Etude du protocole de calcul

Dilatation

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

δ

128 130 132 134 136 138

B (GPa)

1/(9V₀) d²E/dδ²

1/9 Σ_i=1,2,3(σ_i+ - σ_i-)/ 2δ ajustement 1/9 Σ_i=1,2,3(σ_i+ - σ_i-)/ 2δ

1/(9V₀) d²E/dδ² ajustement

Fig. 7.1 – Ti α - Module de rigidité (GPa) en fonction de la déforma-tion par dilatadéforma-tion (3.19). Les quatre courbes correspondent aux méthodes décrites au § 7.1.3.

Sur la fig. 7.1 on constate que la méthode par différences finies de l’éner-gie dévie de la méthode par ajustement de l’énerl’éner-gie pourδ <0.02.δ = 0.02 est donc le δ optimum pour la méthode par différences finies de l’énergie, comme expliqué au §7.1.3. La méthode par différences finies de la contrainte dévie de la méthode par ajustement de la contrainte pourδ <0.02.δ = 0.02 est donc leδoptimum pour la méthode par différences finies de la contrainte.

Les méthodes de l’énergie et de la contrainte par ajustement donnent un écart inférieur à 0.1 sur 120 GPa, ce qui indique une très bonne convergence de la base.

Nous choisissons doncδ = 0.02, commeδde référence pour les méthodes par différences finies.

La méthode des contraintes permet aussi d’obtenir C₁₁+C₁₂+C₁₃ et 2C₁₃+C₃₃(tab. 7.1). Pour choisir la valeur finale du module de rigiditéB_V, nous avons fait la moyenne entre la méthode par ajustement de l’énergie et la méthode par ajustement de la contrainte, ce qui nous donne 129.5

±0.1GPa. Si nous voulons nous passer des méthodes par ajustement, nous faisons la moyenne entre la méthode par différences finies de l’énergie et la méthode par différences finies de la contrainte. Ceci nous donne 130 GPa

±0.4, en très bon accord avec la valeur obtenue par ajustement.

Allongement suivant xy

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

δ

288 289 290 291 292

C 11+C 12 (GPa)

1/2V₀ d²E/dδ² (σ₁₊ - σ_1-)/ 2δ

1/2V₀ d²E/dδ² ajustement (σ₁₊ - σ_1-)/ 2δ ajustement

Fig. 7.2 – Ti α - C₁₁+C₁₂ (GPa) en fonction de la déformation par al-longement suivant xy (3.20). Les quatre courbes correspondent aux méthodes décrites au §7.1.3.

Sur la figure fig. 7.2 nous constatons que le bruit associé aux méthodes numériques est beaucoup plus important que dans le cas de la dilatation.

Ceci est confirmé par le fait que les méthodes de l’énergie et de la contrainte par ajustement donnent des résultats sensiblement différents, indiquant que l’imprécision due à l’incomplétude de la base est plus importante que dans le cas de la dilatation. Ceci peut se comprendre par le fait que la pression est très bien convergée puisqu’au minimum de l’énergie l’écart est de 0.40 kbar par rapport à la valeur exacte (0 kbar), alors que les composantes individuelles du tenseur des contraintes le sont beaucoup moins puisque l’écart est de 2.01 kbar pourσ₃. Un autre argument en faveur de la bonne

convergence de la pression est le fait que les pressions résiduelles sont très semblables entre les 3 phases (-0.33, 0.40, 0.50 kbars).

Comme pour la dilatation la valeur optimum de δ pour les différences finies estδ= 0.02pour les deux méthodes par l’énergie et par la contrainte.

La méthode des contraintes permet aussi d’obtenirC13(cf. fig. 7.6 et tab. 7.1 ligne C₁₃ directe). La connaissance de C₁₁+C₁₂ par l’allongement suivant xy et de C₁₁ +C₁₂ +C₁₃ par la dilatation permet de faire une nouvelle évaluation de C13 (cf. fig. 7.6 et tab. 7.1 ligne C13 indirecte), ce qui nous permet de contrôler la cohérence de nos résultats.

