Méthode de Sternheimer pour les fonctions libres

Lorsque l’énergie de la fonction induite est positive, E1 >0, les solutions homogènes présentent

un comportement sinusoïdal, loin de l’ion central (cf. sec. 5.2.1). Ainsi, il suffit, dans un premier temps, d’intégrer l’équation de Schrödinger, homogène et inhomogène, vers l’extérieur (outward), à partir de la limite connue aux faibles rayons.

Dans un deuxième temps, il s’agit d’évaluer les comportements asymptotiques présents dans les deux fonctions, homogène Go et particulière Fo. Il faut alors déterminer le coefficient a, per- mettant de construire la fonction induite P1i = Fo + aGo, en utilisant la fonction homogène, pour retirer les comportements non-causaux présents dans la solution particulière.

A la limite des grands rayons, P1i doit respecter le principe de causalité, en correspondant

homogènes (cf. sec. 5.2.1), le choix de la base des fonctions de Hankel, h(1)lli et h

(2)

lli , pour analyser

le comportement des fonctions Fo et Go, est alors particulièrement judicieux.

En ce qui concerne la solution particulière, rappelons que le potentiel dynamique décroît lorsque l’on s’éloigne de l’ion central. Même si cette décroissance est lente, dans le cas des transitions libre→libre, elle permet d’établir que le terme source doit s’annuler à la limite r → ∞. A la limite des grands rayons, l’équation de Schrödinger inhomogène s’identifie alors à l’équation homogène. Dans ce cas, la fonction Fo peut également être exprimée en terme de fonctions de Hankel, d’où :

Go(r → ∞) = Arh(1)_lli (k1ir) + Brh(2)_lli (k1ir) (5.3.16)

Fo(r → ∞) = Crh(1)_lli (k1ir) + Drh(2)_lli (k1ir) (5.3.17) Il suffit alors d’évaluer les quatre coefficients apparaissant dans ces deux équations pour obtenir la fonction induite, causale :

P_1i(r) = F (r) −D

BG(r) (5.3.18)

Dans le cas général, les différents coefficients des équations (5.3.16, 5.3.17) et la fonction Fo sont complexes. Néanmoins, pour un système atomique isolé, lorsque la fréquence du champ extérieur ω est inférieure à l’énergie de l’orbitale la moins liée, il n’y a pas d’absorption. Le potentiel dynamique, et par suite la solution particulière Fo, sont alors réels. Dans ce cas, les coefficients (5.3.16, 5.3.17) vérifient C = D∗, et A = B∗, cette dernière égalité étant toujours vérifiée, puisque la solution homogène, initialisée d’après (5.2.3), est réelle pour tout ω.

Limitation due à la détermination des coefficients asymptotiques

Dans le cas des fonctions induites libres, la détermination de P1i, telle que nous l’avons pré-

sentée, paraît, à première vue, plus simple que pour le cas des fonctions liées. En particulier, l’établissement du comportement de la solution particulière pour les grands rayons, Fi(r ≈ r∞),

qui est la principale limitation du cas lié, n’est pas directement requis ici. En réalité, la déter- mination numérique de la fonction induite est tout aussi délicate dans le cas libre que dans le cas lié.

L’équivalent du problème, rencontré pour le cas lié, du comportement asymptotique de la solution particulière Fi, se dissimule ici dans l’évaluation des coefficients C et D apparaissant dans l’équation (5.3.17). En effet, ces coefficients ne sont obtenus exactement que dans la limite

r → ∞, là où l’influence du terme source a totalement disparu. Or, au bord de la région numé-

rique, pour r ≈ r∞, le terme source n’est pas négligeable pour toutes les transitions. Dès lors,

les fonctions rh(1)_lli (k1ir) et rh(2)lli (k1ir), ne sont pas encore solution de l’équation de Schrödin-

ger inhomogène, et en conséquence, les coefficients C et D, intervenant dans la décomposition (5.3.17), dépendent de la position radiale r.

Pour les transitions lié→libre, la fonction d’équilibre P0iest localisée à proximité de l’ion cen-

tral, le terme source, de l’équation de Schrödinger inhomogène, l’est alors également. Pour ces transitions, les coefficients C et D, déterminés en bord de boîte, correspondent à ceux obtenus à la limite r → ∞. Cependant, pour que le terme source puisse être considéré comme localisé à proximité de l’ion central, il est nécessaire que la fonction P0i soit très faible, en bord de boîte

numérique, et donc suffisamment liée. L’hypothèse s1i(r ≈ r∞) = 0, peut ne pas être acceptable

5.3 Méthode de Sternheimer

de l’atome-moyen, à proximité de l’ionisation par pression d’un état lié.

Pour les transitions libre→libre, la fonction d’équilibre P0i est une sinusoïde loin du centre

ionique. Le terme source est alors seulement lentement décroissant. Les coefficients C et D sont alors fonction de la position même au niveau de la frontière numérique, C(r ≈ r∞), D(r ≈ r∞) 6= Cst.

