Une fois que la solution auto-cohérente à l’équilibre a été obtenue, il s’agit de déterminer la réponse dynamique du système atomique, à la présence du champ perturbateur. Dans la théorie
5.2 Intégration de l’équation de Schrödinger inhomogène
que nous avons présentée au chapitre 4, la détermination de la réponse dynamique passe par la résolution de l’équation de Schrödinger avec terme source (4.7.22) :
" d2 dr2 − l1i(l1i+ 1) r2 + 2m ~2 (V (r) + E1i) # P1i= −2m ~2 eϕ(r, ±ω) P0i (5.2.1) ≡ s1i (5.2.2)
où, pour notre étude, de réponse linéaire dans l’approximation dipolaire, les valeurs permises pour l’énergie et le moment orbital de la fonction d’onde induite P1i sont respectivement : E1i= E0i± ωet l1i= l0i±1, avec l1i>0, (cf. fig. 4.7.1).
Dans la littérature [Zangwill 80, Mahan 80, Mahan 90], la résolution de l’équation de Schrö- dinger inhomogène (5.2.2) est abordée pour l’étude de la réponse dynamique auto-cohérente de systèmes atomiques isolés, à température nulle. Deux méthodes sont proposées : la méthode de Sternheimer (voir, par exemple, [Mahan 80, Mahan 90]) et la méthode de la fonction de Green (voir, par exemple, [Zangwill 80, Stott 80b]).
La méthode de Sternheimer consiste à déterminer une solution particulière de l’équation de Schrödinger (5.2.2) puis à la compléter par une solution homogène de manière à obtenir le bon comportement, de type onde sortante, à la limite r → ∞. La seconde méthode, consiste à construire la fonction de Green de l’équation de Schrödinger, en tenant compte des conditions physiques imposées en r → 0 et en r → ∞. La solution est alors obtenue par convolution de la fonction de Green avec le terme source.
Pour ces deux méthodes, nous proposons dans ce chapitre plusieurs extensions, nécessaires pour aborder la réponse d’un système atomique dans un plasma. En effet, dans notre étude, plusieurs difficultés techniques apparaissent suite à la présence de l’environnement plasma, infini. Tout d’abord, contrairement au cas d’un atome isolé, les orbitales du continuum sont, en principe, peuplées. Pour chacune de ces orbitales, la fonction d’onde de l’équilibre, P0i, possède
un comportement sinusoïdal, à la limite des grands rayons. Or, pour pourvoir envisager une résolution numérique, il faut que le terme source s1i, de l’équation de Schrödinger (5.2.2), ne
soit pas divergent à la limite r → ∞. Il est alors nécessaire de retirer dans le potentiel dynamique
ϕ, la contribution du champ extérieur Eexz, suivant la méthode du changement de variable (sec. 4.5). Néanmoins, ceci introduit un terme localisé Tloc, très divergent à l’origine, dont il faut tenir compte dans le calcul des fonctions induites.
Deuxièmement, lorsque l’environnement plasma est présent, le potentiel induit comporte, en plus du comportement dipolaire, une composante de type onde sortante. Comme démontré dans le chapitre 3, cette composante peut être très lentement décroissante même loin de l’ion central, dans la région asymptotique. Ainsi, même en effectuant le changement de variable (sec. 4.5), le terme source s1i peut rester lentement décroissant, ce qui nécessite alors un traitement particu-
lier.
Pour les méthodes de Sternheimer et de Green, plusieurs intégrations de l’équation de Schrö- dinger homogène ou inhomogène peuvent être nécessaires ; dans tous les cas nous utilisons le schéma de Numerov [Noumeroff 23, Atkinson 78], et sa généralisation avec terme source (cf. annexe sec. A.2).
5.2.1 Développements aux limites des solutions homogènes dynamiques
Les méthodes de Green et de Sternheimer, qui permettent de résoudre l’équation de Schrödin- ger inhomogène, nécessitent toutes les deux de déterminer, au préalable, les solutions homogènes de cette équation. La résolution est alors similaire au calcul des fonctions d’équilibre (cf. sec. 5.1.3, sec. 5.1.4) qui implique la même équation. Néanmoins, les conditions à imposer aux deux limites r → 0 et r → ∞, ne sont pas nécessairement identiques. En effet, la principale contrainte réside désormais dans la vérification du principe de causalité, et non dans la normalisation de la fonction d’onde, comme c’est le cas dans le calcul à l’équilibre.
Dans le cas de l’équilibre, tant que l’énergie d’essai E0 < 0, est différente de l’énergie d’un
état lié, les conditions aux limites r → 0 et r → ∞ ne peuvent pas être simultanément vérifiées par une même fonction P0. De même, pour la réponse dynamique (5.2.2), les conditions aux
limites r → 0 et r → ∞ correspondent à deux fonctions homogènes, généralement distinctes. Une première solution homogène, Go, vérifie la condition à la limite r → 0, et est obtenue en intégrant depuis cette limite, vers les grands rayons, c’est-à-dire, vers l’extérieur (outward). Une deuxième solution homogène Gi, vérifie la condition à la limite r → ∞, et est obtenue en inté- grant depuis un point suffisamment distant de l’origine, vers le centre ionique, c’est-à-dire, vers l’intérieur (inward).
Pour r → 0, la condition limite est imposée par la présence de la charge ionique centrale ; le principe de causalité, qui impose le retard de la réponse vis-à-vis de la perturbation, n’intervient pas directement ici. Il suffit alors d’appliquer le même type de développement en série que pour les fonctions d’onde d’équilibre, d’après la formule (5.1.10), on obtient donc :
Go(r → 0) ∝ rl1+1−
mZe2
(l1+ 1) ~2r
l1+2+ Orl1+3 (5.2.3)
A la limite des grands rayons, l’équation de Schrödinger prend la forme asymptotique (5.1.11). Comme présenté lors du calcul des fonctions d’équilibre (cf. sec. 5.1.2), les solutions de l’équation de Schrödinger asymptotique sont construites à partir des fonctions rfl1(k1r), où fl1 est une des
fonctions de Bessel sphériques, modifiées si E1 <0. Il faut alors distinguer deux cas, selon que
l’énergie de la fonction induite est positive ou négative.
Pour E1 < 0, les solutions de (5.1.11) sont reliées aux combinaisons linéaires des fonctions
de Bessel sphériques modifiées : il1 et kl1(cf. sec. 5.1.2). Or, le principe de causalité impose que
les fonctions dynamiques soient retardées vis-à-vis de la perturbation qui les a générées. Ceci exclut le comportement divergent, pour les grands rayons, de la fonction il1. En conséquence, la
condition limite est identique à celle des fonctions liées, de l’équilibre, soit :
Gi(r → ∞) ∝ rkl1(k1r) si E1 <0 (5.2.4)
Pour E1 >0, les solutions de (5.1.11) s’expriment à partir des fonctions de Bessel sphériques.
Dans leur forme asymptotique, ces différentes fonctions de Bessel comportent toutes au moins un des deux facteurs eik1ret e−ik1r. Or, le principe de causalité se traduit, dans notre convention
(sec. A.1), par l’ajout d’un infinitésimal positif iδ dans l’énergie de la fonction induite, et dans
k1.
Pour respecter la non divergence des fonctions dynamiques, la solution physique ne doit donc pas inclure de comportement e−ik1r, à la limite des grands rayons. Il est alors commode d’ex-