Pour choisir la valeur finale deC₁₁+C₁₂nous avons fait la moyenne entre la méthode par ajustement de l’énergie et la méthode par ajustement de la contrainte, ce qui nous donne 290.0 ±2 GPa. Si nous voulons nous passer des méthodes par ajustement, nous faisons la moyenne entre la méthode par différences finies de l’énergie et la méthode par différences finies de la contrainte. Ceci nous donne 291.0 ±1 GPa. Il n’y a donc pas de perte de précision par la méthodes des différences finies, puisque la valeur est dans la barre d’erreur de la méthode par ajustement.

Allongement suivant z

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

δ

200 205 210

C 33 (GPa)

1/V₀ d²E/dδ²

1/V₀ d²E/dδ² ajustement (σ₃₊ - σ_3-)/ 2δ

(σ₃₊ - σ_3-)/ 2δ ajustement

Fig. 7.3 – Tiα-C₃₃(GPa) en fonction de la déformation par allongement suivantz(3.21). Les quatre courbes correspondent aux méthodes décrites au §7.1.3.

Sur la fig. 7.3 on constate que la méthode par différences finies de l’éner-gie dévie de la méthode par ajustement de l’énerl’éner-gie pourδ <0.02.δ = 0.02

est donc leδoptimum pour la méthode par différences finies de l’énergie. La méthode par différences finies de la contrainte dévie de la méthode par ajus-tement de la contrainte pourδ <0.04.δ = 0.04est donc leδ optimum pour la méthode par différences finies de la contrainte, cependant cette valeur est élevée et entraîne la prise en compte des termes d’ordres plus élevés : le calcul par la contrainte est donc moins précis pour cette déformation.

La méthode des contraintes permet aussi d’obtenir C13 (cf. fig. 7.6 et tab. 7.1 C₁₃ directe). La connaissance de 2C₁₃+C₃₃ par la dilatation et de C₃₃ par l’allongement suivantz permet de faire une nouvelle évaluation de C13 (cf. fig. 7.6 et tab. 7.1 C13 indirecte).

Pour choisir la valeur finale du C₃₃ nous avons fait la moyenne entre la méthode par ajustement de l’énergie et la méthode par ajustement de la contrainte, ce qui nous donne C33 = 205.5±3 GPa. Si nous voulons nous passer des méthodes par ajustement, nous faisons la moyenne entre la méthode par différences finies de l’énergie et la méthode par différences finies de la contrainte pour le δ de référence 0.02. Ceci nous donne 207.4

±2 GPa. Nous constatons donc que le fait de prendre un δ non optimum induit une erreur qui reste dans la barre d’erreur du calcul par ajustement.

Allongement suivant x

L’allongement suivantxest effectué en imposant un déplacement interne nul (7.28).

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

δ

205 210 215 220 225

C 11 (GPa)

1/V₀ d²E/dδ²

1/V₀ d²E/dδ² ajustement (σ₁₊ - σ_1-)/ δ

(σ₁₊ - σ_1-)/ δ ajustement

Fig. 7.4 –Tiα-C₁₁(GPa) en fonction de la déformation par allongement suivantx(3.22). Les quatre courbes correspondent aux méthodes décrites au §7.1.3.

Les méthodes par différences finies dévient des méthodes par ajustement pour δ= 0.01 (fig. 7.4), qui est donc leδ optimum pour les deux méthodes par différences finies.

Avec cette déformation on peut calculerC₁₃de plusieurs manières. D’une part, la méthode des contraintes pour l’allongement suivantxpermet d’ob-tenir C₁₃ (cf. fig. 7.6 et tab. 7.1 C₁₃ directe). D’autre part, nous pouvons combiner la connaissance de B_V, C₁₂ et C₃₃, avec la connaissance de C₁₁ pour faire une nouvelle évaluation de C13 (cf. fig. 7.6 et tab. 7.1 C13 indi-recte).

De la même manière la méthode des contraintes permet aussi d’obtenir C₁₂ (cf. fig. 7.5 et tab. 7.1 ligneC₁₂ directe) et la connaissance deC₁₁+C₁₂ par l’allongement suivant xy et de C11 par l’allongement suivant x permet de faire une nouvelle évaluation de C₁₂ (cf. fig. 7.5 et tab. 7.1 ligne C₁₂ indirecte).

Pour choisir la valeur finale du C₁₁ nous avons fait la moyenne entre la méthode par ajustement de l’énergie et la méthode par ajustement de la contrainte, ce qui nous donne 214.6 ±5 GPa. Si nous voulons nous passer des méthodes par ajustement, nous faisons la moyenne entre la méthode par différences finies de l’énergie et la méthode par différences finies de la contrainte pour le δ de référence 0.02. Ceci nous donne 214.7±4 GPa.