L’erreur commise sur les coefficients C et D n’est pas anodine, en effet, elle introduit une composante non-causale dans les fonctions induites P1i. Ce mauvais comportement des fonctions

induites se répercute, ensuite, dans le calcul de la densité induite, par exemple, en provoquant l’apparition d’oscillations importantes dans cette dernière, pour les plus grands rayons. Outre les valeurs erronées pour les observables, dans certains cas, la présence de ces oscillations peut même conduire à l’échec du calcul de la réponse auto-cohérente dynamique.

r

𝑟

−3

𝑔

𝑜

𝑟 → ∞ ∝ 𝑨𝑒

+𝑖𝑘𝑟

+ 𝑩𝑒

−𝑖𝑘𝑟 𝑔𝑜 𝑟 ∝ 𝑟𝑙+1

0

𝑃

1

𝑟 = 𝑓

𝑜

−

𝐷

𝐵𝑔

𝑜

∝

𝑒

+𝑖𝑘𝑟

STERNHEIMER 𝜓

1

libre

𝑓𝑜 𝑟 → 0 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 1) Recherche des coefficients 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒𝑠 2) Condition onde sortante

!

𝑓

𝑜

𝑟 → ∞ ∝ 𝑪𝑒

+𝑖𝑘𝑟

+ 𝑫𝑒

−𝑖𝑘𝑟 Problème, pour 𝑟 ≈ 𝑟∞ 𝑪 et 𝑫 inconnus

Figure 5.3.2 : Schéma récapitulatif de la méthode de Sternheimer pour une fonction induite libre. On intègre l’équation de Schrödinger (5.2.2), avec et sans terme source, de- puis l’origine, vers l’extérieur. Au niveau des plus grandes coordonnées radiales,

r ≈ r∞, on recherche le comportement asymptotique d’une solution homogène

Go, et particulière Fo. Cependant, ces coefficients asymptotiques ne sont exacte- ment déterminables, pour la solution particulière, que dans la limite r → ∞. On commet alors une erreur sur P1i, d’autant plus importante, que le terme source

est lentement décroissant. Pour ne pas alourdir le schéma, on ne représente pas les parties imaginaires.

Variante originelle

La méthode de Sternheimer présentée ici diffère techniquement de celle initialement proposée dans [Mahan 90], pour les systèmes atomiques isolés. Dans cette référence, le comportement

asymptotique des fonctions Go et Fo est supposé sinusoïdal et décomposé en terme de phase- amplitude : Go(r → ∞) = CGsin  k₁r+ δG− l₁π 2  (5.3.19) Fo(r → ∞) = CF1sin  k₁r+ δF1− l₁π 2  + iCF2sin  k₁r+ δF2− l₁π 2  (5.3.20) où les différents coefficients apparaissant dans ces deux équations, sont réels. La fonction induite est alors également obtenue en requérant le comportement causal, ce qui donne :

P₁(r) = Fo(r) − eiδG CG h CF1e−iδF 1+ iCF2e−iδF 2 i Go(r) (5.3.21) En plus de la complexification de l’écriture de P1 et de la moins grande visibilité du principe

de causalité, cette approche est également moins précise que notre décomposition à l’aide des fonctions de Hankel. En effet, la recherche des coefficients phase-amplitude, en terme de sinu- soïde, suppose que, dans l’équation de Schrödinger, le terme l1(l1+ 1) /r2 est négligeable devant

le terme d’énergie k2 1.

Non seulement cette hypothèse n’est pas forcément vérifiée pour tous les états liés, mais en plus, dans notre étude incluant un continuum électronique, la portion du continuum, 0 <

k₁ < p

l₁(l₁+ 1)/r∞, ne remplit pas cette condition. Nous avons donc choisi de retenir la

décomposition en terme de fonction de Hankel, plutôt que cette méthode originelle.

5.4 Méthode de Green

Bien que le principe de la méthode de Sternheimer soit assez simple, un obstacle majeur s’oppose à sa mise en œuvre : la méconnaissance, pour certaines transitions, du comportement d’une solution particulière, physiquement acceptable loin de l’ion central, Fi, ne permet pas de garantir la fiabilité des fonctions induites P1iobtenues . Nous avons donc cherché à mettre en

œuvre une autre procédure nous permettant de calculer les fonctions induites dynamiques.

5.4.1 Principe

Une autre méthode de la littérature [Zangwill 80, Stott 80b], permettant d’intégrer l’équation de Schrödinger inhomogène (5.2.2) repose sur l’approche de la fonction de Green, plus générale que la méthode de Sternheimer. Dans cette approche, la solution physique est directement obtenue par convolution de la fonction de Green G avec le terme source, soit, dans le cas de l’équation de Schrödinger : " d2 dr2 − l_1i(l_1i+ 1) r2 + 2m ~2 (V (r) + E1i) # P_1i= s_1i (5.4.1) P_1i(r) = ˆ dr0Gl1i r, r 0 , E_1i
s_1i r0
(5.4.2)

Pour obtenir la bonne solution P1i, les conditions physiques, imposées par le problème à l’étude,

doivent être prises en compte dans la construction de la fonction de Green. Pour l’équation (5.4.1), la fonction de Green dépend du moment orbital l1i et de l’énergie de la fonction induite

considérée E1i. En l’absence d’ambiguïté, on omettra ces dépendances, afin de ne pas trop alour-

Dans le document Réponse linéaire dynamique et auto-cohérente des atomes dans les plasmas quantiques : photo-absorption et effets collectifs dans les plasmas denses (Page 122-126)