3.4.1
Calcul des dérivées secondes de l’énergie
Pour évaluer chacun des tenseurs, il faut calculer la dérivée seconde de l’énergie par rapport aux variables qui conviennent. Pour cela, différentes méthodes existent dans la littérature.
Ajustement
Le plus souvent, la dérivée seconde est évaluée en calculant l’énergie par rapport aux variables de dérivation, et en ajustant cette courbe sur un mo- dèle analytique [71–74]. La dérivée seconde s’obtient alors par une formule analytique dépendant des paramètres de l’ajustement. Cette méthode peut demander beaucoup de temps de calcul suivant le nombre de points de la courbe que l’on souhaite. De plus elle dépend du modèle d’ajustement (les plus généraux sont des polynômes, mais pour le module de rigidité on peut utiliser les équations d’état), car un bon modèle demandera très peu de points à ajuster pour donner de bons résultats.
Dérivation numérique
On peut aussi utiliser les formules de dérivations numériques [75, 76]. Généralement, plus la formule est précise, plus il y a de points à évaluer.
3.4.2
Calcul des dérivées premières de la contrainte
Méthode standard ab initio
C’est sur la base du calcul de la contrainte (cf. § 1.3.1) que Nielsen et Martin ont développé le calcul du tenseur des constantes élastiques dans les calculs ab initio. Une fois le tenseur des contraintes calculé, ils ont utilisé la loi de Hooke (3.8) pour calculer σ/δ qui nous donne la valeur de la constante élastique [77].
Limite de la méthode standard
Cependant nous verrons au chapitre 7.1 que cette méthode n’est pas la mieux adaptée pour les calculs ab initio. En effet il faut choisir une valeur de la déformation très faible pour appliquer cette méthode de manière précise, car elle consiste à calculer la dérivée par une méthode numérique d’ordre 3. Or pour une déformation aussi faible, il faut un calcul très bien convergé en nombre d’ondes planes, sinon le bruit numérique est trop important.
3.4.3
Méthodes numériques pour les constantes
élastiques internes
La question de la contribution des degrés de liberté internes aux con- stantes élastiques et assez peu traitée en règle générale. La plupart des auteurs considèrent cette contribution comme suffisamment faible pour ne pas être évaluée [74, 78, 79], bien que très peu de littérature soit disponible sur le sujet.
Relaxation atomique
La manière la plus simple de prendre en compte la contribution des constantes élastiques internes, est de laisser les atomes se stabiliser à leur position d’équilibre pour chaque déformation, ce qui dispense de toute étude des symétries [75, 80].
Inconvénient de la relaxation
Cependant relaxer le système est beaucoup plus coûteux en temps de calcul qu’un calcul statique. De plus dans nos méthodes ab initio la précision nécessaire pour calculer les constantes élastiques nous oblige à prendre un nombre d’ondes planes important, ce qui rend ce type de calcul très lourd. Comme l’étude des symétries n’a pas été faite, on ne peut pas savoir quelle déformation va provoquer une relaxation des atomes, ce qui oblige à traiter tous les cas possibles.
Etude des symétries du cristal
L’autre possibilité pour évaluer les constantes élastiques internes est la voie que nous avons choisie de suivre, c’est-à-dire étudier les symétries du cristal pour trouver la forme analytique de la contribution des constantes élastiques internes. Dans ce cas, nous devons calculer la réponse aux dé- placements atomiques en plus de la réponse à la déformation, mais nous n’avons qu’un nombre réduit de réponses à calculer, et pas de relaxation à faire, ce qui présente un grand avantage [72, 73, 77, 81, 82]. Toutefois, l’étude des symétries des constantes élastiques internes est suffisamment difficile pour que la majorité des auteurs lui préfère la relaxation, quand l’étude des symétries n’a pas été effectuée.
3.4.4
Théorie de la perturbation de la fonctionnelle
de la densité
Evaluation de la dérivée seconde de l’énergie
Une autre méthode est disponible actuellement qui utilise la DFPT [83]. Son principe [84, 85] repose sur l’utilisation des dérivées premières des fonc-
tions d’onde par rapport à la perturbation (ici la déformation ou le déplace- ment atomique) pour évaluer les dérivées secondes de l’énergie. Le calcul des dérivées premières des fonctions d’onde se fait de manière autocohérente, ce qui donne un calcul assez long. Mais une fois connues, on peut évaluer très rapidement toutes les dérivées secondes que l’on souhaite.
Traitement des constantes élastiques internes
Hamann et coll. [84, 86] ont implémenté la prise en compte systématique des constantes élastiques internes dans un calcul ab initio [87]. Ils calculent l’ensemble des éléments des tenseurs d et e grâce à la DFPT pour en déduire la contribution des constantes élastiques internes. Même s’ils ne font pas l’économie de calculer uniquement les éléments indépendants, ceci ne leur coûte quasiment aucun temps de calcul supplémentaire, car le plus gros du temps de calcul se passe dans l’évaluation des dérivées premières des fonctions d’onde.
Cette méthode n’est pas encore un standard, car elle a été introduite seulement en 2005. Cependant, de par sa facilité d’utilisation et ses faibles temps de calcul, elle peut devenir rapidement une méthode de choix, pour évaluer les constantes élastiques internes.
Afin d’avoir une méthode la plus précise possible, sans que les temps de calcul deviennent prohibitifs, nous avons développé notre propre protocole de calcul qui permet de mieux contrôler la précision du calcul par rapport à l’état de l’art. Nous décrivons notre méthode au chapitre 7.1.