Nous pouvons maintenant décider des valeurs finales de C₁₂ etC₁₃. Par la moyenne sur les ajustements, nous trouvons C₁₂ = 75.5± 4 et C₁₃ = 95.0±1.5. Pour les différences finies, nous disposons de beaucoup plus de valeurs. Nous effectuons donc la moyenne sur les valeurs les plus extrêmes obtenues par différences finies – sans tenir compte de la méthode standard, qui est plus imprécise. Ce qui donne C12= 75.9±3etC13= 95.8±2 Gpa.

Dans tous les cas, nous constatons donc que le fait de prendre un δnon optimum pour la méthode par différences finies induit une erreur qui reste dans la barre d’erreur du calcul par ajustement.

Avec l’allongement suivant x, nous obtenons aussi une évaluation de d par la force (cf. équation (7.24), fig. 7.11 et tab. 7.3).

Cisaillement

Nous trouvons sur la figure fig. 7.7, que le comportement non quadra-tique est ici très faible (pas d’écart significatif par rapport au polynôme d’ordre 2 jusqu’à |δ| >0.06), ceci est dû au fait que le terme d’ordre 3 est nul par symétrie. De même nous constatons sur la fig. 7.8 que l’imprécision due à la convergence est plus faible que dans les autres cas.

Sur la fig. 7.3 on constate que la méthode par différences finies de l’éner-gie dévie de la méthode par ajustement de l’énerl’éner-gie pourδ <0.02.δ = 0.02 est donc le δ optimum pour la méthode par différences finies de l’énergie.

La méthode par différences finies de la contrainte dévie de la méthode par

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

δ

65 70 75 80

C 12 (GPa) (C₁₁+C₁₂)_allXY-(C₁₁)_allX derivée

(C₁₁+C₁₂)_allXY-(C₁₁)_allX contrainte allongement suivant x

Fig. 7.5 – Tiα - C₁₂ (GPa) en fonction de la déformation.

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

δ

95 100 105 110 115

C13 (GPa)

allongement suivant z ((2C₁₃+C₃₃)_dila- (C₃₃)_allZ)/2 allongement suivant xy allongement suivant x

(C₁₁+C₁₂+C₁₃)_dila-(C₁₁+C₁₂)_allXY energie

Fig. 7.6 – Tiα - C13 (GPa) en fonction de la déformation.

ajustement de la contrainte pour δ <0.01, δ= 0.01est donc le δ optimum pour la méthode par différences finies de la contrainte.

Comme précédemment, nous faisons la moyenne sur les ajustements (C₄₄ = 38.6±0.6GPa) et sur les différences finies (C₄₄ = 38.3±0.3GPa),

-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04

δ

-0,008 -0,007 -0,006 -0,005 -0,004

E (Ry)

Fig. 7.7 – Ti α - énergie totale LDA (Ry) en fonction de la déformation par cisaillement (3.23) :Cercles noirs : calcul LDA,Trait rouge : ajustement par un polynôme d’ordre 2, Tirets vert : ajustement par un polynôme d’ordre 6.

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

δ

30 35 40 45 50 55 60

C 44 (GPa)

1/8V₀ d²E/dδ² 1/2 (σ₄₊ - σ_4-)/ 2δ 1/8V₀ d²E/dδ² ajustement 1/2 (σ₄₊ - σ_4-)/ 2δ ajustement

Fig. 7.8 – Tiα-C₄₄(GPa) en fonction de la déformation par cisaillement (3.23). Les quatre courbes correspondent aux méthodes décrites au §7.1.3.

l’accord entre les deux méthodes est toujours excellent. Comme le compor-tement non quadratique est très faible, la méthode standard donne pour cette déformation une valeur en bon accord avec les autres méthodes, ce qui n’est pas le cas pour les autres déformations.

Déplacement interne suivant y

-0,02 -0,01 0 0,01 0,02

t

-0,0083 -0,0082 -0,0081 -0,008

E (Ry)

Fig. 7.9 – Ti α - énergie totale LDA (Ry) en fonction t pour un déplace-ment interne suivanty (7.25) :Cercles noirs : calcul LDA,Trait rouge : ajustement par un polynôme d’ordre 2, Tirets vert : ajustement par un polynôme d’ordre 6.

