le domaine de calcul qui tend à faire diverger la simulation.

Pour pallier ce problème, AVBP recourt à des conditions aux limites NSCBC (Navier-Stokes Characteristic Boundary Conditions) [114] qui reposent sur la méthode des caractéristiques. Chacune des grandeurs caractéristiques de l’écoulement est décomposée en une série d’ondes entrantes et sortantes dont le nombre dépend du type de condition – entrée ou sortie – et de la sonicité de l’écoulement. Les ondes sortantes sont calculées à partir du reste de l’écoulement grâce au schéma numérique et les ondes entrantes, qui ne peuvent pas être calculées, ont une valeur définie par l’utilisateur. De cette façon, les ondes acoustiques qui sortent du domaine peuvent être évacuées sans être réfléchies.