L’écart par rapport au comportement non quadratique est ici très faible (fig. 7.9), car le terme d’ordre 3 dans le développement de l’énergie est nul par symétrie. Comme dans le cas du cisaillement, nous avons donc une bonne précision pour la méthode standard. Nous constatons (fig. 7.10) que t = 0.01 est le t optimum pour la méthode par différences finies de l’énergie et t = 0.006 est le t optimum pour la méthode par différences finies de la force. Pour l’évaluation de d (fig. 7.11) δ = 0.02 est la valeur optimum pour l’évaluation par la force, ett = 0.006pour l’évaluation par la contrainte.δ= 0.02est déjà notre valeur de référence pour les déformations, nous choisissonst = 0.01comme valeur de référence pour les déplacements internes.

La moyenne sur les ajustements nous donnee₁₁= 2.00±0.01GPa/Bohr² et la moyenne sur les différences finiese11 = 1.95±0.03GPa/Bohr²(tab. 7.2).

Nous avons donc une petite perte de précision par la méthode des différences

0 0,005 0,01 0,015 0,02

t

1,7 1,8 1,9 2 2,1

e 11 (GPa)

1/(4a₀²V₀) d²E/dt²

1/(4a₀²V₀) d²E/dt² ajustement 1/(2a₀V₀) (F₊-F_-)/2t

1/(2a₀V₀) (F₊-F_-)/2t ajustement

Fig. 7.10 – Tiα - e₁₁ en fonction t pour le déplacement interne suivant y (7.26) et (7.27).

A A A A A A A

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

t ou δ

5,5 6 6,5 7 7,5 8

d (GPa/Bohr)

(1/2a₀)(σ₁₊ - σ_1-)/2 t (1/2a₀)(σ₂₊ - σ_2-)/2t

(1/2a₀)(σ₁₊ - σ_1-)/2t ajustement (1/2a₀)(σ₂₊ - σ_2-)/2t ajustement (F₊ - F_-)/ 2δ

(F₊ - F_-)/ 2δ ajustement

A A

Fig. 7.11 – Ti α - d en fonction de t pour le déplacement interne suivant y (7.26) ou de δ pour la déformation par allongement suivant x (7.24).

finies, puisque la valeur n’est pas dans la barre d’erreur de l’ajustement.

L’écart reste cependant tout à fait acceptable.

Pour d, nous avons fait la moyenne sur les valeurs les plus extrêmes.

Les ajustements donnent d= 6.18±0.2 GPa/Bohr et les différences finies d= 6.08±0.1GPa/Bohr (tab. 7.3), donc pourd nous n’avons pas de perte de précision.

e₁₁ correspond à un phonon optique transverse de centre de zone de fréquence 127 cm⁻¹. Nous avons donc C^int= _e^d₁₁² = 19.1.

Nous avons aussi calculé e₃₃, pour déterminer entièrement les tenseurs des constantes élastiques internes, bien qu’il ne soit pas nécessaire pour cal-culer les constantes élastiques totales. Les détails des calculs sont présentés en annexe D.

Tab. 7.2 –Ti α - e₁₁ et phonon optique correspondant à un déplacement interne suivant y (7.26). t = 0.01 pour les différences finies et t = 0.006 pour la méthode standard.

Méthode énergie Méthode force

figure diff. finies ajustement diff. finies ajustement standard

e₁₁ (GPa/Bohr²) 7.10 1.92 1.98 1.97 2.01 1.97 ω^{T O}_Γ = ^ρ₄⁰e²₁₁ (cm⁻¹) 125 127 127 128 126

Tab. 7.3 – Ti α - d pour un déplacement interne suivant y (7.26) et un allongement suivantx(7.24).δ= 0.02pour les différences finies sur la contrainte, t= 0.01pour les différences finies sur la force.

Pour la méthode standard t = 0.006 pour la force et δ = 0.01 pour la contrainte.

(GPa/Bohr) figure diff. finies ajustement standard d par σ₁ 7.11 5.97 5.96 6.57 d par σ₂ 7.11 6.18 6.39 6.03

d par la force 7.11 6.04 6.01 5.98

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 129-138)